代数式单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．

价目表

每月用水量单价

不超出6 m3的部分2元/m3

超出6 m3但不超出10 m3的部分4元/m3

超出10 m3的部分8元/m3

注：水费按月结算.

则应收水费________元；

（2）若该户居民3月份用水a m3(其中6

（3）若该户居民4，5月份共用水15 m3(5月份用水量超过了4月份)，设4月份用水x m3，求该户居民4，5月份共交水费多少元？(用含x的整式表示并化简)

【答案】（1）8

（2）解：根据题意得，62+4（a-6）=12+4a-24=4a-12（元）

答：应收水费（4a-12）元.

（3）解：由5月份用水量超过了4月份，可知，4月份用水量少于7.5m3，

①当4月份用水量少于5m3时，则5月份用水量超过10m3，

该户居民4，5月份共交水费为：2x+[62+44+8（15-x-10）]=2x+（12+16+40-8x）=-6x+68（元）；

②当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，则5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，

该户居民4，5月份共交水费为：2x+[62+4（15-x-6）]=2x+（12+36-4x）=-2x+48（元）；

③当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，则5月份用水量超过7.5m3但少于9m3，

该户居民4，5月份共交水费为：[62+4（x-6）]+[62+4（15-x-6）]=（12+4x-24）+（12+36-4x）=36.

答：该户居民4，5月份共交水费为（-6x+68）元或（-2x+48）元或36元.

【解析】【解答】（1）根据题意得，24=8（元）

【分析】（1）根据表格中“不超出6 m3的部分”的收费标准，求出水费即可；（2）根据a 的范围，求出水费即可；（3）由5月份用水量超过了4月份，可知，4月份用水量少于7.5m3，进而再细分出三种情况：①当4月份用水量少于5m3时，②当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，③当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，分别求出水费即可.

2．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．

（1）对照数轴完成下表：

（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．

（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．

【答案】（1）3；7；2

（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|

根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，

如果d=3，那么3=|x+2|，

解得x=1或﹣5

（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，

∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8

【解析】【解答】解：（1）填表如下：

【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

3．某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价售出，平均每月能售出800个．市场

调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨元．

（1）试用含的代数式填空：

①涨价后，每个台灯的销售价为________元；

②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为________台；

③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为________元．

（2）如果商场要想销售总利润平均每月达到20000元，商场经理甲说“在原售价每台50元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨30元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）；；

（2）解：甲与乙的说法均正确，理由如下：

依题意可得该商场台灯的月销售利润为：（600﹣10a）（10+a）；

当a=40时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×40）（10+40）=10000（元）；

当a=10时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×10）（10+10）=10000（元）；

故经理甲与乙的说法均正确

【解析】【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价为50+a（元）；

②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为800-10a（元）；

③涨价后，商场的台灯台每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 ? 10 a )；

故答案为：50+a，800-10a，( 10 + a ) ( 800 ? 10 a )．

【分析】（1）根据题意由每个台灯的销售价上涨a元，得到每个台灯的销售价为50+a；商场的台灯平均每月的销售量为800-10a；商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 ? 10 a )；（2）根据题意商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 ? 10 a )，把a=40时和a=10时代入，求出月销售利润的值，判断即可.

4．用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：

甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.

（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b

的值；

（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。

【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh

（2）解：，

化简得，

解得： .

（3）8

【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah，乙的面积= ah +bh；丙的面积 =ab+bh；

（3）设圆的直径为d，

∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，

∴b=2d，a-d=πd，

∴a=（π+1）d

∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，

∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，

∴

∴可以放两层，

∴b=2r+πr

∴

∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.

故答案为：8.

【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；

（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2，乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；

（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。

5．亚萍做一道数学题，“已知两个多项式，，试求.”其中多项式的二次项系数印刷不清楚

（1）乔亚萍看了答案以后知道，请你替乔亚萍求出多项式的二次项系数；

（2）在（1）的基础上，乔亚萍已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求乔亚萍求出的结果.乔亚萍在求解时，误把“ ”看成“ ”，结果求出的答案为，请你替乔亚萍求出“ ”的正确答案.

【答案】（1）解：设A的二次项系数为m，

由题意可得

mx2+4x+2（2x2-3x+1）=x2-2x+2

mx2+4x+4x2-6x+2=x2-2x+2

（m+4）x2-2x+2=x2-2x+2

∴m+4=1

解之：m=-3

∴多项式A的二次项系数为-3.

（2）解：∵A+C=x2-5x+2

∴-3x2+4x+C=x2-5x+2

∴C=x2-5x+2-3x2-4x=-2x2-9x+2

∴A-C=-3x2+4x-（-2x2-9x+2）=-3x2+4x+2x2+9x-2=-x2+13x-2

【解析】【分析】（1）设A的二次项系数为M，将其代入可得到mx2+4x+2（2x2-3x+1）

=x2-2x+2，就可求出m的值.

（2）根据题意可得到A+C=x2-5x+2，代入求出多项式C，然后求出A-C即可。

6．观察下表:

我们把表格中字母的和所得的多项式称为"'特征多项式",例如:第1格的“特征多项式”为4x+y，第 2 格的“特征多项式”为 8x+4y, 回答下列问题:

（1）第 3 格的“特征多项式”为________第 4 格的“待征多项式”为________, 第 n 格的“特征多项式”为________.

（2）若第 m 格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5 的和不含有 x 项,求此“特征多项式”. 【答案】（1）12x+9y；16x+16y；4nx+n2y

（2）解：由（1）可得，第m格的“特征多项式”是4mx+m2y，

∴(4mx+m2y)+(?24x+2y?5)=4mx+m2y?24x+2y?5=(4m?24)x+(m2+2)y?5，

∵第m格的“特征多项式”与多项式?24x+2y?5的和不含有x项，

∴4m?24=0，解得m=6，

∴此“特征多项式”是24x+36y.

【解析】【解答】解：(1)由表格可得：第3格的“特征多项式”为12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，第n格的“特征多项式”为4nx+n2y，

故答案为：12x+9y， 16x+16y， 4nx+n2y；

【分析】（1）根据表格中的数据找出规律即可解答本题；（2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征多项式”，然后根据“和不含有x项”可以求得m的值，从而可以写出此“特征多项式”．

7．如图，将连续的奇数1，3，5，7……排成如下的数表，用十字形框框出5个数．

（1）探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为________，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是________；

（2）探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是21，39，57，75，…，则这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为________；（用含m的式子表示）

（3）运用规律一：已知被十字框框中的五个奇数的和为2025，则十字框中间的奇数是________，这个奇数落在从左往右第________列；

（4）运用规律二：被十字框框中的五个奇数的和可能是2020吗？若能，请求出这五个数：；若不能，请说明理由.

【答案】（1）5x；5

（2）（18m+5）

（3）405；五

（4）这五个数为404、402、406、396、422．

【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，

设十字框中间的奇数为x，则框中其它五个奇数为：

x﹣2，x+2，x﹣18，x+18．

∴x+x﹣2+x+2+x﹣18+x+18＝5x，

五个奇数的和一定是正整数n（n＞1）的倍数，这个正整数n是5．

故答案为：5x、5．

2）因为第二列的一组奇数是21，39，57，75，…

21＝1×18+3

39＝2×18+3

57＝3×18+3

75＝4×18+3

∴这一组数可以用整式表示为18m+3（m为序数）．

∴落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为（18m+5）．

故答案为：（18m+5）.

3）根据题意，得

5x＝2025

解得：x＝405

∴十字框中间的奇数是405．

∵18m+9＝405，解得：m＝22，

∴405这个奇数落在从左往右第五列．

故答案为：405、五；

4）十字框框中的五个奇数的和可以是2020．理由如下：

5x＝2020

解得：x＝404，

∴x﹣2＝402，x+2＝406，x﹣18＝396，x+18＝422．

答：这五个数为：404、402、406、396、422．

【分析】（1）根据表中数据规律即可列出代数式进而求解；（2）根据第二列的一组奇数的规律即可写出第三列的一组奇数的规律；（3）根据探究规律一和探究规律二所得代数式

即可求解；（4）根据探究规律一所得代数式列方程即可求解．

8．

（1）已知3x2-5x+1=0，求下列各式的值：①3x+ ；②9x2+ ；

（2）若3x m+1-2x n-1+x n是关于x的二次多项式，试求3（m-n）2-4（n-m）2-（m-n）3+2（n-m）3的值．

【答案】（1）解：①∵3x2﹣5x+1＝0，∴3x﹣5 0，∴3x 5；

②∵3x 5，∴，∴ 25，∴ 19

（2）解：3（m﹣n）2﹣4（n﹣m）2﹣（m﹣n）3+2（n﹣m）3

＝﹣（m﹣n）2+3（n﹣m）3

∵3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，∴或或

或，解得：或或或．

①当m＝1，n＝2时，原式＝﹣（1﹣2）2+3（2﹣1）3＝﹣1+3＝2；

②当m＝1，n＝1时，原式＝﹣（1﹣1）2+3（1﹣1）3＝0；

③当m＝0，n＝2时，原式＝﹣（0﹣2）2+3（2﹣0）3＝﹣4+24＝20；

④当m＝﹣1，n＝2时，原式＝﹣（﹣1﹣2）2+3（2+1）3＝﹣9+81＝72．

综上所述：原式的值为2或0或20或72

【解析】【分析】（1）①根据等式的性质，由3x2-5x+1=0 得出3x﹣5 + 0，即3x

+ 5；②将3x+ 5的两边完全平方，再利用完全平方公式展开移项合并同类项即可；

（2）首先将代数式合并同类项化为最简形式；由于多项式中，次数最高的项的次数就是单项式的次数，根据3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，即可列出关于m,n的方程

组：或或或，一一求解即可分别得出m,n的值，再分别代入代数式化简的结果即可算出答案。

9．某市居民使用自来水接如下标准收费(水费按月缴纳)

户月用水量单价

不超过10m3的部分2元／m3

超过10m3但不超过18m3的部分3元／m3

超过18m3的部分4元／m3

（1）某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费}

（2）设某户月用水量为"n”立方米，当n>18时，求该用户应缴纳的水费(用含n的代数式表示)}

（3）甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元。设甲用户这个月用水xm3，直接写出甲、乙两用户一个月共缴纳的水费(用含x的代数式表示)．

【答案】（1）解：∵25＞18

∴10×2+3×（18-10）+4×（25-18）

=20+24+28

=72

答：某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费为72元；

（2）解：∵n＞18

∴10×2+3×8+4（n-18）

=20+24+4n-72

=4n-28

答：当n>18时，求该用户应缴纳的水费4n-28；

（3）解：∵甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元

∴x＞10

当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

20+3（x-10）+2×10+3×8+4（36-x-18）

=20+3x-30+20+24+72-4x

=106-x

当x＞18，0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

44+4（x-18）+2（36-x）

=44+4x-72+72-2x

=2x+44

当x＞18，10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

44+4（x-18）+20+3（36-x-10)

=44+4x-72+20+78-3x

=x+70

答：

当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：106-x；

当x＞18，则0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：2x+44；

当x＞18，则10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：x+70；

【解析】【分析】（1）利用表中数据，根据用户用水量，列式计算可求解。

（2）利用表中数据，根据用户用水量n＞18，列式化简可求解。

（3）由题意分情况讨论：当10＜x≤18时，则36-x＞18时；当x＞18，则0＜36-x＜10时；当x＞18，则10＜36-x＜18时，分别列式化简，可得出答案。

10．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：

（1）填空：若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费________元；

（2）若该户居民3月份用水a立方米（其中6

（3）若该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简）

【答案】（1）8

（2）4a-12

（3）解：当010，

应收水费为：2x+2×6+4×4+（15-x-10）×8=-6x+68（元）；

当5≤x<6时，则9≤15-x≤10，

应收水费为：2x+2×6+(15-x-6)×4=-2x+48（元）；

当6≤x，则6

应收水费为：2×6+（x-6）×4+2×6+（15-x-6）×4=36（元）。

【解析】【解答】解：（1）4×2=8（元）；

故答案为：8.

（2）因为6

所以应收水费为：6×2+（a-6）×4=12+4a-24=4a-12（元）

故答案为：4a-12。

【分析】（1）水量不超过6立方米，故每立方米按2元/立方米；（2）因为6

11．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）

（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．

（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.

【答案】（1）3000n；3200(n-1)

（2）解：当n=30时:

甲： (元)，

乙： (元)，

因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠

（3）12

【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为

乙旅行社的费用为

故答案为3000n;3200(n-1)；

( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，

解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.

【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。

12．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝．

利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离为________

（2）数轴上表示和1两点之间的距离为________，数轴上表示和两点之间的距离为________

（3）若表示一个实数，且，化简，

（4）的最小值为________，

的最小值为________.

（5）的最大值为________

【答案】（1）4；3

（2）；

（3）8

（4）7；6

（5）4

【解析】【解答】解：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离，

数轴上表示1和的两点之间的距离；

( 2 )数轴上表示和1两点之间的距离，

数轴上表示和两点之间的距离；

( 3 )∵，

∴ ;

( 4 )∵的几何意义为到-3与到4的距离和，

∴取最小值时，在-3与4之间，即最小值，

同理可得的最小值为6；

( 5 )∵取最大值时，最小，

∴，，

∴最大值 .

【分析】（1）（2）根据数轴上表示的任意两点间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值即可得出答案；

（3）根据x的取值范围，根据有理数的减法法则判断出绝对值符号里面运算结果的正负，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再合并同类项即可；

（4）根据题意表示x与-3距离和x与4的距离的和，要求距离和的最小值，根据两点之间距离最短从而得出当x介于-3 与4之间的任意一个位置的时候，其和就是最短的，根据有理数的减法法则判断出绝对值符号里面运算结果的正负，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；同理算出

的最小值；

（5）取最大值时，最小，根据绝对值的非负性即可得出，，从而代入即可算出答案。