七年级数学思维探究——一元一次不等式(组)(含答案)

．一元一次不等式（组）

．

问题解决

例1 （1）已知不等式30x a -≤的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是___________；

（2）已知关于x 的不等式组0

521x a x ->??--?≥无解，则a 的取值范围是______________．

试一试 对于（1），由题意知不等式的解在34x <≤的范围内；对于（2），从数轴上看，原不等式组中

两个不等式的解集无公共部分．

例2 （1）若关于x 的不等式()2

120a x a --+>的解集为2x <，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1-

（2）若不等式组0

122x a x x +??->-?≥有解，则a 的取值范围是（ ）．

A ．1a >-

B ．1a -≥

C ．1a ≤

D ．1a <

．

例3 解下列关于x 的不等式（组）： （1）2210x x --≤；

（2）()233mx n x +-<． 试一试对于（1），分20x -≥、20x -<两种情况讨论，去掉绝对值符号；对于（2），化为ax b <的形式，再就a 的正负性讨论．

例4 已知()2

351310a b a b +-+++=，求关于x 的不等式63

x ax b ->+的解集．

例5 已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足325a b c ++=，231a b c +-=，设37m a b c =+-，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值．

分析 本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出x ，y 的值．

解 由条件得325213,a b c a b c +=-??+=+?解得73

711,a c b c =-??=-?则32m c =-．

由000,a b c ?????≥≥≥得730

71100,

c c c -??-???≥≥≥，解得37711c ≤≤，从而111x =-，57y =-，故577xy =．

例6 甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了．请你把这一生活常识用数学式子表达出来．

分析与解 从生活常识到“数学不等式”历经以下三个步骤： （1）用字母a 、b 、m 表示相应的量；

（2）根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数a b ，a m

b m

++；

（3）将“更甜了”表示为不等式a a m

b b m

+<+，其中0b a >>，0m >．

进一步追问：

（1）怎样证明上述不等式？

（2）将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗？

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1．若不等式组1240x a

x +>??-?

≤有解，则a 的取值范围是________________．

2．若不等式组220x a b x ->??->?的解集是11x -<<，则()2006

a b +=____________．

3．已知关于x 的不等式组0

521x a x -??->?

≥只有4个整数解，则a 的取值范围是___________．

4．n 个小杯中依次盛有1b ，2b ，…，n b 克糖水，并且分别含糖1a ，2a ，…，n a 克．若这n 杯水的浓度

相同，则有连等式：12

12n n

a a a

b b b ===． 现将这n 杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的，这个尽人皆

知的事实，说明了一个数学定理——等比定理：若12

12n n a a a b b b =

==，则1212

1212

n n

n n

a a a a a a

b b b b b b ++

+====++

+． 若这n 杯糖水的浓度互不相同，不妨设

12

12

n

n

a a a

b b b <<<

，现将这n 杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度一定大于__________，且小于___________．

这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定理——不等比定理：若

12

12

n

n

a a a

b b b <<<

，则__________．

5．若不等式24x <的解集都能使关于x 的一次不等式()15a x a -<+成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．17a <≤ B ．7a ≤ C ．1a <或7a ≥ D ．7a =

6．若10a b -<<<，则下列式子中正确的是（ ）．

A ．a b -<-

B ．11

a b

< C ．a b < D ．22a b >

7．若方程组41

43x y k x y +=+??+=?的解满足条件01x y <+<，则k 的取值范围是（ ）．

A ．41k -<<

B ．40k -<<

C ．09k <<

D ．4k >-

8．不等式组951

1x x x m +<+??>+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ）．

A ．2m ≤

B ．2m ≥

C ．1m ≤

D ．1m >

9．试确定a 的取值范围，使不等式组

()()()114

111.510.52122x x a x a x x +?+>???

?-+>-+-??只有一个整数解．

10．解下列关于x 的不等式 （1）213x -≤； （2）11ax ax --≥．

11．已知关于x 、y 的方程组3

25x y a x y a -=+??+=?

的解满足0x y >>，化简3a a +-．

12．关于x 的不等式216x -<的所有非负整数解的和为________________． 13．

14．当3a >时，不等式23ax x b +<+的解集是0x <，则b =___________． 15．

14．若实数a 、b 、c 满足a b c >>，0a b c ++=，则c

a

的取值范围是______________．

15．

16．已知非负数a 、b 、c 满足条件324a b c ++=，235a b c ++=，设547s a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则n m -的值为_____________． 17．

16．已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为1

3

x <，则0bx a -<的解集是（ ）．

A ．3x >-

B ．3x <-

C ．3x >

D ．3x <

17．如果关于x 的不等式组70

60x m x n -??-

≥的整数解仅为1，2，

3，那么适合这个不等式组的整数对(),m n 共有（ ）．

A ．49对

B ．42对

C ．36对

D ．13对

18．关于x 的不等式组25

53

32

x x x x a +?>-???+?<+??只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）．

A ．1162a -<<-

B ．1162a -<-≤

C ．1162a -<-≤

D ．11

62

a --≤≤

19．若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ）．

A ．22a b a b >?>

B ．22a b a b ≠?≠

C ．22a b a b >?>

D ．22a b a b >?>

20．已知2153132

x x

x ----≥，求13x x --+的最大值和最小值． 21．

21．已知非负数x ，y ，z 满足123

234

x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．

22．探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”、“<”、“=”，并完成式后的问题． ①2223+_______223??，2245+__________245??， 2277+_________277??，2258+__________258??，… 试用含有a 、b 的式子表示上述规律为________________．

②()3

123++__________27123???，()3

235++__________27235???，

()

3447++___________27447???，()3

555++___________27555???，…

试用含有a 、b 、c 的式子表示上述规律为____________________．

应用：用边长为30cm 的正方形铁片，在四个角上剪去四个边长相同的小正方形，然后将对边剩余部分分别折起来（如图），可做成一个无盖的长方体盒，问怎样剪可使得到的盒子的容积最大？最大容积为多少？

23．已知整数1x ，2x ，3x ，…，2008x 满足①12n x -≤≤，1n =，2，

…，2008；②122008208x x x +++=；

③22

2

1220082008x x x +++=．

求33312

2008x x x +++的最大值与最小值．

x

x

x

x

x

x

x

x

．一元一次不等式（组）

例1 （1）由343

a

<≤

，得912a <≤；（2）3a ≥． 例2 （1）A 由条件得21022,1

a a a -

?-=?

-?，推得0a =；（2）A ．

例3 （1）由202210,x x x -??--?≥≤得8x ≥；由202210,x x x -

4x x

≥，矛盾．故原不等式的解集

为8x ≥；

（2）由原不等式得()233m x n -<-，当230m ->，即32m >时，其解集为3

23

n x m -<-；当230m -<

，即32m <时，其解集为323n x m ->-；当23m =，即32m =时且3n >，解集为所有数；当3

2

m =且3n ≤时，

原不等式无解．

例4 3x >

1．3a < 2．1

3．32a -<-≤

4．1

1

a b ；n n a b ；121112n n n n a a a a a b b b b b +++<<+++

5．A

6．D 7．A 8．C

9．12a <≤

10．（1）12x -≤≤；（2）10ax -<，即1ax <，当0a >时，解集为1x a <；当0a <时，解集为1x a

>；当0a =时，解集为一切数．

11．当23a <≤时，原式3=；当3a ≥时，原式23a =-．

12．6 原不等式等价于216

216x x --?

13．2

14．1

22

c a -<

<- 由条件得0a > 20a c a b c +>++=，20a c a b c +<++=． 15．2-，12n =，14m = 102s c =+，6

15

c ≤≤

16．B

17．B 由76

m n

x <≤，得1m =，2，3，4，5，6，7；19n =，20，21，22，23，24，()

,m n 共有7642?=对． 18．C 19．D

20．解不等式得711x ≤，原式()

()()

41223143x x x x -??=---

<-?≥≤，从而知最大值为4，最小值为3

311-．

21．设123

234x y z k ---===，则21x k =+，32y k =-+，43z k =+，由题意得210320430,

k k k +??-+??+?

≥≥≥ 解得12

23k -≤≤，于是()()()3214325431426w k k k k =+--++=+．

所以1214261426142623k -?++?+≤≤，即119353w ≤≤，故w 的最小值为19，最大值为1353

．

22．①>；>；=；>；22

2a b ab +≥（a b =时，等号成立)

②>；>；>；=；()3

27a b c abc ++≥（a b c ==时，等号成立)．

设长方体盒子的容积为V ，小正方形的边长为x ，则有

()()3

1511511615153023021620002222272222x x V x x x x x x x ?????

?=--=--+-+-= ??? ??????

?≤，此时15122x x =-，解得5x =，3

2000cm V =最大值．

23．设1-，1，2的个数分别是x ，y ，z ，则,,02008220842008,

x y z x y z x y z x y z ??++?

?-++=??++=?≥≤

即求8A x y z =-++的范围解，得90011083,

x z

y z =-??

=-? 2086A z ∴=+．

由条件得1

03693z ≤≤，∴当90011080x y z =??=??=?时，A 取最小值208，当5311369

x y z =??=??=?

时，A 取最大值2422．