第六讲 等熵流动

3、理想气体流动基本方程

1）运动方程 0=+VdV dp

ρ

2）等熵方程 k C p ρ=

3）状态方程 RT p ρ= 4）连续方程

m

VA =ρ

将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到

C V p k k =+-2

12

ρ

此式为可压缩气体流动的伯努利方程。

注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。

5、一元气体等熵流动基本关系式

1）滞止参数

000,,T p ρ

2）一元气体等熵流动基本关系式

1

12012020]2

11[]2

1

1[2

1

1---+=-+=-+=k k k

M k M k p p M k T T ρρ

3）临界参数

马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 ***

T p ρ 等。此时，

速度为音速。基本关系式如下：

634.0)1

2(528

.0)1

2(833.0)12()12(1

1

0*1

0*0*2

1

0*=+==+==+=+=--k k k

k k p p k T T k a a ρρ

判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。

4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大，max u T = 0，无分子运动，是达不到的。

2

12

max

00u p k k =

-ρ ==> 0000max 21

2

12i kRT k p k k u =-=-=

ρ

5) 不可压伯努利方程的限度 对于不可压伯努利方程 02

2

1p u p =+ρ 既有

12

120=-u p

p ρ

对于可压缩伯努利方程

...

48

)2(821...

)21(!2)11(1)21(11)2

11(6

422

221

20+-+++=+----+--+=-+=-M k k M k M k M k k k

k k M k k k M k p p k k

由于

2

22222

212121M kp kp a u kp kp u u ===ρρ

==>

....24)2(412

14

220+-++=-M k M u p p ρ 误差： (24)

)2(44

2+-+=M k M δ

当2.0≤M 时可视为不可压流体。

6、 阻塞现象及其判据

634.0)1

2(528.0)1

2(833.0)12(1

10*1

0*0*=+==+==+=--k k k

k k p p k T T ρρ

例1：

自喷管流出的空气质量流量为6kg/s 。若kPa p C T 800,2700=?=（绝对），出口压强kPa p e 100=（绝对）

，假设整个流动过程均为等熵流动，试计算喉部直径和出口处的直径，并求出口速度。

解：

1、 确定出口处是否为超音速流动

由于

528.0125.0800

1000<==p p e ，又由于是等熵流，故出口处应为超音速流动，此时，在管道喉部达到1*=M 。 2、 计算管道喉部临界点处的参数

2.121*0=+=k T T ===〉 K T 250*= ===〉 s m kRT V /94.316**== 89

3.1)2

1(1

*0=+=-k k

k p p ==〉kPa p 63.422*= ==〉3***/89.5m kg RT p ==ρ

3、 计算喉部截直径d

由连续性方程，有 ***A V m

ρ=

===〉 2***4

d V m A π

ρ==

===〉 mm m d 64064.0== 4、 计算出口处的流动参数和出流速度V

1

20)2

11(--+=k k

e M k p p ===〉014.2=M 2

02

11M k T T e -+= ===〉 K T e 6.165= ===〉s m kRT a e /258== 3/104.2m kg RT p e

e

e ==

ρ ==〉 s m a M V /51.519=?= 5、 计算出口直径

24

D V m A e e π

ρ==

===〉 mm m D 6.830836.0==

第二章 有摩擦和热交换的一元管流

前提：定常，一元等截面流动

研究对象：有摩擦的绝热流动 Fanno 流动 有热交换的流动 Rayleigh 流动

第一节 Fanno 流动

一、 基本方程

1、 连续方程

02211=+===ρ

ρρρd u du Const

m u u

2、 能量方程

2

20

2

22211=+=+=+udu di i u i u i 3、 动量方程

1） 在等断面管道中取微元体如图 2） 去控制体如图

3） 受力分析

Ddx A dp p p W πτ-+-)]([ 向右

4） 动量分析

uAdu u du u Q ρρ=-+])[(

5） 列动量方程

)]([2

=?++=-+-A

D D dx udu dp uAdu

Ddx A dp p p W W πτρρπτ

6） 达西公式

dT

d du

dp ++ρ

g

u D dx h f 22

λ

= ——dx 管段上的摩擦阻力损失 A

u D dx gA g u D dx A

gh Ddx f W 2

222ρλρλρπτ=== 7） 最后得到动量方程

02

2

=++u D dx udu dp ρλρ

4、 状态方程

)

(ρρρTd dT R dp RT

p +==

二、Fanno 流动的参数关系

条件：绝热、有摩擦、一元管流 对象：流动参数与M 的关系 工具：四个基本方程

1、 温度 21210,,,,M M T T T

伯努利方程适用于绝热流动

C V RT k k =+-2

12

则有

22

2

1

122

11211M k M k T T -+-+

=

分析：亚音速 ↓↑

T V

)()(1212T T M M <>

超音速 ↑↓

T V

)()(1212T T M M ><

2、 压强 21210,,,,M M p p p

由连续性方程，有

C kRT M RT

p a M RT p V m ==?=

=ρ 则有

22

212

1

122

1

122112

11M k M k M M T T M M p p C T pM -+-+

===

3、 密度21210,,,,

M M ρρρ 由状态方程，有

2

1

1212T T p p =

ρρ 得到

21

2

1

222112)2

11211(M k M k M M -+-+=ρρ 4、 等熵滞止压强01p 与02p

定义：气流由此给定状态等熵减速到速度为0时所达到的压强。

)

1(2121

22210102211211-+?

??

?

??????-+-+=k k M k M k M M p p

三、 壁面摩擦对流动属性的影响

寻求各参量的微分（相对）变化关系

V

dV M dM T

dT d p

dp 2

2ρ

ρ

1、 基本关系 1）状态方程 T

dT d p dp +=ρρ （1） 2）马赫数

T dT

V dV M dM kRT

V M -

==

2

2

2222

（2）

3）能量方程 C V i =+2

2

由于 T C i p = ==> 0)2

(2

=+V d dT C p 由于 1-=k kR C p ==> 0212

2

2=-+V

dV M k T dT （3） 4）连续方程

0212

2

=+==V dV d C V m ρρ

ρ （4） 5）动量方程

02

2

=++V D dx VdV dp ρλρ

将上式各项通除p ，考虑到

2222

kpM p

k a

V V ==ρρρ

得到

0222222=++D

dx

kM V dV kM p dp λ （5）

2、 寻求微分变化关系

将（3）（4）式带入（1）式，得到

2

2

22)1(1V

dV M k p dp -+-= 再与（5）式联解，得到

D dx M M k kM p dp λ)

1(2])1(1[222--+-= （6） 类似地，有

D dx M M k kM M dM

λ2

2

22

2

1)

211(--+

= （7） D

dx

M kM V dV λ

)1(222-= （8）

D dx

M M k k T dT λ)1(2)1(24---= （9） D

dx

M kM d λρρ

)1(22

2--= （10） D

dx kM p dp λ2200-= （11）

3、 摩擦对流动的影响

前提：（1）dx 以沿流动方向为正；

（2）0>λ，剪应力与流动方向相反。

1）等熵滞止压强必定减小

壁面摩擦降低了所有各类流体机械的效能。

2）分母有 )1(2M -，表明连续地由亚音速转变为超音速或由超音速连续地转变为亚音速都是不可能的。

3）气流属性的变化方向取决于M 是否大于1。 亚音速 超音速

↓

↓

↑↓↑↓↓↑↓↑↑↓0

p T

V M p ρ

4）壁面摩擦的结果使M 总是趋向于1。 注意：1、摩擦使亚音速流加速！ 2、摩擦使亚音速流压强增大！