鲁棒控制大作业

一、鲁棒控制概述

鲁棒控制（Robust Control ）的研究始于20世纪50年代。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可以分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器成为鲁棒控制器。

由于工作情况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为国内科研人员的研究课题。

鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO ）在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界扰动而不是无穷小摄动。因此产生了以讨论参数在有机摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。

现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。主要的鲁棒控制理论有：（1）Kharitonov 区间理论；（2）∞H 控制理论；（3）结构奇异值理论（μ理论）等等。

二、∞H 鲁棒控制理论

∞H 鲁棒控制理论是在∞H 空间（即Hardy 空间），通过某些性能指标的无穷

范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。它的基本思想是：当利用研究对象的数学模型G 来设计控制器时由于参数的不确定性与变化性以及人们为了便于设计与计算往往把对象的模型简化使得对象的数学模型G 存在误差

G ?。∞H 控制的目的为：当存在模型误差G ?时如何利用名义模型G 来设计控制器K ，使得K 在稳定被控对象的同时使某一目标函数S 的∞H 范数最小。

H ∞控制方法引入输出灵敏度函数作为系统评价的指标，主要考虑了这样的一个设计问题，即要求设计一个控制器，不但使得闭环系统稳定，而且在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解闭环系统稳定的问题。传递函数的H ∞范数描述了输入有限能量到输出能量的最大增益，如果能使其达到最小，那么干扰对系统误差的影响将会降到最低程度。许多实际的控制问题，如灵敏度极小化问题、鲁棒稳定问题、混合灵敏度优化问题、跟踪问题、模型匹配问题等，都可以归结为标准H ∞控制问题来研究。

H ∞标准控制问题如图1所示

图1 标准控制问题

P(s)是一个线性是不变系统，由以下的状态空间描述：

121111222122x Ax B w B u z C x D w D u y C x D w D u

=++??

=++??=++?

& 其中，n x R ∈是状态向量，m u R ∈是控制输入，p y R ∈是测量输出，

r z R ∈是被调输出，q w R ∈是外部扰动，这里考虑的外部扰动是不确定的，但具

有有限能量，即2w L ∈,K 为需要设计的控制器。

用状态空间方程表示的传递函数矩阵()P s 的实现形式为

[]11

12111

121

12212222122()()P

P C D

D P s sI A B B P P C D D -??????

==-+??????????

??

121

1112221

22A

B B A B

C

D D C D C D D ??

????==??????????

输入输出关系可以描述为

11

1221

22P P z w P P y u ??????

=??????????

?? u Ky =

本文的主要问题就是设计一个控制器 u Ky =，使得闭环系统满足以下的性质：

● 闭环系统是内部稳定的，即闭环系统状态矩阵的所有特征值均在左

半开复平面中。

● 从扰动输入w 到被调输出z 地闭环传递函数()z T s ω的H ∞范数小于

1，即

()

1z T s ω∞

<

具有这样性质的控制器u Ky =成为图1系统的一个H ∞控制器。

通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个合适的常数，可以使得闭环系统具有给定的H ∞性能γ，即使得()z T s ωγ∞<的H ∞控制问题转化为使得()

1z T s ω∞

<的标准H ∞控制问题。具有给定H ∞性能γ的H ∞控

制器称为系统（图1）的γ-次优H ∞控制器。进一步，通过对γ的搜索，

可以求取使得闭环系统的扰动抑制度γ最小化的控制器，这样的控制问

题称为图1系统的最优H

∞控制问题，由最优H

∞

控制问题得到的H

∞

控

制器称为系统的最优H

∞

控制器。

H

∞

控制分为状态反馈和输出反馈两种情况。

三、应用matlab进行

∞

H鲁棒控制器设计

在实际的工程应用中，按照传统的方法进行

∞

H鲁棒控制器设计是很困难的，

因为计算量非常大，过程很繁琐。而且用到的数学工具也比较艰深，所以在高性

能计算机出现以前，工程技术人员要将

∞

H鲁棒控制理论应用于实际工程中是非常困难的。现在高性能微机的普及使许多软件包相继面世如美国MathWork公司开发的matlab软件中的鲁棒控制工具箱；Integrated System公司开发Matrixx

的软件包以及Xmath软件包等。这些软件包的研制成功使

∞

H鲁棒控制理论成为真正实用的工程设计理论。本文使用MathWork公司开发的Matlab软件中的鲁棒

控制工具箱进行

∞

H鲁棒控制器设计，从而大大减小了复杂的计算量。下面对文中用到的函数进行一简单说明：

●out = frsp(sys,omega,T,balflg),其中omega为横坐标角频率

rad/sec；sys为系统表达式；T为零代表是连续系统，为1代表

离散系统，默认0；balflg默认0；out输出为系统sys的频幅响

应值。

●vplot([plot_type],vmat1,vmat2,vmat3, ...)，vmat1，vmat2…

是所画曲线的坐标值，根据plot_type（取值情况查看matlab的

help文件）的值画出对应的曲线。

●[k,g,gfin] = hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol) 该函数

用的是“DGKF文献”中的算法，G:系统的广义对象；nmeas: 连接

到控制器的测量输出的个数；ncon:控制输入的个数；gmin: γ的

下界；gmax:γ的上界；tol:γ的迭代精度;k:

∞

H最优控制器；g:闭环控制系统；gfin:γ最终的值

四、鲁棒控制器设计实例

对计算机硬盘磁头驱动系统，若仅考虑硬盘磁头的钢体部分，即所谓的标称系统，那么该系统的传递函数实际上是有两个串联积分器组成的，考虑到干扰的影响，实际系统是一个不确定性系统，设实际对象含乘法摄动。另外硬盘高速转动引起的空气涡流对磁头来讲是必须考虑的干扰。设计目标是抑制住风的影响，将磁头准确地定位于指定的磁头上。为此，选择了图2所示的一般反馈控制系统模型。

图2硬盘的一般反馈控制系统

图中2ω和2z 是用于保证对乘法摄动鲁棒性的评价信号；3z 是控制输入u 的评价信号；1ω和1z 是用于干扰响应评价的信号；2W 表示乘法摄动的大小；1W 表示干扰的动态特性；3W 适用于调节的参数，主要用于调整响度速度；4W 是用来调整输入大小的加权函数。

进一步把风的干扰作为阶跃信号处理，经反复实验，确定如下加权函数：

10*10

*0.510*5.2)(1.0)(9

.23*)10*04.410*2.110*7.510*0.1()(5.0*10

*0.17

.125)(5

4

432

8

4274224

1++==++++=++=

---s s s W s W s s s s s W s s s W 构造不确定性系统，设计∞H 控制器，相应的M 文件见附件1。

乘法摄动的加权函数2W （高通）、干扰加权函数1W （低通）和输入加权函数

4W （高通）如图所示：

图3加权函数的Bode图设计出的

H控制器Bode图如图所示。

∞

H控制器Bode图

图4

∞

另外，单位阶跃输入干扰的输出响应及对应的控制输入如图所示：

图5 阶跃干扰响应及控制器输入

附件1：

M文件：

clear

clc

format short e

w=logspace(-2,6,100);%generates n points between decades 10^a and 10^b. %设一般被控对象

%定义控制对象和加权函数

Psys=nd2sys([1],[1 0 0],3.87e7);

W1sys=nd2sys([1 125.7],[1 1e-4],5e-1);

W2num1=[1 1e+4 5.7e+7];

W2den1=[1 1.2e+4 4.04e+8];

W2sys1=nd2sys(W2num1,W2den1);

W2sys=mmult(W2sys1,W2sys1,23.9);

W3sys=0.1;

W4sys=nd2sys([10 10*0.5*0.5e4],[1 10*5e4]);

% 显示加权函数的Bode图

W1fr=frsp(Psys,w);

W2fr=frsp(W2sys,w);

W3fr=frsp(W3sys,w);

W4fr=frsp(W4sys,w);

figure(1);

vplot('liv,lm',W1fr,W2fr,W3fr,W4fr);

title('Weighting Functions')

xlabel('frequency[rad/s]')

ylabel('Gain')

legend('W1fr','W2fr','W3fr','W4fr');

grid;

%设一般被控对象，描述整个系统

systemnames='Psys W1sys W2sys W3sys W4sys'; inputvar='[w1;w2;u]';

outputvar='[W1sys;W2sys;W4sys;w2+Psys]';

input_to_W3sys='[w1]';

input_to_Psys='[u+W3sys]';

input_to_W1sys='[Psys+w2]';

input_to_W2sys='[Psys]';

input_to_W4sys='[u]';

sysoutname='Gpsys';

cleanupsysic='yes';

sysic;

%设计控制器

disp(['H00 controller Desigh with hinfsyn']);

K=[];

glow=0;ghigh=10;tol=1e-2;

while isempty(K)==1&ghigh<1e6;

[K,CL,gopt]=hinfsyn(Gpsys,1,1,glow,ghigh,tol); if isempty(K)==1&ghigh<1e6;

ghigh=ghigh*10;

tol=ghigh*1e-3;

end

clear CL ghigh glow tol

end;

%显示控制器的Bode图

Kfr=frsp(K,w)';

figure(2);

subplot(2,1,1)

vplot('liv,lm',Kfr');

title('Bode plot of Controller')

xlabel('frequency[rad/s]')

ylabel('Gain')

grid;

subplot(2,1,2)

vplot('liv,p',Kfr');

xlabel('frequency[rad/s]')

ylabel('Phase(degrees)')

grid;

%仿真

systemnames='Psys K';

inputvar='[w;r]';

outputvar='[Psys+r;K]';

input_to_Psys='[K+w]';

input_to_K='[Psys+r]';

sysoutname='Clsys';

cleanupsysic='yes';

sysic;

%仿真（H∞控制器）

[pa,pb,pc,pd]=unpck(Psys);

[ka,kb,kc,kd]=unpck(K);

[da,db,dc,dd]=unpck(sel(Clsys,1,1)); [ua,ub,uc,ud]=unpck(sel(Clsys,2,1)); %干扰响应

t=[0:0.0001:0.1];

[y,x,t]=step(da,db,dc,dd,1,t);

[u,x,t]=step(ua,ub,uc,ud,1,t);

figure(3)

subplot(2,1,1)

plot(t,y)

axis([0 0.1 0 16])

xlabel('Time[s]')

ylabel('Amplitude')

title('Step disturbance response') grid on;

%控制输入

subplot(2,1,2)

plot(t,u)

axis([0 0.01 -1.7 0])

xlabel('Time[s]')

ylabel('u[V]')

title('Input')

grid on