浙江省杭州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

浙江省杭州市2021届新高考第一次模拟数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则

21

1

a b +-的最小值为（ ）

A ．

34

+ B ．

34+ C ．

36

+ D ．

36

+ 【答案】A 【解析】 【分析】 所求

211

a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121

()[(1)]41a b a b +

+--，利用基本不等式求最值. 【详解】

解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则

()21211

()1114a b a b a b +=++-????

?-- ()2111

3(3414

b a a b -??=

++≥+??-??， 当且仅当

()211

b a

a b -=

-时取等号， 故选：A ． 【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 2．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32

-

B ．

32

C ．23

-

D ．

23

【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.

由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，

所以3+203

230

2a a a =??=-?

-≠?. 故选：A 【点睛】

本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.

3．2-31i

i =+（ ） A ．15-22i B ．15--22

i

C ．

15

+22

i D ．15-

+22

i 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

()()()()

231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．

故选B ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 4．设函数()()

2

1

ln 11f x x x

=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()

()1,00,1-

【答案】B 【解析】 【分析】

由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】

由题意知：()f x 定义域为R ，

()()()()2

2

11

ln 1ln 111f x x x f x x

x -=+--

=+-

=++-，()f x ∴为偶函数，

当0x ≥时，()()2

1

ln 11f x x x

=+-

+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，2

1

1y x =

+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，

由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，

x 的取值范围为()

(),11,-∞-+∞.

故选：B . 【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，

31log 5f ?

? ??

?，()5log 3f 的大小关系是（ ）

A ．()()3

521log log 3log 55f f f <

???

B ．()()3

251log log 5log 35f f f <

???

C ．()()5321log 3log log 55f f f ?

? ?

?<

D ．()()2351log 5log log 35f f f ?

? ?

?<

【答案】D 【解析】 【分析】

利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】

因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.

又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3

331log log 5log 55f f f ?

?

== ???

-，

所以()()2351log 5log log 35f f f ?

??

<. 故选：D. 【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.

6．在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ?的面为S ，且()2

2a b c =+-，则sin 4C π??

+

= ??

?

（ ）

A ．1

B ．

C D 【答案】D 【解析】 【分析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】

解：由()2

2a b c =+-，

得222

1sin 22ab C a b c ab =+-+，

∵ 2222cos a b c ab C +-=，

∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，

cos 1C C -=

即2sin 16C π?

?-= ??

?，

则1sin 62

C π??

-

= ??

?， ∵ 0C π<<， ∴ 56

6

6

C π

π

π-

<-

<

， ∴ 6

6

C π

π

-

=

，即3

C π

=

，

则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????1222+ 故选D ．

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 7．已知复数z 满足

1

1i z

=+，则z 的值为（ ） A ．

12

B ．2

C ．

22

D ．2

【答案】C 【解析】 【分析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】

因为21111111122i i z i z i i -=+?===-+-，所以22

112222z ????=+-= ? ?????

故选：C 【点睛】

本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 8．函数

的定义域为（ ）

A ．[，3）∪（3，+∞）

B ．（-∞，3）∪（3，+∞）

C ．[，+∞）

D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数

，

解得且；

函数的定义域为, 故选A ．

定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为

，则

函数

的定义域由不等式

求出.

9．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．

1427

B ．2

C ．1

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【详解】

解：由已知得2

()322f x x mx '

=-+，(1)3220f m '

∴=-+=，5

2

m ∴=

，经检验满足题意. 32

5()22f x x x x ∴=-

+，2()352f x x x '=-+. 由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得2

3x <或1x >.

所以函数()f x 在20,3??????上递增，在2,13??????

上递减，在[1,2]上递增.

则214

()327

f x f ??==

???

极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2. 故选：B. 【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题． 10．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、

C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．36种

【答案】B 【解析】 【分析】

分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】

如果甲单独到县，则方法数有22

6C A ?=种.

如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12

326C A ?=种.

故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

11．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557??????=

??????

，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该

程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

初始：1k =，2T =，第一次循环：228

2 2.8133T =??=<，2k =，继续循环；

第二次循环：844128

2.833545

T =??=

>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．

12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2

2

62x m y m -+--=与圆2C ：()()2

2

121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．2

C ．-1

D ．-2

【解析】 【分析】

由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】

因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O

在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，

()21,2C -三点共线，所以

6

2m m

+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．四边形ABCD 中，56A π∠=

，512B C π∠=∠=，3

D π∠=，2BC =，则AC 的最小值是______. 【答案】62

2

+ 【解析】 【分析】

在ABC ?中利用正弦定理得出52sin

12sin AC CAB

π

=∠，进而可知，当2

CAB π

∠=时，AC 取最小值，进而计算出结果. 【详解】

562sin

sin sin cos cos sin 124646464πππππππ+??

=+=+=

???

， 如图，在ABC ?中，由正弦定理可得

sin sin B

AC B B A C

C =∠∠，

即52sin

12sin AC CAB

π

=∠，故当2CAB π∠=时，AC 取到最小值为62

2

. 故答案为：62

2

. 【点睛】

14．ABC ?内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=__________． 【答案】120? 【解析】

∵2cos 2c B a b =+，∴222

222a c b c a b ac +-?=+，即222a b c ab +-=-，

∴2221

cos 22

a b c C ab +-==-，∴120C =?．

15．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B 与D 、B 与C 是相邻的，A 与D 、C 与D 是不相邻的）.

【答案】192 【解析】 【分析】

根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有3412?=种安排方法；

②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有222216???=种安排方法，

则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法1612192?=种； 故答案为：192 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

16．已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，

3PA AB ==，则该球的表面积为______.

【答案】21π 【解析】 【分析】

球的表面积. 【详解】

设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方

1

2

PA 处.设1O C

r =，由正弦定理得3223,3

3

sin

3

r r π

=

=

==.所以得三棱锥P ABCD -外接球的半径()()

()2

2

2

211119213244R OO O C PA O C ??=

+=+=+= ???

，所以外接球的表面积为221

44214

R πππ=?

=. 故答案为：21π

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知向量()

()

2

2sin ,3,cos ,2cos 1=-=-a x b x x ， ()f x a b =?.

（1）求()f x 的最小正周期；

（2）若ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,==a b ()3f A ABC ?的面积.

【答案】（1）π；（2）32或

2

2

【解析】 【分析】

（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得()sin()f x x π

=-

223

，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）

5

进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】

（1）()f x a b =

?22sin cos 1)x x x =-

sin 22x x =2sin(2)3

x π

=-

∴最小正周期22

T π

π=

= . （2）由（1）知()2sin 23f x x π??

=-

??

?

， ∴(

)2sin 23f A A π??

=-

= ??

?

∴sin 23π??-= ??

?A ， 又52A 333πππ-≤-≤ ∴2A 3

3

π

π

-=

或22A =

3

3π

π-

. 解得3

A π=或2A π=

当3

A π

=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-

即

2

22121cos

3

π

=+-??c c ， 解得=2c .

此时11sin 12sin 2232

π?==??=

ABC S bc A . 当2

A π

=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-.

即

2

22121cos

2

c c π

=+-??

，解得c

此时11sin 1sin 222ABC S bc A π?==?=

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．

18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2

2t t

t t

e e x e e y --?+=???-?=??

（其中t 为参数），直线l

的参数方程为2x y ?

=+??

?

?=??

（其中m 为参数） （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；

【答案】（1）2

cos 21((,))44

ππ

ρθθ=∈-（2）5

【解析】

【分析】

（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】

解：（1）曲线C ：22t t t t

e e x e e y --?+=???-?=??

消去参数t 得到：22

1(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2

2

2

2

cos sin 1((,))44

ππ

ρθρθθ-=∈-

所以2cos 21((,))44

ππ

ρθθ=∈-

（2）255x m y m ?

=+????=??代入22

1x y -=，

233055

m m ∴--= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：

215PA PB m m ∴?==

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 19．在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积的值（或最大值）．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且 ，求ABC 的面积的值（或最大值）．

【分析】 【详解】

若选择①，结合三角形的面积公式，得222

144sin 2

S bc A b c a =?=+-，化简得到

sin A =

222

cos 2b c a A bc

+-=，则tan 1A =，又0180A <

222

cos 2b c a A bc

+-=，得2224b c bc +=+． 又22242bc b c bc +=+≥，∴422bc ≤+，当且仅当422b c ==+时等号成立． ∴112sin 422)2122S bc A =≤?+?=+（，

故ABC 的面积的最大值为21+，此时422b c ==+．

若选择②，2a b ==，结合三角形的面积公式，得222

144sin 2

S bc A b c a =?=+-，化简得到

sin A =

222

cos 2b c a A bc

+-=，则tan 1A =，又0180A <

2222

S =

??=. 若选择③，2b c ==，则结合三角形的面积公式，得222

144sin 2

S bc A b c a =?=+-，化简得到

sin A =

222

cos 2b c a A bc

+-=，则tan 1A =，又0180A <

22sin 4522

S =????=．

20．如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯

形.//.223AB CD AD DC ==，且PAD 与ABD 均为正三角形.E 为AD 的中点,G 为PAD 重心,AC 与BD 相交于点F .

(1)求证://GF 平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）3

2

（1）第（1）问，连AG 交PD 于H ,连接CH .证明GF // HC ，即证//GF 平面PDC . (2)第(2)问，主要是利用体积变换，1

3

G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---?===??,求得三棱锥G PCD -的体积. 【详解】

（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .

由梯形ABCD ，||AB CD 且2AB DC =，知

2

1AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ?的重心，∴

2

1

AG GH = 在AHC ?中，

2

1

AG AF GH FC ==,故GF // HC . 又HC ?平面PCD , GF ? 平面PCD ,∴GF //平面PDC .

方法二：过G 作||GN AD 交PD 于N,过F 作FM||AD 交CD 于M,连接MN,

G 为△PAD 的重心，

222

, 3.333

GN PG GN ED DE PE ==∴== 又ABCD 为梯形，AB||CD,

11

,.22

CD CF AB AF =∴= 12,3,.33

MF MF GN FM AD ∴=∴=∴= 又由所作GN||AD,FM||AD,得GN // FM ，所以GNMF 为平行四边形. 因为GF||MN,,,||.GF PCD MN PCD GF PCD 平面平面平面??∴

（2） 方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ?与ABD ?均为正三角形， E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =

由（1）知GF //平面PDC ，∴1

3G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---?===??

又由梯形ABCD ，AB||CD ，且2AB DC ==13DF BD ==

又ABD ?为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴1sin 2CDF S CD DF BDC ?=

???∠=

，

得132

P CDF CDF V PE S -?=

??=

∴三棱锥G PCD - 方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ?与ABD ?均为正三角形， E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE = 由23PG PE =

，∴2221

3333

G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---?===???

而又ABD ?为正三角形，得120EDC ∠=，得1sin 2CDE S CD DE EDC ?=

???∠=

.

∴212133333P CDF CDF V PE S -?=

???=??=

，

∴三棱锥G PCD -的体积为

2

. 21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin 3cos 2

cos 3sin x y θθθθ

=--??

=+?（θ为参数），坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ?

?+=- ??

?.

（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，D 是曲线1C 上的动点，求ABD △面积的最大值.

【答案】（1）()2

21:210C x y ++=，2:40C x +=；（2）)

31.

【解析】 【分析】

（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数θ，可得出曲线1C 的普通方程，将曲线2C 的极坐标方程变形为

cos sin 40ρθθ+=，进而可得出曲线2C 的直角坐标方程；

（2）求出点D 到直线AB 的最大距离，以及直线2C 截圆1C 所得弦长AB ，利用三角形的面积公式可求

【详解】

（1）由曲线1C 的参数方程得2sin 3cos cos 3sin x y θθ

θθ+=-??

=+?

，

()()()2

2

2

22sin 3cos cos 3sin 10x y θθθθ∴++=-++=.

所以，曲线1C 的普通方程为()2

2210x y ++=，

将曲线2C 的极坐标方程变形为cos sin 40ρθθ+=，

所以，曲线2C 的直角坐标方程为40x ++=；

（2）曲线2C 是圆心为()2,0-，半径为r =为圆，

圆心()2,0-到直线40x ++=的距离为

1d =

=，

所以，点D 到直线40x +=的最大距离为1d r +=+6AB ==，

因此，ABD △的面积为最大值为()()

11

613122

AB d r ?+=??=.

【点睛】

本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 22． 已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值； （Ⅲ）若函数()()21F x f x x =

，当2a =时，()F x 的最大值为M

，求证：3

2

M <. 【答案】（Ⅰ）210.x y --=（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题()ln f x x x =+，()0,.x ∈+∞

所以()1

1.f x x

='+

故()11f =，()1 2.f '=，代入点斜式可得曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）由题()1.a x a

f x x x

=

'+=+ （1）当0a ≥时，()

f x 在()0,+∞上单调递增. 则函数()f x 在[]

1,e 上的最小值是()1 1.f = （2）当0a <时，令()0f x '>，即

.x a >-，令()0f x '<，即.x a <- （i ）当01a <-≤，即1a ≥-时，f x 在1,e 上单调递增，

所以()f x 在[]

1,e 上的最小值是()1 1.f =

（ii ）当1a e <-<，即1e a -≤≤-时，由()f x 的单调性可得()f x 在[]

1,e 上的最小值是()f a - （iii ）当a e -≥，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 在[]

1,e 上的最小值是().f e e a =+ （Ⅲ）()21ln .a x F x x x =

+当2a =时，()324ln .x x F x x

--'= 令()24ln g x x x =--，则()g x 是单调递减函数. 因为()110g =>，()24ln20g =-<，

所以在()1,2上存在0x ，使得()00g x =，即0024ln 0.x x --= 讨论可得()F x 在()01,x 上单调递增，在()0,2x 上单调递减. 所以当0x x =时，()F x 取得最大值是()00

02

2ln .x x M F x x +==

因为24ln 0x x --=，所以2

02

002111

.2416

x M x x ??+==+- ???由此可证3.2M < 试题解析：（Ⅰ）因为函数()ln f x x a x =+，且1a =， 所以()ln f x x x =+，()0,.x ∈+∞ 所以()1

1.f x x

='+

所以()11f =，()1 2.f '=

所以曲线在1x =处的切线方程是()121y x -=-，即210.x y --= （Ⅱ）因为函数()()ln 0f x x a x x =+>，所以()1.a x a f x x x

='+=+

（1）当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 所以函数()f x 在[]

1,e 上的最小值是()1 1.f =

（2）当0a <时，令()0f x '>，即0x a +>，所以.x a >- 令()0f x '<，即0x a +<，所以.x a <-

（i ）当01a <-≤，即1a ≥-时，()f x 在[]

1,e 上单调递增， 所以()f x 在[]

1,e 上的最小值是()1 1.f =

（ii ）当1a e <-<，即1e a -≤≤-时，()f x 在[]1,a -上单调递减，在(]

,a e -上单调递增，

（iii ）当a e -≥，即a e ≤-时，()f x 在[]

1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]

1,e 上的最小值是().f e e a =+

综上所述，当1a ≥-时，()f x 在[]

1,e 上的最小值是()1 1.f = 当1e a -≤≤-时，()f x 在[]

1,e 上的最小值是()()ln .f a a a a -=-+- 当a e ≤-时，()f x 在[]

1,e 上的最小值是().f e e a =+

（Ⅲ）因为函数()()21F x f x x =

，所以()21ln .a x F x x x =+ 所以当2a =时，()3

24ln .x x

F x x --'=

令()24ln g x x x =--，所以()g x 是单调递减函数. 因为()110g =>，()24ln20g =-<，

所以在()1,2上存在0x ，使得()00g x =，即0024ln 0.x x --= 所以当()01,x x ∈时，()0g x >；当()0,2x x ∈时，()0.g x < 即当()01,x x ∈时，()0F x '>；当()0,2x x ∈时，()0.F x '< 所以()F x 在()01,x 上单调递增，在()0,2x 上单调递减. 所以当0x x =时，()F x 取得最大值是()00

02

02ln .x x M F x x +==

因为24ln 0x x --=，所以2

0220000211111

.22416

x M x x x x ??+==+=+- ??? 因为()01,2x ∈，所以011,1.2x ??

∈ ???

所以3.2

M <

23．已知函数()x

e f x x

=，()()2ln g x x x =-

（Ⅰ）当0x >时，证明()()f x g x >；

（Ⅱ）已知点()()

,P x xf x ，点,Q sinx cosx -（），设函数()h x OP OQ =?，当,22x ππ??

∈-

???

?时，试判断()h x 的零点个数．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.

【分析】

（Ⅰ）令()()()()2ln x e x f x g x x x x Φ=-=--，0x >；则()()()2

12x x e x x x

--'Φ=．易得20x e x ->，()()120x e Φ≥Φ=->．即可证明()()f x g x >；

（Ⅱ）()sin cos x h x OP OQ x x e x =?=-+，分①,02x ??∈-

????π，② 0,4x π??∈ ???

，③ 当,42x ππ??

∈ ???时，讨论

()h x 的零点个数即可．

【详解】

解：（Ⅰ ）令()()()()2ln x

e x

f x

g x x x x Φ=-=--，0x >；

则()()()2

12x x e x x x --'Φ=

．

令()()20x

G x e x x =->，

()()20x G x e x '=->，

易得()G x 在()02ln ，递减，在()2ln +∞，

递增， ∴ ()()ln 222ln 20G x G ≥=->，∴20x e x ->在()0+∞，恒成立． ∵ ()x Φ在()01，递减，在()1+∞，

递增． ∴ ()()120x e Φ≥Φ=->． ∵()()f x g x >；

（Ⅱ ）∵ 点()()P x xf x ，，点()Q sinx cosx -,， ∴ ()sin cos x h x OP OQ x x e x =?=-+，

()()()1sin x x x x h x sinx xcosx e cosx e sinx e x cosx e x '=--+-=--+．

① 当,02x ??

∈-????

π时，可知2x e x x >>，∴0x e x -> ∴ ()

0x e x cosx -≥，()

10x

e sinx +≤，

∴ ()()()

10x x

h x e x cosx e sinx '=--+≥．

∴ ()h x 在02π??

-????

，单调递增，()010h =>，02h π-<（）． ∴ ()h x 在0π??-

，上有一个零点，

② 当0,

4x π??

∈ ??

?

时，cosx sinx ≥，x e x >， ∴ cos sin x e x x x >，∴()0h x >在04π??

???

，恒成立，

∴ ()h x 在()04h x π??

?

??

在，04π??

???

，无零点． ③ 当,42x ππ??

∈ ???42x ππ??∈ ???

当，时，0cos sin x x <<，

()()()cos sin cos sin 0x h x e x x x x x '=--+<．

∴ ()h x 在04π?? ???，()42h x ππ?? ???在，单调递减，022h ππ??=-< ???，4

0424h e πππ???=->? ?????

．

∴ ()h x 在04π??

???

，存在一个零点．

综上，()h x 的零点个数为1．． 【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．