弹性力学读书报告

弹性力学读书报告

一、弹性力学的发展及基本假设

弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、迦辽金等人的不断努力。使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学的几个基本假设。1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无关。当外力消除后，它能够恢复原来的形状。弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

二、三维方程

2.1三维应力状态下的平衡微分方程

物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx ，dy ，dz 。在微六面体x=0面上，应力是σx τ

xy τxz ；在

x=dx 面上的应力，

图一

根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得

,,xy x xz x xy xz dx dx dx x x x

τστ

σττ???+

+ +??? 同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P 点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程

0,0,00,0,0

x y z x y z F F F M M M ∑= ∑= ∑=∑= ∑= ∑=

考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得

()()()0

yx x

x x yx zx yx zx zx dx dydz dydz dy dxdz

x y

dxdz dz dxdy dxdy Xdxdydz z

τσσσττ

τττ??+-++???-++-+=?

整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得

0yx x zx

X x y z

τστ???+++=???（2-1.1） 同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得

0xy y zy yz

xz z Y x

y

z

Z x y z

τστττσ

???+

+

+=??????+++=???（2-1.2）

这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X ，Y ，Z 是单位体积里的体积力沿x ，y ，z 方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C 平衡于x 方向的轴取力矩平衡得

()()02222

yx zx yx yx zy zy dy dy dz dz

dy dxdz

dxdz dy dxdy dxdy y

z ττττττ??+

+-+-=?? 于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项

022

yx zy dy dz

dxdz

dxdy ττ= 由此可得

yx zy ττ=

同理可得

,xz zx xy yx ττττ= =

这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。

2.2三维应力状态下的几何方程

{}x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x z εεεεγγγ????????

???

??

?????????

??????????

??==??????????+??????????

???????

?+??????????+??????

2.3三维应力状态下的物理方程

()()()1

1

1

x x y z x x y z z z x y E E E

εσμσμσεσμσμσεσμσμσ=

--=--=--

物理方程的矩阵形式

{}()()[]{}100010001000

000000000000000122

112122122x x

y x x z xy xy yz yz zx zx E D μμ

μμμμσεμμμσεεσγτγτγτμσεμμμ

μ---????????????????????-????????===????+-??????-????

??????

??????-?

?????

其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵

{}()()()[]{}1000100010000002100000021000000211x x y x x z xy xy yz yz zx zx E σμμεσμμεμμεσγμτγμτμγτεσ------+++??????

????????????

??????===ψ????????????????

??????????????

三、在极坐标系下的基本方程

3.1应力坐标变换

我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为

222

cos sin arctan

r x y x r y y r x θθθ?=+=??

??==???

弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量，也可以在极坐标中求解。因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系，称为应力的坐标变化。

在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为

cos 2sin 222

cos 2sin 222sin 2cos 22x x x

r x x y r r xy

r θθθθθθθθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-?

=+-??

+-?

=

-+??

-?=+??

在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程

cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y r xy x y x y y

r x y r xy θθ

σσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-?

=

++??

+-?=--??

-?=+??

3.2极坐标下的平衡方程

020

r r r r r r K r r r

K r r r θθ

θθθθ

τσσσθσττθ

?-??+++=?????

???+++=???? 3.3极坐标下的几何方程为

r r r r r u r u u r r u u u r r r r θθ

θθθεεθθ??

=???

??=+???

???=+-????

四、弹性力学解题的主要方法

4.1位移解法

位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。

4.2应力解法

应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。

4.3应力函数解法

在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。

应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。

五、弹性力学的应用举例 例一：悬臂梁

（1） 确定应力函数的边界条件

图二

以A （0，h/2）为起始点，调整1ax by c φφ=+++中的任意常数使

00;0A A

A

x

y

φ

φφ??= ;

=

=??（a ）

选左手坐标系且M 以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足

逆时钟向：;;y x M R R x y φφ

φΓΓΓΓ??=

= =-??（b ） 顺时钟向：;;y x M R R x y φφ

φΓΓΓΓ

??=-

=- =??（c ） 其中，г为流动边界点。Rx ，Ry 和M г分别是从A 点起算的边界载荷对г点简化的主矢量和逆时钟向主距。

在下边界AB 上，载荷处处为零。由（b ）式得：

00;0;0/2x l y h x

y

φ

φφΓΓ

Γ

≤≤????=

=

= ?=????

（d ）

左边界AC 是放松边界，不必逐点给定υ及其偏导数值。在边界CD 上，按顺时钟向公式（c ）得

20();();0/22x l qx M Px P qx y h x y φφ

φΓΓΓ≤≤????=-++ =-+ = ?=-????（e ）

（2）选择域内应力函数

由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，υ沿x 方向按二次多项式规律变化，沿y 方向的规律未知，由此可选

2

012()()()2

x f y xf y f y φ=++（f ）

带入边界条件（d （e ）可以定出待定函数的边界条件 当y=h/2时，f 0=f 1= f 2=0

012

0df df df dy dy dy

===（g ） 当y=－2时，f 0=－M ；f 1=－P ；f 2=－q

012

0df df df dy dy dy

===（h ） （3）求待定函数

由边界条件（g ）可得出各待定常数：

33323;C ;2223;0;;22

23;0;102802q q q A D h h P P P E F G R h h M q M qh H K L h h h M N =-

B =0; = =-=- = = =-

=-- = =+

=-

（i ）

进而可得

3

133

23322

132(134)

2(134)24(134)(1)

280P y y f h h q y y f h h M y y qhy y f h h h

=--+=--+=--++-（j ）

最后带回到公式（f ）中得

3222

32114()(134)(1)2280y y qhy y M Px qx h h h

φ=-++-++-（k ）

（4）求应力

把（k ）式代入应力公式

22222x y xy V

y V x x y

φσφσφ

τ?=+??=+??=-

??

可以得到

223222

231213()(4)

252(1)(1)26()()

4

x y xy y y y M Px qx q h h h q y y h h h P qx y h σστ=-+++-=-+-=-+-（l ）

例二：圆环或圆筒受均布压力

图三

设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示，起内外径分别为a ，b ，内径表面受内压力qa 和外压力qb 作用。 考虑边界条件

00

r r r a r b r a r b

r a r b q q θθττσσ====?=?=?? ?

?=-=-????（a ） 将式

22

(12ln )2(32ln )20r r r A B r C r A B r C r θθθσσττ?=+++??

?

=-+++??

==???

（b ） 代入后得到

22

(12ln )2(12ln )2a b

A

B a

C q a

A B b C q

b ?+++=-???

?+++=-??（c ）

式中有三个未知数，连个方程不能确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件，即

24sin cos n Br u Hr I K u E

θθπθ

θθ+=

+-+= 要使其单值，必须有B=0，由式（c ）得

2222

2222

(),2a b b a q a q b a b A q q C b a b a -=- =--

将其代回应力分量式（b ）得应力分量为

22

2

2

222

222

22222

2111111110

r a b a b r r

b a r r q q b a a b b a r r q q b a a b θθθσσττ?--?=-??-?-??++?=-??-?-?==?????

上述应力表达式中

（1） 若a=0，qa=0，圆筒受两向等压的情况则有,r b b q q θσσ=- =-。

（2） 若qb=0（而qa ≠0），则径向应力和环向应力分别为

22

22222211(0),(0)11

r a a b b r r q q b b a a θσσ-+=< =>-- 可见，r σ总是压应力，θσ总是拉应力。

（3） 若qa=0（qb ≠0），径向应力和环向应力分别为

2222

2222

11(0),(0)11r b b a a r r q q a a b b

θσσ-+=-< =-<-- 可见，r σ，θσ总是压应力。

（4）若(0)a b q →∞≠，则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题，则有

22

22,r a a a a q q r r

θσσ=- =

例三：矩形薄板的位移，受力如图

图四

取坐标轴如图所示，把位移函数设为

123123()()

u x A A x A y v x B B x B y =++=++

所以

21232

123,,u x u x u xy v x v x v xy

= = == = =

不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移边界条件：

00()0,()0x x u v === =

按瑞利-里兹法求解。板的应力边界条件为 板上边界：

(),()0y b y b X Y τ=== =

板下边界：

00(),()0y y X Y τ===- =

板右边界：

()0,()x a x a X Y τ=== =

将位移试函数代入式

m m m

s m

m m s U

Xu dxdy Xu dS

A U Yv dxdy Yv dS

B σσ??=+????

??=+???

????????得 1001222002

23003()0

()01

()2a a s a a s a a s U

Xu dS xdx xdx A U

Xu dS x dx x dx A U Xu dS xadx xbdx a b A σ

σστττττττ?==-+=??==-+=??==-+=??????????

10122202

2

3031

2

b s b s b s U

Yv dS ady ab

B U

Yv dS a dy a b B U Yv dS aydy ab B σ

σσττττττ?===??===??===??????? 将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定6个待定系数。其结果是：

1231230

2(1),0

A A A

B B B E μτ===+=== 所得的位移分量为：2(1)

0,u v x E

μτ+==