二面角的求法

二面角求法总结

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M在侧棱上，=60°

（I）证明：M在侧棱的中点

（II）求二面角的大小。

变式1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60

ABC

∠=?,E，F

S ABCD

-ABCD SD⊥ABCD2

AD= 2

DC SD

==SC ABM

∠

S AM B

分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

，求二面角E—AF—C的余弦值.

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

（1）证明：直线EE//平面FCC；

（2）求二面角B-FC-C的余弦值。

变式2：（天津）如图，在四棱锥ABCD

P 中，底面ABCD是矩形．

1111

111

已知ο

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．

三．补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例3（湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中

点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

变式3-1:已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600

的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

B C

D P

（1）求证：AC 1⊥BC ；

（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

变式3-2:在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

B B 1

C 1 A 1

四、射影面积法（cos s S

q =

射影）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜

射S S =

θ）求出二面角的大小。

例4:（北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，

AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；

变式4： E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.

五、向量法 1.法向量

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例5：（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD 平面CDE ；求二面角A-CD-E 的余弦值。

⊥⊥1

⊥

变式5：（湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为?，试判断θ与?的大小关系，并予以证明.

2.向量外积法

定义：设b a ,是2个空间向量，b a 和的向量积c b a b a c b a c ,sin ,?=?=垂直于b a 和并且c b a ,,的方向符合右手法则.

定理：设()()

z y x z y x b b b b a a a a ,,,,,==，则()

x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a b a ---=?,, 具体步骤：

（1）建立空间直角坐标系；

（2）取与二面角的棱共线的向量a ，在平面βα、内分别取不与a 共线的向量21b b 、（注意方向）；（3）将a 放在前面作向量积分别求出平面βα、的法向量，即21,b a n b a m ?=?=；（4）利用向量夹角公式n

m n

m n m ??=

,cos ，求出n m ,cos 的值，此时无需再进行判断，n m ,cos 就是所求二面角的余弦值.

例6：（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

变式6：（广东卷理）如图，ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足5FB DF a ==，FE=6a ．（1）证明：EB ⊥FD ；

（2）已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得22

F ,33

Q FE FR FB =

=,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．

立体几何真题汇编

1.（2013山东卷理18）如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,

F E C D ,,,分别是BP AP BQ AQ ,,,的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点

G ，PC 与FQ 交于点

H ，连接GH 。

（1）证明：AB ∥GH ；

（2）求二面角E GH D --的余弦值。

2.（2013陕西卷理18）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，

⊥O A 1平面ABCD ，21==AA AB 。

（1）证明：⊥C A 1平面D D BB 11；

（2）求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小。

3.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别1,BB AB 的中点，AB CB AC AA 2

1===. （1）证明：1BC ∥平面CD A 1；（2）求二面角E C A D --1的正弦值。

A 1

C 1

4.（2013新课标1卷18）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =,0

160=∠BAA （1）证明：C A AB 1⊥；

（2）若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值

5.（2013江西卷理19）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，E 为BD 中点，G 为PD 中点，DAB ?≌DCB ?,1===AB EB EA ，2

=PA ,连结CE 并延长交AD 于点F 。（1）求证：⊥AD 平面CFG ；

（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值。

C 1

A 1

B 1

6.四棱锥ABCD

P-中，0

∠

∠BAD

ABC,AD

BC2

=,PAB

?和PAD

?都是等边三角形。（1）证明：CD

PB⊥；

（2）求二面角C

A-

-的大小。

7.（2013辽宁卷理18）如图，AB是圆的直径，⊥

PA圆所在的平面，C是圆上的点。

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若1

,2=

=PA

AB，求二面角A

C-

-的余弦值。

A B

8.在直棱柱1111D C B A ABCD -中，AD ∥BC ，090=∠BAD ，BD AC ⊥，1=BC ,31==AA AD （1）证明：D B AC 1⊥；

（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值。

9.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥

ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB . （1）求证：⊥1AA 平面ABC ；（2）求二面角111B BC A --的余弦值；

（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求

BC BD

的值。

C B

10.（

2013天津卷理17）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AB ∥DC ，

AD AB ⊥,1==CD AD ,21==AB AA ,E 为棱1AA 的中点。

（1）证明：CE C B ⊥11;

（2）求二面角11C CE B --的正弦值；

（3）设点M 在线段E C 1上，且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为6

，求线段AM 的长。

11.（2013重庆卷理19）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，2==CD BC ,4=AC ,

∠=∠ACD ACB ，F 是PC 的中点，PB AF ⊥。

（1）求PA 的长；

（2）求二面角D AF B --的正弦值。

12. AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.

（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12

DQ CP =u u u r u u u r

. 记直线PQ 与平面ABC

所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.

13.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．

（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面

11ADD A ；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．

D 1

A B 1

C 1

A P

图6

14.（2013广东卷理18）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90

=?，6

BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE

==O为BC的中点．将△ADE沿

DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE

-，其中'A O=

（1）证明：'A O⊥平面BCDE；

（2）求二面角'A CD B

--平面角的余弦值．

15.（2013安徽卷理19）如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.50,AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为600，

(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面; (2)求cos∠COD.

16.如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ;

（2）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.

17.（2013福建卷理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，AB ∥DC ，

11=AA ，k AB 3=，k AD 4=，k BC 5=，)0(,6>=k k DC 。

（1）求证：⊥CD 平面11A ADD ；

（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为

，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式（直接写出答案，不必说明理由）

18.如图，在直棱柱111C B A ABC -中，090=∠BAC ,2==AC AB ,31=AA ,D 是BC 中点，

点E 在棱1BB 上运动。（1）证明：E C AD 1⊥；

（2）当异面直线E C AC 1,所成的角为060时，求三棱锥E B A C 111-的体积。

D A 1

B 1

C 1

19．（2013新课标2卷文18）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别1,BB AB 的中点。（1）证明：1BC ∥平面CD A 1；

（2）设21===CB AC AA ,22=AB ,求三棱锥DE A C 1-的体积。

20.（2013江西卷文19）如图，直四棱锥1111D C B A ABCD -中，AB ∥CD ,AB AD ⊥,2=AB ，

2=AD ，31=AA ,E 为CD 上一点，3,1==EC DE

（1）证明：⊥BE 平面C C BB 11 （2）求点1B 到平面11C EA 的距离

B 1

C 1

21.（2013辽宁卷文18）如图，AB 是圆O 的直径，⊥PA 圆所在的平面，C 是圆O 上的点。（1）求证：⊥BC 平面PAC ；

（2）若Q 为PA 的中点，G 为AOC ?的重心，求证：QG ∥平面PBC

22.（2013大纲卷文19）如图，四棱锥ABCD P -中，090=∠=∠BAD ABC ,AD BC 2=,PAB ?和PAD ?都是边长为2等边三角形。（1）证明：CD PB ⊥；

（2）求点A 到平面PCD 的距离

23.（2013陕西卷文18）如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 12AB AA ==.

(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.

高中数学二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

二面角求法及经典题型归纳

- 1 - αβa O A B 二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A 的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

二面角的求法(教师版)

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G

二面角的几种求法

二面角的几种求法河北省武安市第一中学李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。关键词：二面角平面角三垂线定理空间向量在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。一：二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥, 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO

2220 0,,,,2 ,,, 9090AB AD BC CD AO BD CO BD AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴====∴===+=∴∠=-- 为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角 2.三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90?=∠ABC 平面⊥PA ABC ， 32,2,4===AB AD PA ,BC =6。 (Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小；解：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ．BD PA ∴⊥．又tan AD ABD AB = = tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥．又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ． DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．又9030DAC BAC =-= ∠∠， sin 1DE AD DAC ∴==， sin AE AB ABE == 又AC = EC ∴=8PC =． A E D P C B F

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

线面角及二面角的求法

第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中，因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中，因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.

由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.

立体几何中二面角的求法

专题五立体几何中二面角的求法 ★★★高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。二、垂线法例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。三、垂面法：例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面；（2）求二面角A 1-EC-D 的大小。

四、延伸法中点，例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC 1 求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。

参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A 1 BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A 1O，由EB=ED，A 1 B=A 1 D即知EO⊥⊥BD， A 1O⊥BD，故∠EOA 1 为所求二面角的平面角。例2、分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因 △VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。例3 分析与证明（1）要证A 1 、E、C、F四点共面，可证：A、 F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AH EC，又FH A 1 A。故A 1F//AH，即A 1 F//EC，从而A、E、C、F四点共面。

求二面角的基本方法

求二面角的基本方法 ——定义法与法向量法一、在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1 如图1,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC,且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 解析由于SB ＝BC,且E 是SC 的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC 底边SC 的中线,所以SC ⊥BE. 又已知SC ⊥DE,BE ∩DE ＝E, ∴SC ⊥面BDE,∴SC ⊥BD. 又∵SA ⊥底面ABC,BD 在底面ABC 上,∴SA ⊥BD. 而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC. ∵DE ＝面SAC ∩面BDE,DC ＝面SAC ∩面BDC, ∴BD ⊥DE,BD ⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC.设SA ＝a, 又因为AB ⊥ BC, ∴∠ACS ＝30.又DE ⊥SC, 所以∠EDC ＝60°即所求的二面角等于60°. 二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M 向另一个半平面引 1 图

垂线（垂足为H ），过H 向棱l 引垂线（垂足为N ），由三垂线定理可知l PN ⊥，则PNH ∠即为平面角（或其补角）。例2 如图2，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ?沿11C B 折起到111C B A ?的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：二面角M C B A --111 的大小。解析连接AM ，A 1G ，∵G 是正三角形ABC 的中心，且M 为BC 的中点， ∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC(图3) ． ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1， GA 1⊥B 1C 1，∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角． ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°。在Rt △A 1GM 中，由 A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=60°，即二面角A 1— B 1 C 1—M 的大小是60°。对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是：先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考虑使用射影面积公式S S 射影 =θcos ，这里给出下述两例：例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．解析延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所 2图3图4 图

解二面角问题三种方法(习题及答案)

C A D A A 1 B D C C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的： 1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。 2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角） 3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

二面角的计算方法精讲

图1 二面角的计算方法精讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有： ⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线； ⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是所求二面角的平面角。 ⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小．解：（1）证明： V A D A B C D A B A D A B V A D A B A B C D A D V A D A B C D ⊥? ?⊥??⊥????=? 平面平面平面平面平面平面（2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△V AD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知， BD VB,= == ∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， ∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， AB ，

因此，tan ∠AEB= .3 3 2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33 2arctan 例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面 BCD 成30°的角，且AB=BC. （1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小；（2）求二面角C-AD-B 的大小；（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ， ∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ，又∵DC ⊥BC ，AB BC B = , ∴ CD ⊥平面ABC ， ∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122== a a CD AC , ∴ 0 45=∠DAC , 即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ?面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ，又∵ 面ABD 面BCD=BD ，BCD CE ?面，CE ⊥BD ， ∴ CE ⊥面ABD ，又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD ⊥EF ，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角. 计算可知, BC CD CE BD ?=，2AD a,==1 2 CF AD a ==， ∴ CE sin CFE CF ∠= =，∴∠. 故，所求的二面角为

二面角大小的几种求法(归类总结分析)复习过程

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。 I.寻找有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法）一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个主要特征”来找出平面角。例空间三条射线 CA 、CP 、CB ，/ PCA 二/ PCB=60。，/ ACB=90。，求二面角 B-PC-A 的大小。解：过PC 上的点D 分别作DE 丄AC 于E , DF 丄BC 于F ,连EF. ???/ EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a ,vZ PCA= / PCB=60°, ??? CE=CF=2a , DE=DF= 3a ，又ACB=90°，二 EF=2 2a , 2 2 2 ? / EDF= 3a 3a __8^ 1 2 3a 2 3 APB= BPC= CPA=60°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。 2.如图，已知二面角 a ap 等于120° PA 丄a A € a, PB 丄B, B €伏求/ APB 的大小 1.在三棱锥P-ABC 中, P A

高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A

∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、（ 3、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO

二面角大小的几种求法(归类总结分析)

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。 I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ) 一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。 1. 在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。 2.如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60? ，PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. 2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法. A α β P B l

最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt △PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？点金P43例2 3如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性. 作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥A B 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角. 依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E= 22，A 1F=2 3 ，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 . 与图3中的Rt △PAB 比较，这里的Rt △A 1EF 就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备. 4．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． (1)证明：1B C AB ⊥； (2)若1 AC AB ⊥， o 160CBB ∠=，1BC =，试画出二面角1A BC B --的平面角，并求它的余弦值． 3 垂面法事实上，图1中的平面COC 1、图2(2)中的平面QMF 、图3中的平面PAB 、图4中的平面A 1FE 都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果. 图4 B 1 A α β A 1 B l E

二面角的基本求法例题

C1 C1 B 二面角的基本求法例题一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。求证：BEF BDG ^ 平面平面。例2．AB BCD BC CD ^= 平面，，90 BCD° ?，E、F分别是AC、AD的中点。求证：BEF ABC ^ 平面平面。 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。二、二面角的基本求法 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角 11 A B C A --的大小；（2）平面 11 A DC与平面 11 ADD A所成角的正切值。练习：过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a，求二面角B PC D --的大小。 2．三垂线法例5．ABCD ABEF ABCD ^ 平面平面，是正方形，ABEF是矩 AF= 1 2 AD=a，G是EF的中点，（1）求证：AGC BGC ^ 平面平面；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值； C

C （3）求二面角B AC G --的大小。例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB 是正三角形，PA BC ^。（1）求证：^平面PA B 平面A BC ；（2）求二面角P AC B --的大小。练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。 B1 B A 3．垂面法例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，，（1）求证：SB BC ^；（2）求二面角C SA B --的大小；（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4．无棱二面角的处理方法（1）找棱例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。（2）射影面积法（cos s S q = 射影）例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点，求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。