二元函数极限存在的判别法

编号

学士学位论文二元函数极限存在的判别法

学生姓名：古丽加玛丽·图拉克

学号：20080101049

系部：数学系

专业：数学与应用数学

年级：2008-3班

指导教师：木台力甫·努尔

完成日期：2013 年05 月10 日

I

摘要

极限方法是研究函数的主要方法之一。极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。

关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。

II

目 录

摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4)

2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9)

4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21)

1

引言

二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式，这是这两者的最大的区别。极限是数学分析中非常重要的概念之一，也是比较难理解和掌握的知识，特别是二元函数的极限。极限的基本思想自始至终对解决分析中面对的问题起关键的作用。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定任意方向的都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(),x y 不同变化趋势和函数(),f x y 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后对复杂的二重极限计算，就能简便。

下面我介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限，二元函数极限存在的一些方法。

1.二元函数极限的基本概念

定义：设函数(),f x y 在区域D 内有定义，()000,P x y 是D 的内点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ ，使得于D 内且适合不等式, (),x y D ?∈有

当 00x x δ<-<， 00y y δ<-<

的一切点(),P x y ，都有(),f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(),f x y ，在点

0,0()x y 的二重极限。

记作：()0

lim ,x x

y y f x y A →→= 或 (),f x y A → ()()00,,x y x y →. 例1:证明：

22(,)(2,1)

()7lim

x y x xy y →++=

2

证明： 22227(4)2(1)x xy y x xy y ++-=-+-+-=

(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y =-++-+-+-+ 2213x x y y y ≤-+++-+，

先限制定在点（2,1）的1δ=的方领域 {}

(,)21,11x y x y -<-< 上讨论，于是有314145y y y +=-+≤-+<

2(2)(1)5x y x y ++=-+-+2157.x y ≤-+-+< 所以2277251x xy y x y ++-≤-+-7(21).x y <-+-

设ε为人给的正数，取min 1,14εδ??

=????

，则当2,1,(,)(2,1)x y x y δδ-<-<≠

时，就有2277.214x xy y δδε++-<=<; 即 22(.)(2,1)

lim ()7x y x xy y →++=.

例2. 22

22

(,)0,0(,) (,)0 (,)(0,0)x y xy x y f x y x f x y y

x y ?-≠?=+=??=?

（） 证明：

(.)(0,0)

lim (,)0x y f x y →=.

证：对函数的自变量作极坐标变换cos ,sin x r y r ??==这时(,)(0,0)x y →等价于任何?都有0r →，由于

2222(,)00x y f x y xy x y --=-+=22222

222

cos sin cos .sin cos sin r r r r r r ??

????

-+ =222111

.sin 2.cos 2sin 4244

r r r ???=≤

3

因此对任何0ε>

，只需δ=0r δ<=<时不管?取什么值都有

(,)0f x y ε-<即(,)(0,0)

lim (,)0x y f x y →=;

二．累次极限

定义：设(),

f xy 在点()00,x y 的某个领域()0

0U P 有定义 。

如果当x a →时(y 看成常数）,函数(),f x y 存在极限,设 ()()lim ,x a

f x y y ?→=，当y b →时，()y ?也存在极限，设

()()lim limlim ,y b

y b x a

y f x y B ?→→→==,

同理有()limlim ,x a y b

f x y C →→=， 则称B 和 C 是函数 (),f x y 在点 (),P a b 的累

次极限.

例3.讨论(,)(0,0)x y →时的极限.

解：当动点(,)x y 沿着直线y mx =趋于定点(0,0)时，由于此时

2

(,)(,)1m

f x y f x mx m ==

+，因而有 (,)(0,0)

0lim

(,)lim (,)x y x f x y f x mx →→=2

22(1)mx x m =+21m m

=+. 结果说明动点沿不同的斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同。因此讨论的极限(二重极限)不存在. 但当0y ≠时有 22

lim

0x xy

x y

→=+ 从而有 22

00

limlim

0y x xy

x y →→=+

同理可得 22

00limlim

0x y xy

x y →→=+

即(,)f x y 的两个累次极限都存在且相等.

4

2.二重极限与累次极限之间的关系

一般来说，二重极限和累次极限没有蕰涵关系。

2.1关系1

两个累次极限都存在且相等，但是二重极限可能不存在。

例4:函数(),f x y =242

x y

x y

+，()()(),0,0x y ≠，在原点()0,0两个累次极限都存在且相等，但是二重极限不存在。

证明：当动点(),P x y 沿着2y x =抛物线无限趋近于定点()0,0时，有（将y 换

成2

x ）（将y 换成2

x ）()42

4001lim ,lim 0;22

x x x f x x x →→==≠

于是函数(),f x y 在原点()0,0的二重极限不存在。

当(,)p x y 沿着x 抽(0)y =和沿着y 抽(0)x =无线趋近于原点(0,0)时极限都在.

2420lim 0x x y x y →=+从而242

00limlim 0y x x y

x y →→=+ 同理可得242

00limlim 0x y x y

x y →→=+

即(,)f x y 的两个累次极限都存在且相等。

2.2关系2

二重极限存在，但是两个累次极限都不存在。

例5： 考察二元函数11

(,)()sin sin f x y x y x y

=+在原点处的二重极限与累次极

5

限是否存在。

解：由于有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量可得，

(,)(0,0)

(,)(0,0)11lim (,)lim

()sin sin 0x y x y f x y x y x y →→??=

+=???? 即 二重极限存在。

对任意0y ≠ 由于括号里的1sin x x 极限不存在，

1sin x x 011lim ()sin sin x x y x y →??

+????

不存在.

从而有0011limlim ()sin sin y x x y x y →→??

+???

?不存在。

同理0011limlim ()sin sin x y x y x y →→??

+???

?也不存在，所以这两个累次极限都不存在。

2.3关系3 （定理1）

定理：若函数(),f x y 在点()000,P x y 的二重极限与累次极限（首先0y y →，其次0x x →）都存在，则()()0

00

lim ,lim lim ,.x x y y x x y y f x y f x y →→→→= 。 证明:设 ()0

lim ,x x y y f x y →→A =与()00

lim lim ,x x y y f x y B →→=。 由二重极限的定义，0ε?>，0δ?>，()0,:x y x x δ?-<与0y y δ-< 且()()00,,x y x y ≠时， 有(),f x y A ε-<(1)由累次极限，?0:0x x x δ<-<，极限()0

lim ,y y f x y →存在。

设()0

lim ,y y f x y →=()x ?，从而，有()()00

lim lim ,lim x x y y x x f x y x B ?→→→==.对不等式()1取极

限()0y y →有，()0

lim ,y y f x y A ε→-≤ 即，()x A ?ε-≤，即 A B =

再取极限()0

lim x x x A ?ε→-≤,即B A ε-≤;

6

例6.函数22(,)236f x y x y x y =++++在原点(0,0)处的二重极限与累次极限的存在性.

解：

22(,)(0,0)

(,)(0,0)

lim (,)lim (236)6x y x y f x y x y x y →→=

++++=

220000limlim (,)lim lim(236)y x y x f x y x y x y →→→→??=++++=?? =20

lim(36)6y y y →++=.

220000lim lim (,)lim lim(236)x y x y f x y x y x y →→→→??=++++????

=

=20

lim(26)6x x x →++=；

即此二元函数的二重极限与累次极限都存在且等于6.

3.二元函数极限存在的充要条件

定理1：设二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 的某去心领域内有定义，函数(,)f x y 在

000(,)p x y 处极限存在的充分必要条件是对任意收敛于000(,)p x y 的点列(,)n

n n p x y ，

（其中对于,0n ?<）都有数列{}(,)n n f x y 收敛。 定理2：设二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 的某去心领域内有定义，对任意收敛于000(,)p x y 的点列(,)

n n n p x y ，

（其中对于,0n ?<）都有数列{}(,)n n f x y 收敛的条件是对于任意点列00(cos ,sin )n n n n n p x y ρθρθ++，（其中对于,0n n ρ?>且lim 0n n ρ→∞

=）都有数列{}00(cos ,sin )n n n n f x y ρθρθ++收敛。

证明：（充分性）对于点列(,)

n n n p x y ，令n p = 则0sin n n n y y ρθ=+，0cos n n n x x ρθ=+由于(,)n n n p x y 收敛于000(,)p x y

从而l i m 0n n ρ→∞

=，因此数列{}00(cos ,sin )n n n n f x y ρθρθ++收敛，即数列

7

{}(,)n n f x y 收敛。

必要性对于任意数列000(,)p x y 令0cos n n n x x ρθ=+，0sin n n n y y ρθ=+由于lim

0n n ρ→∞

=从而lim 0n n n ρ→∞

==

即点列(,)n n n p x y 收敛于000(,)p x y ，从而(,)n n f x y 收敛，即数列

{}00(cos ,sin )n n n n f x y ρθρθ++收敛。

定理3：设二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 的某去心领域内有定义，二元函数

(,)f x y 在000(,)p x y 处极限存在的条件是对于任意点列

00(cos ,sin )n n n n n p x y ρθρθ++，(其中对于,0n n ρ?>且lim 0n n ρ→∞

=)都有数列

{}00(cos ,sin )n n n n f x y ρθρθ+

+收敛。

例7.判断函数2222

0(,)0, 0

x y f x y x y +≠=+=? 在（0,0）处是

极限否存在.

解：对任意点列(cos ,sin )n n n n n p ρθρθ，其中lim 0n n ρ→∞

=

(cos ,sin )n n n n

n f ρθρθ=

=2sin .cos n n n n

ρθθρsin .cos n n n ρθθ= 由于数列{}sin .cos n n θθ有界，

且lim 0n n ρ→∞=从而lim sin .cos 0n n n n ρθθ→∞

=，即(cos ,sin )n n n n f ρθρθ收敛，因此函数(,)f x y 在处

（0,0）极限存在，且极限为0.

推论1：设二元函数z f =在点000(,)p x y 处极限存在的充要条件是一元函数()z f u =在u o =处右极限存在。

8

证：充分性：设一元函数()z f u =在u o =处右极限为A ，对任意收敛于000(,)p x y 的点列00(cos ,sin )n n n n n p x y ρθρθ++有()n n z f ρ=，由于lim 0n n ρ→∞

=，从而

lim ()n n

f ρ→∞

=A 再由定理3可知，二元函数z f =在点

000(,)p x y 处极限存在。

必要性 ：对任意数列{}n u ，其中0n u >，且lim

0n n u →∞

=，由于二元函数

z f =在点000(,)p x y 处极限存在，从而对点列

00(cos ,sin )n n n n n p u x u y θθ++，使得{}00(cos ,sin )n n n n f u x u y θθ++收敛，即数列()f u 收敛，从而一元函数()z f u =在u o =处右极限存在。 推论2：设二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 的某去心领域内有定义,如果

{}00(cos ,sin )n n n n z f x y ρθρθ=++满足下列条件之一，则(,)z f x y =在000(,)p x y 处的极限存在。 1）()z ?ρ=其中0

lim ()ρ?ρ+→存在。

2）()()z ?ρ?θ=+A 其中0

lim ()0ρ?ρ+→=，()?θ为有界函数，A 为常数。

证明：对于条件1由推论1可以推得出.

对于条件2若点列(cos ,sin )n n n n n p ρθρθ满足lim 0n n u →∞

=，则

()()z ?ρ?θ=+A ，由于0

lim ()0ρ?ρ+→=，()?θ为有界函数，从而lim ()()n ?ρ?θ→∞

+A

收敛，再由定理3可知，二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 处收敛。 推论3: 设二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 的某去心领域内有定义,若

{}00(cos ,sin )n n n n z f x y ρθρθ=++可表为()z ?θ=，

（其中()z ?θ=不为常数），

9

则二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 处发散。

证明：由于()?θ不为常数，则存在不等的1θ，2θ使得12()()?θ?θ≠对于点

列0011

(cos ,sin )n n n p x y n n θθ++，其中n 为奇数时1n θθ=当n 为偶数时，2n θθ=则

0011

(cos ,sin )()n n f x y n n θθ?θ++=显然lim ()n ?θ→∞发散，由定理3可知，二元函数

(,)f x y 在处发散。

4.有关极限存在的结论

4.1结论1

如果有一条路径极限不存在或者至少有两条路径的极限存在，但极限不相等，则函数的极限不存在。

例8：函数()242

,x y

f x y x y

=+，()()(),0,0x y ≠，在原点()0,0不存在极限。 证明: (),P x y 沿着x 轴()0y =和y 轴()0x =无限趋近于原点()0,0时, 极限都是0，即()0

lim ,00x f x →=与()0

lim 0,0y f y →=, 动点(),p x y 沿着通过原点()0,0的

抛物线2y x =无限趋近于原点()0,0时，有（将y 换成2x ）

()42

4001lim ,lim ;22x x x f x x x →→==所以二重极限00242lim x y x y

x y

→→+不存在。 4.2结论2

决定二元函数不定时过程中，到现在还没有一定的法则，现在我们看下面的几种情况：

法则：二元函数满足下列条件：()()(),,,f x y g x y

10

()1在除去中心矩形

00:0,0D x x a y y b <-<<-<中存在连续偏导数，且

()(),,0x y g x y x g x y y ''+≠ 。 （2）()()0

lim ,lim ,0x x

x x y y y y f x y g x y →→→→== （3）()()()()

()()()()

00000,,lim ,,x x y y x y x y f x y x x f x y y y A g x y x x g x y y y →→''-+-=''-+-(A 常数或+∞或-∞) ， 则()

()

0,lim ,x x y y f x y A g x y →→=; 在实际应用上这个法则没有那么大的作用，因为检验条件（3） 比求出原函数极限还难，甚至更简单情况下求不出极限值 。

例9：求出 00lim x y xy x y →→+与0

022

22lim x y x y x y

→→+（使用法则）。 解：002222lim x y x y x y →→+=0

222..2..lim 2.2.x y x y y y x x x x y y →→++=20022

22lim x y x y x y →→+ ，这不是属于固定极限题。 况且，使用另一种方法得 ，0

022

22lim 0x y x y x y

→→=+，00lim x y xy x y →→+不存在。 这个推论可以推广到多元函数。 为了方便，000,0x y ==

设 ()()(),,,n m F x y f x y G x y =与()()()

()()

,,,,,n n m m F x y f x y f x y G x y g x y +=+。

不可约有理分式函数，令它们的定义域分别为D 与Ω，n F 和m G ,在D 上存在连续偏导数，在D (D 的稠密 点 集)n 次与m 次连续的幂函数。(),n f x y ，()

,m g x y

11

去掉了原点某一个去心邻域内有定义，且，当0r →时

(),n f x y =()n o r ，(),m g x

y =()m o r ，r = ,0m n > 很显然，当0x →，

0y →时， (),f x y ，(),f x y 属于“0

”型的极限问题。

4.3结论3

定理2. m n ≠，且0

lim x y →→(),f x y A =（常数）则0A =； 证明：使用法则与关于齐次函数的欧拉公式

lim x y →→(),f x y = ()()

()()()()00,,,lim ,,,x y n n

n m m m F x y F x y x

y nF x y x y

G x y G x y mG x y x y

x y →→?+??=??+??=n m 0

0lim x y →→(),f x y 即n A A m

=

总之0A =,定理1求出 ， 当m n ≠，0,0x y →→时，则二元函数(),f x y 的极限很简单，即，零，∞或不存在。 下面进一步讨论,,n m n m n m >=<的情况。 定理3:

当n m >且(),m G x y 函数，除了D 内原点以外都取正或负，则0

lim x y →→(),f x y 0=； 证明:因为,x y 不能同时为0，在D 中，若果x y ≥，则令()1,y ux u =<则有

(),n F x y =()()()1,,,1,n m n m m x F u G x y x G u =，任取一点

()0,

x y D ∈

则

00

lim x x y y →→(),m G x y =()00,0m G x y >，即0

lim x x y y →→()1,m G u =()01,m G u >0

12

因此()1,m G u 在0

00

y u u x ==

点 连续，于是[]1,1-上连续，且能取到最大值m L 与最小值m l ，使 ()01,m m m l G u L ≤≤≤同样，使()1,n F U 在[]1,1-上能取到最大

n K 与最小值n k ， 使 ()01,n n n k F u K ≤≤≤于是有

()()(),,,n n m m F x y f x y x G x y -=

=()(),,n m F x y G x y ≤n m x -n m

K

l ，

若 x y ≤，则令x vy =，同样有()()(),1,,1n m

n n m n m m

F v K f x y y

y G v l --'

=≤'，其中

,n

m k l ''分别是(),1n F v 与()[],11,1m v -G 在中的最大和最小值。 所以，总有()0

lim ,0x y f x y →→=。 例10：求0

0lim x y →→3223

22

x x y xy y x xy y +++-+ 解：()3,F x y = 3223x x y xy y +++且()222,G x y x xy y =-+原点以外都取正值，总之由于定理2

0lim x y →→3223

22x x y xy y x xy y

+++-+=0； 推论1：n m >且(),m G x y 除了Ω内原点以外能取正值或负值，则有

l i m x y →→(),f x y =0. 证明：（当0,0αβ→→时，0r →）令()(),,,,,m n m n g x y r f x y r x y βα==不能同时为零在Ω上，若果x y ≥，则有

(),f x y =()(),,n

n m m F x y r G x y r

αβ++=()()()()22

221,11,1n

n m n m m F u u x G u u αβ-++++=n m x -2

2

.2.2n n m

m K l αβ+- 。

13

如果x y ≤ ，同样有 (),f x y =2

2

.2.2n

n m

n

m m

K y

l αβ-'+'- 使 ()0

lim ,0x y f x y →→=； 例11：求0

lim x y →→()

32

2

2

3

2sin x y xy x y x -+++

解：()222,F x y x y =- ,()10,,2xy G x y x y ≥∴=+除了原点以外都能取正值或负值，由定理2，

lim x y →→()

3

22

2

0xy x y

=+，0

lim x y →→3=0

lim x y →→30=

即()()32

xy o r =，()3sin x o r =，

由推论1，0

lim x y →→()

3

2

2

2

32sin x y xy x y x -+++=0； 定理4：当n m =，则()0

lim ,x y f x y C →→=充要条件是(),n F x y =(),m CG x y ; 证明：充分是显然的，我们要证明必要性：

假设：()()00,l i m ,x y n m

F x y

C G x y →→=，则()()00,l i m ,x y n m F x y G x y →→=()()()1,01,n m F k C K G k =≠,因为

()1,n F k =C ()1,m G k ，(),n F x y =C (),m G x y

因为n m =所以()1,n F k =C ()1,m G k ，(),n F x y =C (),m G x y ； 推论1：n m =且在Ω内：

如果函数(),n G x y 除了Ω内以外都取正值或负值 ，则()0

lim ,x y f x y C →→=； 若函数(),n G x y 在Ω内改变符号，则()0

lim ,x y f x y C →→= 的充分必要条件是： ()()

()()

,,lim 0,,x y n n n n f x y g x y G x y g x y →→-=+；

证明：在Ω上，若x y >，则

14

(),f x y C -=()2

2

22

22

2

21,

2

,2

1,1,n

n n n

n

n n

n n n y C C x r C r G x y r y y l G x x αβαβαββββ??

- ?--??

≤

≤

+??-??

- ? ?????

若 x y < 则同理 ()2

2

2

,2

n n n C f x y C l αββ--≤

-， 使得有 ()0

lim ,x y f x y C →→=,因为由于（2），所以()()()

()()0

,,lim ,,,x y n n n n f x y Cg x y f x y C G x y g x y →→--=+，所以充要条件成立。

例12

：求0

lim x y →

→()

23

2

ln 1y x

+

解：()(

)()()()2111,,ln 10,,0F x y f x y y r G x y ==+==>，

()()32

1,g x y x o r ==（除了原点以外）

00lim x y →→()()

()()1111,,,,f x y g x y G x y g x y -=+0

0lim x y →

→()()()(

)

113112

,,2,,f x y g x y G x y g x y x -==+ 由定理3，推论1结果是极限存在且等于2。 例13.求0

lim x y →→()

2ln 1xy x y xy

++

解：()()()()2222,,,1,,G x y xy f x y xy F x y xy ==+=在Ω上改变符号，

()2,0g x y =，且()()()()2222,,,,f x y g x y G x y g x y -=+0

0lim x y →→()2ln 1xy xy +=1 所以由定理4推论1，0

lim x y →→()

2ln 1xy x y xy

++=1；

15

4.4结论4

齐次有理分式函数(),f x y 的极限存在判别法。 设齐次有理分式函数()()

()

,,,g x y f x y h x y =，其中(),g x y ，(),h x y 分别是关于,x y

的实系数m 次和n 次多项式且互质

()122012,............m m m m m g x y a x a x y a x y a y --=++++，

()122012,............n n n n n h x y b x b x y b x y b y --=++++其中n 和m 为正整数。

判别法1：

对上述的齐次 有理分式函数当m n >时，

如果关于x 的方程(),10h x =和关于y 的方程()1,0h y =都无实根，则

()0

lim ,0x y f x y →→=。 证明：若方程(),10h x =和()1,0h y =都无实根。 先设()0x y x ≥≠，那么，

()1,,1,m n y x g x f x y y x h x ??

?

??=

?? ???

1,1,m n

y g x x y h x -?? ?

??=?? ???

，由于1y x

≤，所以11y x -≤≤，又因为

1,y h x ?? ???0i

n

i i y b x =??

= ???

∑对变量 y x 来说是一元初等函数，在[]1,1-上有最大值和最小

值，不妨设为1M 和1m 。由于(),10h =无实根。所以1,0y h x ??

≠ ???

，故110,0M m ≠≠，

而

16

1,y g x ?? ???=0i m i i y a x =?? ???∑0

m

i i a =≤∑ ， 所以1,1,y g x y h x ?? ??

??? ???

}{

11min ,m

i i a m M =≤∑ 有界，又因为m n >，所以0m n x -→（当0x →时），因此，当,x y m n ≥>时有

()0

lim ,x y f x y →→=00

1,lim 01,x y m n y g x x y h x →→-??

?

??=?? ???

。 例14：()33

22,x y f x y x y +=+，求()0

lim ,x y f x y →→； 解：因为，3,2,m n m n ==>，且()2,110h x x =+=与()21,10h y y =+=都无实根。

所以有判别法1，()00

0033

22lim ,lim 0;x x y y x y f x y x y →→→→+==+ 判别法2：

对上述的齐次有理分式函数当m n =时，极限存在的存在充要条件是

(),f x y C ≡（常数）.

证明：必要性：若有()0

lim ,x y f x y C →→≡（常数）那么对于任意不为零的实数K ，都有()00,n n

i i i n

n i i i x a k f x kx x b k =

=?? ???=?? ???

∑∑所以，()()00000

0lim ,lim ,x x y y n

i i i n i i i a k f x kx f x y b k →→→→=====∑∑故有00n

n i

i i i i i a k C b k ==??= ?

??

∑∑，即()00n

i i i i a Cb k =-=∑ 所以i i a Cb -=0()0,1,2,.........i n =所

17

以i i a Cb =，()0,1,2,.........i n =，所以()000

,n i

n i

n

n

n i

i

n i

i

i i

i i n

n

i

i

i i i i a x

y

Cb x

y f x y C b x

y b x

y ----=====

=

=∑∑∑∑

充分性是显然的。 例15.（1）()22,xy

f x y x y =

+ （2）(),5f x y = 求()0

lim ,x y f x y →→ 解：（1）因为()2,,m n f x y C ==≠,由判别法则2可知，

()00

22

lim ,lim x x y y xy

f x y x y

→→→→=+ 不存在。 所以（1）函数的极限不存在。

（2）因为(),5f x y =，所以()0,,m n f x y C ===,同样有判别法2可知

()00

lim ,lim55x x y y f x y →→→→==。 函数（2）的极限存在且等于5.

定理5：设(),f x y 在()0,0点的某去心邻域内有定义，则()0

lim ,x y f x y A →→=的充分必要条件是：当r 趋于零时，()cos ,sin f r t r t 在[]0,2π上一致收敛于常数A .

证明：必要性：由()00

l i m ,x y f x y A →

→=

，知对任意0ε>存在0,δ>所以

222

0x y δ<+<时(),f x y A ε-<当cos ,sin ,x r t y r t ==只要,0r δ<<对所有的[]0,2t π∈有()cos ,sin f r t r t A ε-<,故当r 趋于0时()cos ,sin f r t r t 在[]0,2π上一致收敛于A 。

同样容易的证明充分性。

要注意的是，()cos ,sin f r t r t 在[]0,2π上一致收敛于A 。