直角三角形性质综合应用(一)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题
问题1：看到直角，有哪些思考角度？
问题2：特殊角30°、45°的用法是什么？
直角三角形性质综合应用（一）（人教版）一、单选题(共7道，每道12分)
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，CD=，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
2.如图，在Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到点C，使EC=AB，过点C，E分别作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD．若AB=6，DC=8，则AD的长是( )
A.10
B.14
C. D.无法确定
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：弦图结构
3.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点.已知∠BAC+∠ABC=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为( )
A.10
B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形的判定
4.在等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若△ABC的周长为12，则△CDE的周长为( )
A.4
B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到，交AC于点D，若AD=4，则△ABC的周长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，垂足为E，D为AB的中点，若DE=10，AE=16，则线段BC=( )
A.12
B.13
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠BAC交BC于点P，∠BCD=45°，若AB=，则AD的长为( )
A. B.
C.8
D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形
二、填空题(共1道，每道16分)
8.如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的弦图结构，记图中正方形ABCD，
正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为．若，则=____．
答案：5
解题思路：
试题难度：知识点：弦图结构
直角三角形性质应用(讲义)
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
直角三角形的性质(二)
直角三角形的性质（二） 编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的 思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题 和解决问题能力。 二、【教学重点】与难点： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 四、【教学过程】： （一）引入： 如果你是设计师：（提出问题） 2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公 交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构 成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ （通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引 发学生的学习兴趣。） 动一动想一想猜一猜（实验操作） 请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。 通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么 关系？ （通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的 关系。） （二）新授： 提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程） 应用定理： 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC 的中点。 求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即 可证得。 （上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化 使斜边重合，我们可以得到哪些结论？） 练习变式： 1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC F E D C B A
四年级下册--三角形讲义
辅导讲义 一、提升目标 1、熟悉三角形的概念，以及它的物理特性，边的特性 2、能利用三角形内角和来解决三角形的问题 3、可以用三角形来拼成一些图形 二、学习内容 1、三角形的概念以及它的特性 2、三角形的内角和 3、图形的拼组 三、课堂表现及学习效果 四、请家长监督孩子完成当天作业！ 长确认：_________________
三角形 【三角形的特性】 例题：画一个三角形。说一说三角形有几条边？几个角？几个顶点？ 由三条线段围成的图形（每相邻两条 线段的端点相连）叫做三角形 ①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间 的线段 ②三角形的底：这条对边叫做三角形的底 用字母A、B、C分别表示三角形 的三个顶点，这个三角形可以表示 成三角形ABC 三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形） ②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边 做一做 1、由三条围成的图形(每的端点相连)叫做三角形，三角形具有性。 2、一个三角形最多可以画（）条高。 A、一 B、二 C、三 D、四 3、下面各组中的三条线段，可以围成一个三角形的是（） A、2、4、6 B、2、5、5 C、2、2、5 D、3、4、7 4、已知一个三角形的两条边是7厘米和8厘米，则第三条边不可能是（）
A、2厘米 B、3厘米 C、14厘米 D、1厘米 5、一个三角形有两条边分别长6厘米和4厘米，它的另一边一定（） A、等于10厘米 B、小于10厘米 C、大于10厘米 D、以上没答案 6、一个三角形的周长是24厘米，那么它的任意一条边一定（）12厘米。 A、等于 B、小于 C、大于 D、以上没答案 【三角形的分类】 例：给三角形分类 三角形（按角来分） 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形 直角三角形：有一个角是直角的三角形 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形 三角形（按边来分） 三边不等三角形：三条边都不相等 等腰三角形：有两条边相等 等边三角形（正三角形）：三条边都相等
八年级数学直角三角形性质和应用练习含答案
E N M D C B A 直角三角形性质和应用练习 班级姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________. 2、“直角三角形两锐角互余”逆定理。(填:“有”或“没有”)。 3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 . 4、 在直角三角形中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm. 5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。 7、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE = 8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90o ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5 那么AD = ， 9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = . 第7题 第8题 第9题 10、到一条线段两端点距离相等的点的轨迹是____. 11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________ 12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 二、选择题 1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。 B 、等边对等角。 C 、全等三角形对应角相等。 D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 D 2 1 P C A B E O D B A
三角形--讲义
三角形 讲义 一、 基础知识 （一）与三角形有关的线段 1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形 叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三 角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和 1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成 的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正 多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形 的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也 互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相 加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三 角形、等边三角形） （五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌
(完整版)直角三角形的性质和判定
A C D C 直角三角形的性质和判定 一、知识要点 1、直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，两锐角； （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半； （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________； （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。 2、直角三角形的判定： （1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形； （2）有两个角_____________的三角形是直角三角形； （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识运用典型例题 例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， CD⊥AB， (1) 若BD=8，求AB的长； (2) 若AB=8，求BD的长。 例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=x°，∠B=2x°求x。 例4、如图，已知AB⊥BC，AE∥BC，∠1=45°，∠E=70°．求∠2，∠3，∠4的度数．
例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。 C 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。 三、知识运用课堂训练 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm； 2、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为_________cm； 4、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则斜边长为_____________; 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，∠B=30°， 则AC=_____cm A D C B
著名机构讲义秋季18-8年级数学拓展版--直角三角形的判定、性质和推论-课后作业学生版
【作业1】 下列命题中，正确的有( )个 （1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【作业2】 （1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°， 则∠ECB =__________； （2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________． 【作业3】 如图，ABC ?中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =， 则AD =________，AE =____________． 【作业4】 （1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______； （2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________． 【作业5】 已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ． 直角三角形的全等判定及性质 D A B C E A B C D E
【作业6】 已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ． 【作业7】 如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ， 求证：4BE=AC . 【作业8】 在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上， 且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明． A B C D E A B C D A B C D E C E F
直角三角形的性质教案
直角三角形的性质（一） 【教学目标】： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 【教学过程】： 一、引入 复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。 （二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、巩固训练：
练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中 点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ 练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与 DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业 直角三角形的性质（二） 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。 二、【教学重点与难点】： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学过程】： （一）引入：
直角三角形的性质教案(完美版)
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三 角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛 直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ， 分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． 第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
《含30°锐角的直角三角形的性质及其应用》教案湘教版(2020年最新)
第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用 1．理解并掌握含30°锐角的直角三角 形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的 性质解决问题．(难点) 一、情境导入 用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并 把你的发现和大家交流一下． 二、合作探究 探究点一：在直角三角形中，如果有一 个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半 等腰三角形的一个底角为75°， 腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这 个三角形的面积是________cm2. 解析：因为75°不是特殊角，但是根据 “三角形内角和为180°”可知等腰三角形 的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm， S△ABC＝1 2 AC·BD＝ 1 2 ×4×2＝4(cm2)．故答 案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键． 探究点二：在直角三角形中，如果一条 直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ 1 2 BC，求∠DAC 的度数． 解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC ＝ 1 2 BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°. 方法总结：如果题中出现直角三角形及 斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 探究点三：含30°锐角的直角三角形性 质的应用 如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间． 解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路 程关系式求出时间． 解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝
直角三角形性质应用(讲义及答案)
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
直角三角形的性质习题
列举直角三角形有哪些性质？ 1两个锐角：2含30度角3斜边上的中线4面积 测试题： 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三 角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4.已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 5.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上，且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 再练习： 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________ 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E, 求证AD=2BC.
M F E D C B A 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF C B A E F C B A G E F D C B A
沪教版八年级上19.3 直角三角形 知识讲解 讲义
直角三角形（提高）【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边||，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知||，对于两个直角三角形||，满足一边一锐角对应相等||，或两直角边对应相等||，这两个直角三角形就全等了||。这里用到的是“AAS”||，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边||，直角边定理 在两个直角三角形中||，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的||，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等||，由于其中含有直角这个特殊条件||，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、 HL.证明两个直角三角形全等||，首先考虑用斜边、直角边定理||，再考虑用 一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件||，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中||，如果一个锐角等于30°||，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中||，如果一条直角边等于斜边的一半||，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”||，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一||，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等||，不全等的画“×”||，全等的注 明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等||，“AAS”；（2）全等||，“AAS”；（3）全等||，“SAS”；（4）全等||，“HL”. 【解析】理解题意||，画出图形||，根据全等三角形的判定来判断.
直角三角形性质应用(习题)
直角三角形性质应用 1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积 分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______． S 4 l 3 21 S 3 S 2 S 1 2. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若 AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为_______． 45° E D C B A P D B C A 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =3，BD 平分 ∠ABC ，交AC 于点D ，P 是BD 的中点，则CP 的长为_______． 4. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为__________． F A C D E F E B C A 第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若 EF =7，BC =10，则△EFM 的周长为__________． 6. 如图，直线l 1∥ l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若 点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于 点D ，则BD 的长为______．
D l 3 l 2l 1A B C 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ， 1 2 CBE ABE ∠=∠，F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为 _______． F E D C B A 8. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =5，AD =则BD 的长为_______． D C B A O E D C B A 第8题图 第9题图 9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且 正方形对角线交于点O ，连接OC ．若AC =2，BC =4，则OC =_________． 10. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 上一 点，连接DE ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，连接OF ，若DF =3， ，则AF =_________．
八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)资料
直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ ABC、∠ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 图4
直角三角形的性质应用(弦图)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图． 问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵． 问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1， 3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则 ______________. 直角三角形的性质应用（弦图）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分)
1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E，
F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( ) A.5 B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )
A.10 B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
三角形讲义--角
第二讲三角形的角 一、教学内容 1.理解三角形内角、外角的概念； 2.探索并证明三角形的内角和定理； 3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题. 二、思维导图 三、知识重难点 考点：三角形内角、外角的概念. 重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题. 易错点： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．
模块一三角形的内角 一、教学内容 1、三角形的内角 三角形的内角： 2、三角形的内角和 三角形内角和定理． 直角三角形中，． 二、例题精讲 【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80° C．60°D．40° 【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（） A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 练1-1．下列图形中的x＝． 练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（） A．45°B．60°C．75°D．90° 练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°
练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90° C．95°D．100° 【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（） A．90°B．135° C．150°D．270° 练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235° C．270°D．300° 练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( ) A.360° B.250° C.180° D.140° 【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数
初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案
直角三角形的再发现 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有： 1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2． 2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD． 3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD； 由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB． 以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识． 注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中． 例题求解 【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为． (江苏省常州市中考题) 思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)
思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立AB 、AD 的等式． 【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，DB 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE=45°． (1)求证：BD ×BC ＝BG ×BE ； (2)求证：AG ⊥BE ； (3)若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．（盐城市中考题） 思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求FD EF 的值转化为求其他线段的比值． 【例4】 如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可． 注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合