合肥38中数学一元一次方程(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）

1．今年夏天，我州某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件。

（1）求饮用水和蔬菜各有多少件。

（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。

（3）在(2)的条件下，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元。该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?

【答案】（1）解：设蔬菜有x件，根据题意得

解得：

答：蔬菜有件、饮用水有件

（2）解：设安排甲种货车a辆，根据题意得

解得：

∵a为正整数

∴或或

∴有三种方案：①甲种货车2辆，乙种货车6辆；

②甲种货车3辆，乙种货车5辆；

③甲种货车4辆，乙种货车4辆

（3）解：方案①：（元）

方案②：（元）

方案③：（元）

∵

∴选择方案①可使运费最少，最少运费是元

【解析】【分析】（1）设蔬菜有x件，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求解；（2）设安排甲种货车a辆，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集，由a为正整数，得出a为2或3或4，即可求出有三种方案；

（3）分别求出三种方案的运费，即可求解.

2．如图1，已知，在内，在内，

.

（1）从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，

________ ；

（2）若图1中的平分，则从图1中的位置绕点逆时针旋转到与

重合时，旋转了多少度？

（3）从图2中的位置绕点逆时针旋转，试问：在旋转过程中的度数是否改变？若不改变，请求出它的度数；若改变，请说明理由.

【答案】（1）100

（2）解：∵平分，

∴，

设，

则，，

由，

得：，

解得：，

∴从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，旋转了12度；

（3）解：不改变

①当时，如图，

，，

∵，，

∴

；

② 时，如图，

此时，与重合，

此时，；

③当时，如图，

，，

；

综上，在旋转过程中，的度数不改变，始终等于

【解析】【解答】(1）解：由题意：∠EOF= ∠AOB+ ∠COD=80°+20°=100°

【分析】（1）根据∠EOF=∠BOE+∠BOF计算即可；（2）设，得，，再根据列方程求解即可；（3）分三种情形分别计算即可；

3．如图，数轴上有、、、四个点，分别对应，，，四个数，其中，，与互为相反数，

（1）求，的值；

（2）若线段以每秒3个单位的速度，向右匀速运动，当 ________时，点与点重合，当 ________时，点与点重合；

（3）若线段以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，则线段从开始运动到完全通过所需时间多少秒？

（4）在（3）的条件下，当点运动到点的右侧时，是否存在时间，使点与点的距离是点与点的距离的4倍？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：由题意得：

∵

∴，

∴，

（2）8；

（3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为

∵重合

∴

解得 .

∴线段从开始运动到完全通过所需要的时间是6秒

（4）解：①当点在的左侧时

∵

∴

解得

②当点在的右侧时

∵

∴

解得：

所以当或时，

【解析】【解答】（2）若线段以每秒3个单位的速度，

则A点表示为-10+3t, B点表示为-8+3t,

点与点重合时，-10+3t=14

解得t=8

点与点重合时，-8+3t=20

解得t=

故填：8；；

【分析】（1）由与|d?20|互为相反数，求出c与d的值；（2）用含t的式子表示A，B两点，根据题意即可列出方程求解；（2）用含t的式子表示A，D两点，根据题意即可列出方程求解；（3）分两种情况，①当点在的左侧时②当点在的右侧时，然后分别表示出BC、AD的长度，建立方程，求解即可．

4．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）按规定，甲种商品的进货不超过50件，甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；

（3）在“五一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

不超过300元不优惠

超过300元且不超过400元售价打九折

超过400元售价打八折

200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？

【答案】（1）解：设：购进甲商品x件，购进乙商品（100-x）件。

由已知得15x+35（100-x）=2700

解得x=40

答：购进甲商品40件，乙商品60件。

（2）解：设：购进甲商品x件，购进乙商品（100-x）件。

利润W=5x+10（100-x）

根据题意可得5x+10（100-x）≤760和x≤50；

解得48≤x≤50，

∴进货方案有三种

①甲48件，乙52件,

②甲49件，乙51件

③甲50件，乙50件

（3）解：第一天：没有打折，故购买甲种商品：200÷20=10（件）

第二天：打折，

打九折，324÷0.9=360（元）购买乙种商品：360÷45=8（件）

打八折，324÷0.8=405（元）购买乙种商品：405÷45=9（件）

答：购买甲商品10件，乙商品8件或者9件。

【解析】【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100-x）件，根据总进价为2700元，列方程求解即可；（2）甲种商品的进货不超过50件，甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元，列出不等式求出x的取值即可（3）根据购买甲种商品付款200元可求出甲商品的个数，根据乙商品打九折或八折付款324元，求出乙商品的个数即可

5．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab2+2ab+a.

如：1※2＝1×22+2×1×2+1＝9

（1）（﹣2）※3＝________；

（2）若※3＝16，求a的值；

（3）若2※x＝m，（ x）※3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小.

【答案】（1）-32

（2）因为※3＝ ×32+2× ×3+ ＝8a+8，

所以8a+8＝16，

解得a＝1；

（3）根据题意，得m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，

n＝ x×32+2× x×3+ x＝4x，

则m﹣n＝2x2+2＞0，

所以m＞n.

【解析】【解答】解：（1）原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）

＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32，

故答案为：﹣32.

【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）先根据新运算展开，再解一元一次方

程即可；（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案.

6．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣.

（1）一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);

（2）一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);.

（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元?

【答案】（1）解：由题意得，P=25×4×x=100x.

故答案是：100x；

（2）解：由题意得,Q=[(150?x)×30?6x]×2=9000?72x.

故答案是：(9000?72x)；

（3）解：根据题意得

解得

答:应安排100名工人制衣.

【解析】【分析】（1）根据一天的利润=每件利润×件数×人数，列出代数式；

（2）安排x名工人制衣，则织布的人数为（150-x），根据利润=（人数×米数-制衣用去的布）×每米利润，列代数式即可；

（3）根据总利润=11806，列方程求解即可.

7．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：稿费不高于800元的不纳税；稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的

的税；稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的的税.

试根据上述纳税的计算方法作答：

（1）若王老师获得的稿费为2000元，则应纳税________元，若王老师获得的稿费为5000元，则应纳税________元

（2）若王老师获稿费后纳税280元，求这笔稿费是多少元？

【答案】（1）168

；550

（2）解：因为当稿费为4000元时，纳税=4000×11%=440（元），且280＜440，

所以王老师的这笔稿税高于800元，且低于4000元.

设王老师的这笔稿税为x元，根据题意，

14%（x-800）=280

x=2800，

答：王老师的这笔稿税为2800元.

【解析】【解答】解：（1）①∵800<2400<4000，

∴当王老师获得稿费为2000元时，应纳税：（2000-800）×14%=168（元）；

②当王老师获得稿费为5000元时，应纳税：5000×11%=550（元）；

【分析】（1）根据条件②计算即可；根据条件③计算即可；

（2）设王老师所获得的这笔稿费为元,根据纳税金额，可判断稿费800＜x＜4000，属于第二种，利用稿费420元，列出方程，求出x值即可.

8．阅读理解：

定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”.

问题解决：

（1）在方程① ，② ，③ 中，不等式组的“子方程”是________；（填序号）

（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；

（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方

程”，直接写出m的取值范围.

【答案】（1）③

（2）解：解不等式3x-6＞4-x，

得：＞，

解不等式x-1≥4x-10，

得：x≤3，

则不等式组的解集为＜x≤3，

解：2x-k=2，

得：x= ，

∴＜≤3，

＜，

解得：3＜k≤4；

（3）解：解方程：2x+4=0得，

解方程：

得：，

解关于x的不等式组

当＜时，不等式组为：，

此时不等式组的解集为：＞，不符合题意，

所以：＞

所以得不等式的解集为：m-5≤x＜1，

∵2x+4=0，都是关于x的不等式组的“子方程”，

∴，

解得：2＜m≤3.

【解析】【解答】解：（1）解方程：3x-1=0得：

解方程：得：，

解方程：得：x=3，

解不等式组：

得：2＜x≤5，

所以不等式组的“子方程”是③.

故答案为：③；

【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其

解集，解方程求出x= ，根据“子方城”的定义列出关于k的不等式组，解之可得；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，分＜与＞讨论，即可得出答案.

9．小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“ 元抵元的全场通用代金券”(即面值元的代金券实付元就能获得)，店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.

（1）如果小明一家应付总金额为元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元:

（2）小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式: 除锅底不打折外，其余菜品全部折.小明一家点了一份元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付元.问小明一家实际付了多少元?

【答案】（1）解：

∴最多购买并使用两张代金券，

最多优惠元

（2）解：设小明一家应付总金额为元，

当时，由题意得， .

解得： (舍去).

当时，由题意得， .

解得： (舍去).

当时，由题意得， .

解得： .

∴ .

答:小明一家实际付了元

【解析】【分析】（1）根据，即最多购买并使用两张代金券，即可得到答案；（2）设小明一家应付总金额为元，则对应付金额进行分析，然后列式进行计算，即可得到答案.

10．鄞州公园计划在园内的坡地上栽种树苗和花苗，树苗和花苗的比例是1：25，已知每人每天能种植树苗3棵或种植花苗50棵，现有15人参与种植劳动 .

（1）怎样分配种植树苗和花苗的人数，才能使得种植任务同时完成?

（2）现计划种植树苗60棵，花苗1500棵，要求在3天内完成，原有人数能完成吗?如能完成，请说明理由；如不能完成，请问至少派多少人去支援才能保证3天内完成任务? 【答案】（1）解：设种树苗人数为x人，则种花苗人数为（15-x）人，由题意得

3x:50(15-x)=1:25

解得x=6

答：6人种树苗，9人种花苗。

（2）解：假设所有人先种树苗需要的天数是：（天）

假设所有人都种花苗需要的天数是：（天）

∵，∴三天内不能完成.

15人天的工作量5人1天的工作量，所以至少增加2人。·····

方法二：树苗：，至少为7人；花苗： =10，至少10人10+7-15=2

（人）

答：至少派2人去支援才能保证三天内完成任务

【解析】【分析】（1）设种树苗人数为x人，则种花苗人数为（15-x）人，根据等量关系式：树苗和花苗的比例是1：25 ，列出方程，解之即可.

（2）假设所有人先种树苗，求出所需要的天数，假设所有人都种花苗，求出所需要的天

数，从而得出天数之和大于3天，故3天之内不能完成任务；由于15人天的工作量为5人1天的工作量，从而可得至少增加2人.

11．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：

数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|.如：|a+6|表示数a和﹣6在数轴上对应的两点之间的距离.|a﹣1|表示数a和1在数轴上对应的两点之间的距离.

（1）若a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，b与3a互为相反数，直接写出点A对应的数，点B对应的数.

（2）在（1）的条件下，已知点E从点A出发以1单位/秒的速度向右运动，同时点F从点B出发以2单位/秒的速度向右运动，FO的中点为点P，则下列结论：①PO+AE的值不变；②PO﹣AE的值不变，其中有且只有一个是正确的，选出来并求其值.

（3）在（1）的条件下，已知动点M从A点出发以1单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以3单位/秒的速度向左运动，动点T从原点的位置出发以x单位/秒的速度向左运动，三个动点同时出发，若运动过程中正好先后出现两次TM＝TN的情况，且两次间隔的时间为4秒，求满足条件的x的值.

【答案】（1）解：a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，

∴a＝﹣4，b＝12

∴点A对应的数﹣4，点B对应的数12

（2）解：PO﹣AE的值不变

设运动时间为t秒，根据题意可得：BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t

∵FO的中点为点P

∴OP＝6+t

∴PO﹣AE＝6+t﹣t＝6

PO﹣AE的值不变

（3）解：设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t

根据第一次TM＝TN得：xt+12﹣3t＝4+t﹣xt

根据第二次TM＝TN得：x（t+4）﹣{3（t+4）﹣12}＝4+（4+t）﹣x（4+t）

两式联立得：x＝2

∴满足条件的x的值为2

【解析】【分析】（1）a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a 和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，据此求出a、b的值即可.

（2）设运动时间为t秒，从而可得BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t，利用线段的中点求出OP的长，求出PO-AE的值即可求出结论.

（3）设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t，根据两次TM＝TN，分别列出方程组，求出x的值即可.

12．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10.动点P从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.

（1）写出数轴上点B表示的数；当t＝3时，OP＝________

（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？

（3）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度？

【答案】（1）18

（2）解：设点R运动x秒时，在点C处追上点P，则OC=6x，BC=8x，∵BC－OC=OB，∴8x－6x=4，解得：x=2，∴点R运动2秒时，在点C处追上点P

（3）解：设点R运动x秒时，PR=2.分两种情况：一种情况是当点R在点P的左侧时，8x=4+6x－2即x=1；另一种情况是当点R在点P的右侧时，8x=4+6x+2即x=3.

【解析】【解答】（1）解：OB=AB－OA=10－6=4，所以数轴上点B表示的数是－4，OP=3×6=18

【分析】（1）先求出OB的长，即得点B表示的数；利用路程=速度×时间，可求出OP的

长.

（2）设点R运动x秒时，可得OC=6x，BC=8x，由BC－OC=OB列出方程，求出x的值即可.

（3）设点R运动x秒时，PR=2.分两种情况：①当点R在点P的左侧时，②当点R在点P的右侧时，分别求出x的值即可.