抽象函数经典习题
高一数学抽象函数常见题型
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 1、已知f x ()的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f xy f x f y ()()()=+,求 证:f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (2 1)=-1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 整理:河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 高中数学经典例题、错 题详解 【例1】设M={1、2、3},N={e、g、h},从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是() M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念:一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。(函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应) 映射与函数的区别与联系: 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应;而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应;函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数(特殊对应)的共同特点:○1可以是“一对一”;○2可以是“多对一”;○3不能“一对多”;○4A中不能有剩余元素;○5B中可以有剩余元素。 映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等;(2)方向性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;(3)映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象;(4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的;(5)一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”,所以A、B、D都错误;只有C完全满足映射与函数(特殊对应)的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:→(x+1、x2),(1)求2在B 中的对应元素;(2)(2、1)在A中的对应元素 【分析】(1)将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(2+1、1);(2)由题意得:x+1=2,x2=1 得出x=1,即(2、1)在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求:(1)可建立从A到B的映射个数();(2)可建立从B到A的映射个数() 【分析】如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个;集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9;32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数,且当x﹥0时,f(x)=x-1,则当x﹤0时,有() A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质: 1、图象关于原点对称;? 2、满足f(-x) = - f(x)?; 3、关于原点对称的区间上单调性一致;? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0;? 5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的) 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
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