分式及分式方程经典例题讲解教材

分式与分式方程复习

一.分式

例1：要使分式x 1

有意义，x 的取值满足（ ）

A.x ＝0

B.x ≠0

C.x ＞0

D.x ＜0

【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x ≠0。

【答案】选：B ．

【点评】此题考查的是分式有意义的条件，属于基础题。

例2：使代数式12-x x

有意义的x 的取值范围是

A.0≥x

B.

21≠x C. 0≥x 且21≠x D.一切实数 【解析】要使原代数式有意义，需要x 中的x ≥0；分母中的2x-1≠0.

【答案】解不等式组0210x x ≥??-≠?

得0≥x 且21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数．

例3：若分式1

2x x -+的值为0,则 ( )

A. x=-2

B. x=0

C. x=1或x=-2

D. x=1 【解析】若分式12x x -+的值为0,则需满足1020x x -=??+≠?

,解得x ＝1, 故选D. 【答案】D.

【点评】本题考查分式值为0时,x 的取值. 提醒注意:若使分式的值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.

分式的乘除

例4：化简11122-÷-x x 的结果是 （ ） Ａ．12-x Ｂ．122-x Ｃ．12

+x Ｄ．()12+x

【解析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C

【答案】C

【点评】分式的混合你算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练。本题属于简单题型。

例5：先化简，后计算：， 其中a ＝－3．

【解析】先将各分式的分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．

【答案】原式＝

919)3(2)3()9)(9(2+?-+?++-a a a a a a ＝32

+a

当33-=a 时，原式＝33

2

【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答的规范化，是基础题．

例6：化简代数式x x x 2122+-÷x x 1-，并判断当x 满足不等式?

??->-<+6)1(212x x 时该代数式的符号. 解析：先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值．

答案：原式=x x x 2122+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x ×1-x x 21

++x

解不等组得：-3

在规定的范围内选取符合条件的x 值即可（答案不唯一）

点评：本题考察分式的化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义的值.

例7：下列计算错误的是( A ． B ． C ． D ． 【解析】A ．不正确．由分式的基本型分式的分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710a b a b a b a b ++=

--；B ．正确，分式的分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数的商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

【答案】Ａ

【点评】本题考查了分式的基本性质、约分和分式的加减．分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以同一个不为０的数或整式，分式的值不变．约分：约去分式中的分子或分母分式的值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

例8：化简111--

x x ，可得（ ）

A. x x -21

B. x x --21

C. x x x -+212

D. x x x --212

【解析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式 ．

y x y y x =323b a b a b a b a -+=-+727.02.0c c c 321=+1-=--a b b a

例9：化简x x x x -+

-112的结果是（ ）

A.x +1

B. x -1

C.—x

D. x

6. 解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减． 解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122 故选D ．

点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．

例10：计算：=

-+-x x x 52552 .

【解析】根据分式的加减法法则计算即可． 【答案】2225255)(5)=55555x x x x x x x x x --++==+----（，答案为：x+5

【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

例11：化简：22(

)224m m m m m m -÷+--= 。 【解析】把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分

解因式.22()22

4m m m m m m -÷+--= 22(2)(4(2)(2)m m m m m m m m --+-+- =26m m

m -=m-6.

【答案】m-6. 【点评】本题考查了分式的运算.先把括号里的分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算的一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内的先计算括号内的，同级运算自左向右依次运算.

例12：计算：÷??? ?

?-+4412a 2-a a 解析：÷??? ?

?-+4412a 24-a =÷???? ??-+--4444222a a a 2-a a =22)

2)(2(2+=-?-+a a a a a a a . 答案：2+a a

.

点评:本题是一道分式的化简计算，运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减.

例13：已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx

z x +＝－43．则xyz xy yz zx ++的值为 .

【解析】由xy x y +＝－2，得x y xy +＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12．同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－4

3．所以，1y ＋

1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1x ＋1y ＝－14．于是xy yz zx xyz ++＝1z ＋1x ＋1y ＝－1

4，所以xyz

xy yz zx ++＝－4．

【答案】－4

【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧．

例14：化简：12)1111(

2-÷--+x x x 【分析】把括号里的分式通分并进行分式的加减运算，再把分式的除法转变成乘法运算， 然后约分即可

【解析】（1）解：原式=

21)1111(2-?--+x x x =

1112----x x x 212-?x = -1 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算顺序是做此题的关键。分式的混合运算在考试中很容易出现错误，原因可能是分式运算顺序不清楚，可能是没有注意运算技巧、也可能是运算时没有注意符号变换等。

例15：化简（1+1

m ）÷22121m m m --+【解析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，分母是多项式的要先因式分解，进行约分化简，

【答案】原式21(1)(1)(1)m m m

m m +-?+-1m m -= 【点评】本题主要考查分式的化简，注意除法要统一为乘法运算；以及符号的处理等。

例16：化简：22(1)b a a b a b -

÷+-

解析：本题中的1可以看成分母为1的“分式”，运算时要注意运算顺序，先算括号里面的。 答案：原式=()()a b a b a b b a b a +-+-?+=()()a b a b a a b a +-?+=a b -

点评：分式运算的结果要化成最简分式或整式，分式约分前要先分解因式。

例17：计算代数式ac bc a b a b ---的值，其中1a =，2b =，3c =． 【解析】一看是同分母的分式相加减，得到b a bc ac --，分子再提一个公因式c 得到b a c

b a --)(

约分之后得到结果是：c ，把 3c = 代入得到原式=3。

【答案】．解：b a bc b a ac --

- =b a bc

ac -- =b a c

b a --)(

=c

当1=a 、2=b 、3=c 时，

原式=3

(直接代入计算正确给满分)

【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，很有代表性的一题。

例18：计算：a2-4a+2

+a+2 【解析】首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可．

【答案】原式=（a+2）(a-2)a+2

+a+2 =a-2+a-2

=2a

【点评】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．

例19：2111x x x +--，再选取一个你喜欢的数代入求值.

【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：

2211111x x x x x ----＝ ＝x ＋1 代入求值(除x=1外的任何实数都可以)

【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 的取值不能使原式的分母为0．

例20：计算：2111a a a a -++-

解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。

2

点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。

例21：化简x x x x -+

-112的结果是（ ）

A.x +1

B. x -1

C.—x

D. x

解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减． 解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122 故选D ．

点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．

例22：先化简2111x x x +--，再选取一个你喜欢的数代入求值.

【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：

2211111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1

代入求值(除x=1外的任何实数都可以)

【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 的取值不能使原式的分母为0．

例23：计算：2111a a a a -++- 解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。

答案：原式=2-11-++1++==1

+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a

点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。 二．分式的混合运算

例1：1－

a a a a a 21122+-÷-． 【解析】将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再计算，所以，原式=1-1(2)(1)(1)a a a a a a -+?+-=11a -+ 【答案】1

1a -

+ 【点评】本题综合考查了异分母分式的减法、除法及运用公式法进行分解因式等知识．

例2：化简2-a 2-a 41a ÷+）（的结果是（ ）

A.a a 2+

B.2+a a

C.a a 2-

D. 2-a a

【解析】除法变乘法，应用分配律得，

2-a a )2-a 4(1÷+= a 2-a )2-a 4(1?+=+?a 2-a 1a 2-a 2-a 4?=a 2a +. 【答案】选A.

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．

例3：已知：115a b +=（a ≠b ），求()()a b b a b a a b ---的值。

【解析】分式通分，把分式化简后，根据分式加法的逆用即可转化为已知式。

【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=115b a ab ab a b +=+=。

【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。

例4：已知：31x =+，31y =-，求22

222x xy y x y -+-的值．

【解析】对于此类求代数式的值，正确的方法是先化简，再代入数据．化简时分子和分母分别运用完全平方公式和平方差公式分解因式，再约分．

解：原式 =2

()()()x y x y x y --+ ……（2分）

=x y

x y -+ ． ………（4分）

当31x =+，31y =-时，原式=2

133233

==．………（6分） 【点评】本题综合考查了分式的化简求值及二次根式的运算，此题设计较好，同时考查了分式和二次根式两个重要知识点．

例5：先化简，再求值：11111(

-÷--+a a a , 其中a ＝12-.

【解析】11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-?-++--a a a a a =12+-a ，代入a ＝12-得12+-a =2-。

【答案】解：11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-?-++--a a a a a =12+-a ，

代入a ＝12-得12+-a =2-。所以11)1111(-÷--+a a a =2-。

【点评】此题考查整式的乘除法运算。本题易错点有两点，1、是分配率使用时，不能够使用彻底，出现漏乘现

例6：先化简，再求值：

223252224x x x x x +??+÷ ?-+-??，其中x=6。 解析：把括号中通分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时将除式的分子分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后选择一个x 的值代入化简后的式子中，即可求出原式的值． 答案：3(2)2(2)(2)(2)521(2)(2)(52)(52)x x x x x x x x x x x x ++-+-+=

?==-+++原式

当36=

x 时，则原式=2663361

==。

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简分式后，再代入x 的取值计算。 例7：化简2-a 2-a 41a ÷+）（的结果是（ ） A.a a 2+ B.2+a a C.a a 2- D. 2-a a

【解析】除法变乘法，应用分配律得，

2-a a )2-a 4(1÷+= a 2-a )2-a 4(1?+=

+?a 2-a 1a 2-a 2-a 4?=a 2a +. 【答案】选A.

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．

例8：已知：115

a b +=（a ≠b ），求()()a b b a b a a b ---的值。

【解析】分式通分，把分式化简后，根据分式加法的逆用即可转化为已知式。

【答案】解：()()a b b a b a a b ---22()a b a b ab a b ab -+=-=115b a ab ab a b =+=

【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。

例9：分式方程2x ＝5

3x +的解是___________．

【解析】直接去分母，得2(x ＋3)＝5x ，解得x ＝2．经检验x ＝2是原方程的解．

【答案】x ＝2

【点评】解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．注意求得整式方程的解后，要进行验根．

例10：化简：2211(1).a a

a a --÷+ 解析：先将括号里面的通分并将分子、分母分解因式，然后将除法转换成乘法，约分化简．

答案：解:原式1(1)(1)(1)a a a a a a -+-=

÷+ 1(1)a a a -+=?