高数2试题及答案.(DOC).docx
模拟试卷一
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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。 （本卷考试时间 100 分）
一、单项选择题（每题 3 分，共 24 分）
1、已知平面
： x 2 y
z 4 0 与直线 L :
x 1
y 2
z 1 的位置关系是（
）
3
1
1
（ A ）垂直
（B ）平行但直线不在平面上
（ C ）不平行也不垂直
（ D ）直线在平面上
2、 lim
3xy
（
）
x 0 2xy 1 1
y 0
（ A ）不存在 （ B ） 3 （ C ） 6
（ D ）
3、函数 z
f ( x, y) 的两个二阶混合偏导数
2 z
及
2
z
在区域 D 内连续是这两个二阶混合
x y
y x
偏导数在 D 内相等的（
）条件 .
（ A ）必要条件
（ B ）充分条件
（ C ）充分必要条件 （ D ）非充分且非必要条件
4、设
d
4 ，这里 a 0 ，则 a =（
）
x 2
y 2
a
（ A ） 4 （ B ） 2
（ C ） 1
（ D ） 0 5、已知 x ay dx
ydy 为某函数的全微分，则
a （
）
x
y 2
（ A ） -1
（B ） 0
（ C ） 2
（ D ）1
6、曲线积分
x 2
ds （
），其中 L :
x 2 y 2 z 2
10.
L
y 2
z 2
z 1
（ A ）
（ B ）
2
（ C ）
3
（ D ）
4
5
5
5
5
7、数项级数
a n 发散，则级数
ka n （ k 为常数）（
）
n 1
n 1
（A ）发散 （ B ）可能收敛也可能发散
（C ）收敛
（ D ）无界 8、微分方程 xy
y 的通解是（ ）
（A ） y C 1 x C 2 （B ） y x 2 C
（C ） y
C 1 x 2
C 2
（ D ） y
1 x
2 C
2
二、填空题（每空 4 分，共 20 分）
1、设 z
e sin xy ，则 dz
。
2 2 2
2、交换积分次序：
0 dx e
y
dy = 。
x
3、设 L 是任意一条光滑的闭曲线，则
2xydx
x 2 dy =
。
L
4、设幂级数
a n x n 的收敛半径为 3，则幂级数
na n x 1 n 1 的收敛区域为
。
n 0
n 1
5、若 M x, y dx N x, y dy 0 是全微分方程，则函数
M 、N 应满足
。
三、计算题（每题 8 分，共 40 分）
1、求函数 z ln x y 2 的一阶和二阶偏导数。
2、计算
xyd ，其中 D 是由抛物线 y 2
x 即直线 y
x 2 所围成的闭区域。
D
3、计算
2 x y 4 dx 5 y 3x 6 dy, 其中 L 为三顶点分别为 0,0 、3，0 、3，2 的三角形
L
正向边界。
4、将 arctan x 展开成 x 的幂级数。
5、求微分方程
x y 1 dx
e y
x dy 0 的通解。
四：应用题 （16 分）
求由旋转抛物面 z
x 2 y 2 和平面 z a 2 所围成的空间区域
的体积。
模拟试卷二
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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100 分）
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）
1.点 ( 4,3,5) 到Ox轴的距离d＝()．
(A)42( 3)252(B) ( 3)252(C) ( 3)242(D)4252
2. 下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（） .
（A）x2y 2z21（B）x2y 24z
（C）x2y 2z21（D） x 2y 2z21
4916
3.二元函数z ln4arcsin1的定义域是 ( ).
2y22y2
x x
（A）1x 2y2 4 ；（ B）1 x2y2 4 ；（C）1x 2y2 4 ；（ D）1 x2y2 4 .
4. f x (x0 , y)( ).
（A）lim f
x0x, y 0f x0 , y 0（ B）lim f x0x, y 0f x0 , y 0
x0x x0x
（C）lim f x0x, y 0 f x, y（ D）lim f x0x, y f x0 , y 0x0x x x
5.已知二重积分dxdy1，则围成区域Ｄ的是（）．
D
(A)| x |1， | y |1(B)x 轴，y轴及 2x y20
23
(C)x 轴，x 2 及 y x(D)x y1， x y1
6.设 I(x2y2 )dxdy，其中 D 由x2y2a2所围成，则I=().
D
(A)
2
d a2 rdr a 4(B)2a rdr1 a 4 0
a d r 2
0002
2
(C)
2
d a2 dr a 3(D)2a2adr2 a 4 0
r d a
0300
7. 若 L 是上半椭圆 x a cost ,
ydx xdy 的值为 (
).
取顺时针方向 , 则
y b sin t ,
L
(A)0
(B)
ab (C)
ab
(D)
ab
2
8. 设 a 为非零常数 , 则当 ( )
时 , 级数
a
n 收敛 .
n 1 r
(A) | r | | a |
(B)
| r | | a |
(C) | r | 1 (D)| r | 1
9.
lim u n 0 是级数
u n
收敛的 (
)
条件 .
n
n 1
(A) 充分
(B) 必要
(C) 充分且必要
(D) 既非充分又非必要
10. 微分方程 y y
0 的通解为 __________.
(A) y cos x c
(B) y c 1 cos x c 2
(C)
y c 1 c 2 sin x
(D)
y
c 1 cos x c 2 sin x
二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）
1.
已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A( 2 , 3 , 5 ) , B( 1 , 3 , 2 ) 的及它的对角线的交点
E( 4 , 1 , 7 ) ，则顶点
D 的坐标 为 _________
２. 设 a
i j
2k
， b
i 2 j k ，则 a b = ____
3
3. 设 z
arctan y
, 则
2
z
________
x x y
4. 若正项级数
n 1 u n 的后项与前项之比值的极限等于
，则当 ________时，级数必收敛．
5. 幂级数
x x 2
x n
的收敛区间是
．
2
2 4
2 4
(2n)
三、计算题 （每小题 10 分，共 50 分）
1. 求函数 f (x, y)
x 3 y 3 3 (x 2 y 2 ) 的极值点，并求极值 .
2. 计算
x 2 e y 2
dxdy ，其中 D 是以（ 0,0），（1,1），（ 0,1）为顶点是三角形区域 .
D
３. 计算
1
2 ds ，其中为曲线： x e
t
cost ， y t t 2
y
2
z
e sin t ， z e (0 t 2)．x
4.利用逐项求导或逐项积分 ,求下列级数的和函数：
x3x5x2n1
x
52n
.
31
5.求微分方程满足已给初始条件的特解：y'e2x y， y |x 00 .
四、应用题与证明题（第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）
1. 求球面x2y 2z2a2 (a 0) 被平面 z a
与z
a
所夹部分的面积。42
2.证明曲面xyz m ( m 0) 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.
模拟试卷三
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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100 分）
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）
1.若 a ，b为共线的单位向量，则它们的数量积 a b（） .
（A） 1（B） -1（ C） 0（ D）cos(a, b)
2.设平面方程为Bx Cz D0，且 B , C , D0 ，则平面（） .
（A）平行于x轴（ B）垂直于x 轴（ C）平行于y轴（D）垂直于y轴
3.设 f ( x, y)( x2y 2 ) sin21
y
2
,
x2y 20
(0,0) 处 f (x, y) ( ).
x, 则在原点
0,x 2y 20
(A)不连续 (B)偏导数不存在(C)连续但不可微(D)可微
4.二元函数 z3( x y)x 3y3的极值点是( ).
(A) (1,2)(B) (1，-2) (C) (1,-1)(D) (-1,-1)
5. 设 D 为 x 2
y 2 1 , 则
1
dxdy=（ ） .
D
1 x 2
y 2
(A) 0
(B)
(C)
2
(D)
4
1 1 x f ( x , y ) dy =( )
6.
dx 0
(A)
1 x 1
f ( x , y ) dx
(B)
1 1 x
0 dy 0
dy
f ( x , y ) dx
1 1 y
1 1
(C)
dy
f ( x , y ) dx
(D)
dy
f ( x , y ) dx
7.
x a cost ,
取顺时针方向 , 则 ydx
xdy 的值为 ( ).
若 L 是上半椭圆
y
b sin t ,
L
(A) 0
(B)
ab
(C)
ab
(D)
ab
2
8. 下列级数中 , 收敛的是 ( ).
(A)
( 5)n 1
(B)
( 4)n 1
(C)
(
1)n 1 ( 5 )n 1
(D)
(
5
4) n 1
n 1 4
n 1 5
n 1
4
n 1 4
5
9. 若幂级数
a n x n 的收敛半径为 R 1 ： 0 R 1
，幂级数
b n x n 的收敛半径为 R 2 ：
n 0
n 0
0 R 2
，则幂级数
( a n b n ) x n 的收敛半径至少为 (
)
n 0
(A) R 1 R 2 (B)
R 1 R 2 (C) max R 1 , R 2 (D) min R 1 , R 2
10. 方程 xy x 2
y 2
y 是(
).
(A) 齐次方程
(B)
一阶线性方程 (C)伯努利方程 (D) 可分离变量方程
二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）
1. 平行四边形二边为向量
a
{1, 3,1} ， b { 2, 1,3} ，则其面积 S =.
2. 通过点 ( 3 , 0 , 1) 且与平面 3x 7 y 5z
12 0 平行的平面方程为
．
3. 设 z
ln tan x
，则 z
_________．
y y
4. 曲线 x
t , y
1 t
, z t 2 在对应于 t 1 的点处切线方程为 ______________；
1 t
t
5. 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数P( x, y)及Q ( x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数,
则有Pdx Qdy ________________；
L
三、计算题（每小题 10 分，共 50 分）
1.设
z x ln( xy), 求
3 z．
x y 2
2.求e x y d, 其中D是由x y 1 所确定的闭区域．
D
3.计算(x2y)dx(x sin2y)dy ，其中 L 是在圆周： y2x x2上由点(0,0)到点(1,1)
L
的一段弧．
4.将函数 y(1 x)ln(1x) 展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间．
5.求下列微分方程的通解：cos 2 x
dy
y tan x.
dx
四、应用题（第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）
1.在平面xoy 上求一点,使它到x0, y 0 及 x 2 y 160 三直线的距离平方之和为最
小.
2.求由曲面z x 2 2 y2及z 6 2x2y 2所围成的立体的体积. 、
模拟试卷四――――――――――――――――――――――――――――――――――
注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100 分）一、单项选择题（每小题 2 分， 10 小题，共 20 分）
1.向量 a( 1, 2 , 2 ) 在向量 b( 6 , 2 , 3 ) 上的投影等于（）
(A)44
(C)
7
(D)
3 7
(B)
44
3
2.曲线4x29 y236
绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（）z0
(A)4x24y 29z236(B)4x 29y 29 z216 (C)4x29y24z236(D)9x29 y 24z216
3. 已知 f ( x, y) = x y ,
则 f x ( 1, 1)
的值为 ( )
(A) ０
(B) 1
(C) 1
(D) 不存在
2
4. 若 f ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微 , 则 f ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处( )
(A) 连续且偏导数存在
(B) 连续且偏导数连续
(C) 连续但偏导数不一定存在
(D) 不一定连续且偏导数不一定存在
5. 设 I 1
e x 2 y 2 dxdy , I 2
e x 2 y 2
dxdy ， 其中区域 D 1 : 1 x
1, 2
y 2 ，
D 1
D 2
D 2 : 0 x
1, 0 y 2 ，则下列四式中正确的是（ ）
(A) I 1 4I 2 (B)
I 1 4I 2
(C) I 1 4I 2
(D)
I 1 2I 2
6. 设 I
(x 2 y 2 ) dxdy, 其中 D 由 x 2
y 2
a 2 所围成，则 I =(
)
D
(A)
2 a 2 d
(B)
2 a
2 a d
d a d a
0 0
(C)
2 a 2
d
(D)
2 a 2
d
d
d
7. 设 L 为： x
2 , 0
y
3
， 则
4 ds 的值为 ( )
2
L
(A) 4 (B) 6 (C) 8
(D) 12
8. 下列级数中 , 收敛的是 ( )
(A)
1
(B)
1
(C)
1 (D)
( 1)n
n 1 n
n 1 3
n
2
n 1
n n
n 1
9. 幂级数
x n 的收敛区间为（
）
n 1 n
(A)
( 1, 1 )
(B)
[ 1, 1 ]
(C) ( 1, 1] (D) [ 1, 1)
10. 下列方程可分离变量的是（
）
(A) sin( xy )dx e y dy 0 (B) xe x y dx y 2dy
0 (C) (1 xy)dx
y 2 dy
(D)
( x y) dx e x
y
dy 0
二、填空题（每小题 3 分， 5 小题，共 15 分）
1. 通过曲线
2x 2 y 2 z 2 16
，且母线平行于 y 轴的柱面方程是
.
x 2 z 2 y 2
2. 经过点 ( 1 , 0 , 1 ) 且平行于向量 v { 2, 1,1} 的直线方程是
.
3. lim
1xy 1 =
xy
x 0
y
4. 将二次积分
2 d x
x
x 2
.
f ( x, y) d y 改换积分次序应为 _____________ .
5. 设
u n 、
v n 都是正项级数，且
u n 收敛，则当 n 1,2,
, 都有
时，
n 1
n 1
n 1
v n 也一定收敛 .
n 1
三、设函数 x 2
y 2
2
z
. （10 分）
z
x y
，求
x y x 1
y 2
四、 计算二重积分
( x 2 y 2 x) d ，其中 D 是由直线 y
x 、 y 2x 及 x
2 所
D
围成的闭区域 . （10 分）
五、计算曲线积分
(2 y x 3 )dx (3x 2 y 2 )dy ， 其中 L 是由抛物线 y
x 2 和
L
y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线 . （10 分）
六、 . 求幂级数
nx n 1 的和函数 . （10 分）
n 1
七、求下列微分方程的通解 :
( x 2 2 y 2 ) dx x y d y 0 .
（10 分）
八、应用题（ 15 分）
求旋转抛物面 z x 2y2被平面 z a ( a0 ) 所截得的有限部分的面积.
模拟试卷五
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注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100 分）
一、单项选择题（每小题 2 分， 10 小题，共 20 分）
1. a b a b 充分必要条件是（）
(A) a ×
0(B) a b0(C)a b0(D) a b 0
b
2.两平面 x 4 y z 5 0与 2x 2 y z 30的夹角是（）
(A)
6(B)
3
(C)
4
(D)
2
3.若 f y (a, b) 1 ，则 lim f a, b y f a,b y=()
y 0y
(A)2(B)1(C)4(D)0
4.若 f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 都存在,则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处()
(A)连续且可微(B)连续但不一定可微
(C)可微但不一定连续(D)不一定连续且不一定可微
5.下列不等式正确的是（）
(A)( x3y3 )d0(B)( x2y2 )d0
x 2y21x 2y21
(C)( x y)d0(D)(x y) d0
x 2y21x 2 y 2 1
6.
1
dx
1 x
f (x, y)dy =()
00
(A)
1x1
(B)
1 1 x
dy f (x, y)d x dy f (x, y) d x 000
(C)
11y
(D)
11
dy f (x, y)d x dy f ( x, y)d x
0000
7. 设区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向， A 为区域 D 的面积，则（）
(A)A1ydx xdy(B)A1xdy ydx
2 L 2 L
(C)A 1
xdy ydx(D)A xdy ydx 2 L L
n
8. 设a n是正项级数，前n项和为 s n a k，则数列 s n有界是a n收敛的（）
n1k1n 1
(A)充分条件(B)必要条件
(C)充分必要条件(D) 既非充分条件，也非必要条件
9.以下级数中，条件收敛的级数是（）
(A)(1) N n(B)(1) n11
N12n10n1n
3
(C)(1) n 1 (1) n(D)(1) n 13
n12n1n
10. 下列方程为线性微分方程的是（）
(A)y(sin x) y e x(B)y x sin y e x
(C)y sin x e y(D)xy cos y1
二、填空题（每小题 3 分， 5 小题，共 15 分）
1. 曲线x
2z2 2 y2
在 xoy 平面上的投影方程是 _______ . y z10
2. 经过点( 2 , 0 , 1 )且垂直于直线x 1y1z 3
的平面方程
1
14是.
3.
sin( x 2 y 2 )
= _. lim
2x
2
x0
y2
4. 设区域 D 是由x轴及半圆周x2y 2 a 2( y 0) 所围成的闭区域，将二重积分
f ( x 2y 2 ) d化为极坐标形式的二次积分应为 ____________ .
D
5.设u n、v n都是正项级数，且u n发散，则当 n1,2,, 都有时，
n 1n1n 1
v n 也一定发散 .
n 1
x
2
z
三、设函数 z
e y ， 求
. （10 分）
x y x 2
y 1
2 2
四、计算二重积分
e x y d ，其中 D 是圆环形闭区域 {( x, y) |1 x 2 y 2 4} .
D
（10 分）
五、 计算 ( x 2
xy 3 )dx ( y 2 2xy )dy , 其中 L 是三个顶点分别为 (0,0) 、(2,0)
L
和 ( 2,2) 的三角形区域的正向边界 .
（10 分）
六、求幂级数
x
2n
（ 10 分）
的和函数 .
n 1
2 n
七、求下列微分方程的通解 : (x cos
y
y sin y ) d x x sin y
d y 0. （ 10 分）
x
x
x
八、应用题
（ 15 分）
计算半球面 z
a 2 x 2 y 2 被围在柱面 x 2
y 2
ax 内的部分曲面的面积 .
参考答案（模拟试卷一）
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一： 单项选择题 （每小题 3 分，共 24 分）
1 、 D ； 2、 B ； 3、B ； 4、 A ； 5、 C ； 6 、 C ； 7、 B ； 8、 C.
二、填空题（每空 4 分，共 20 分）
1 、 e
sin xy
cos xy ydx
2
e
y
2
y
2,4 ；5、
M
N .
xdy ； 2、 dy dx ； 3、 0；4、
y x
三、计算题（每题 8 分，共 40 分）
1 ; z y
2 y
;
?? 2 分
1 、解： z x
2
y 2
x y
x
z
xx
1
; z yy
2 x y 2
2y
; ?? 6 分
y 2 2
x
y 2 2
;z
xy
z
yx
x y 2
2
x
2 、解：画出 分区域
?? 1 分
2
y
2
xyd
1
dy
y
2
xydx
?? 4 分
D
1
2 2
y 5
dy
5
5 =
y y
2
?? 3 分
2
1
8
3 、解：如 ，因
P x, y 2x y 4, Q x, y 5 y 3x 6 ?? 1 分
∵
由格林公式得：
P 1,
Q 3 ，
Q
P
4?? 2 分
y
x
x
y
2x y 4 dx
5 y 3x
6 dy
L
Q
P
4
12
=
?? 5 分
dxdy
dxdy
D x
y
D
x
dx ?? 2 分
4 、解： arctan x
x 2
1
x
1 n
x
2 x
dx
x
2 n
dx
?? 3 分
=
1 n x 0
n 0
n 0
=
1 n x 2n 1
x
1,1
?? 3 分
n 0
2n 1
5 、解：原方程即
即
原方程的通解
ydx xdy x
1 dx e y dy 0 ??
2 分 d xy d 1
x 1 2
de y
?? 2 分
2
d xy
1
x 1 2
e y 0
?? 2 分
2
xy
1
x 1 2
e y
C
?? 2 分
2
四、应用题（ 16 分）
解一：用二重 分 算。所求体 可 柱体：
x 2 y 2 a 2 , 0 z a 2 的体 与以
曲面 z x 2
y 2 、以 D xy 底的曲 柱体体 之差，其体
?? 8 分
V
a 2 a 2
x 2
y 2 dxdy
D
xy
?? 8 分
2
a
a
4
d 3
dr
a 4
0 r 2
解二：用三重 分 算。利用柱面坐 ，有
?? 4 分
V
dV
2 d
a
rdr
a 2
dz
r 2
?12 分
a
2
2r
r 3
dr
a 4
a 2
答案（模拟试卷二）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 20 分）
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
B C A D B B C D B D
二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）
，，
2.5i j 7k y 2x2
4.1
5. ( , )
1. (9 -512) 3.
2y2 )2
( x
三、计算题（每小题 10 分，共 50 分）
1. 求函数 f (x, y)x 3y 3 3 ( x2y2 ) 的极点，并求极.
解：∵ f x y x 2x f
y (x y
) 3
y2
6
y
x ( ,) 3 6 ,,
令
f x ( x, y) 0x10, x22
y10, y22
f y ( x, y) 0
∴ 点： (0,0)， (0,2) ， (2,0)，(2,2)??????????? 4 分又∵ f xx6x6, f xy0, f yy 6 y6??????????? 6 分（1）于点(0,0)有A6, B0,C 6 ，AC B 236 0 且A 0∴ f (0,0)0 极大???????????7 分（2）于点(0,2)有A6, B0,C 6 ，AC B 236 0
∴ f (0,2)不是极???????????8 分（3）于点(2,0)有A6, B0, C 6 ，AC B 236 0
∴ f (2,0) 不是极???????????9 分（4）于点(2,2)有A6, B0, C 6 ，AC B236 0 且A 0∴ f ( 2,2)8 极小???????????10 分
2. 算x2 e y2dxdy ，其中 D 是以（0,0），（1,1），（0,1）点是三角形区域.
D
解：
x 2e y2dxdy =
1[
y x2 e y 2dx] dy??????????? 5 分
00
D
=11
y
3
e
y2
???????????7 分30dy
=113y2 60y de
=13
e y211e y22] [ y
00
dy
6
1 [ 1y21
=e]
6 e0
=112???????????10 分6e
３. 算1
z2ds ，其中曲： x e t cost ， y e t sin t ， z e t(0t 2) ．
x2y 2
解：原式
2
1(e t cos t )(e t sin t ) (e t) dt??? 3 分
0 (e t cost ) 2sin t ) 2(e t ) 2
(e t
32t
dt??????????? 8 分2
e
=
3
(1 e 2 )???????????10 分
2
4.利用逐求或逐分 ,求下列数的和函数 :
x3x5x2 n 1 x
5.
32n 1
解：∵ 1x 2x4x 2n1, x 1??????????? 3 分
1x 2
35 2 n 11
x x x x
∴ x=2 dx??????????? 6 分
5 1 x
32n 10
=1x1
dx x
1
2
[
0 1
dx]
0 1x x
=1 ln 1x( 1x1)??????????10分
21x
5.求微分方程足已初始条件的特解：
y' e 2 x y ， y |x 0 0 .
解：∵
dy
e 2 x e y
dx
∴ e y dy e 2 x dx
??????????? 3 分
两 分得： e y
1 e
2 x C
??????????? 7 分
2
又∵ y |x
1
??????????? 9 分
∴ C
2
∴特解 ： e y
1 e
2 x 1 ??????????? 10 分
2
四、应用题与证明题
（第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）
1. 求球面 x
2
y
2
z
2
a
2
(a
0) 被平面 z
a
与 z
a
所 部分的面 。
3 4
2
15
解：∵ z
a 2 x 2 y 2 且 D
{ ( x, y) a 2 x 2
y 2
a 2 }????? 2 分
4
16
∴所求的面 ：
S
1 ( z x ) 2
( z y )2 dxdy
????????? 4 分
D
=
a
1
dxdy
????????? 8 分
a 2 x 2
D
y 2
=
a
a
2
2 d d
????????? 9 分
D
2
15 a
= a [
4 d ] d
3 a
a
2 2
2
=
1 a
2 ????????? 1
3 分
2
2. 明曲面 xyz m ( m 0) 上任一点 切平面与三个坐 面所 成四面体的体 常数
.
解：曲面 xyz
m 上任一点 P( x 0 , y 0 ) 的法向量 ：
n ( y 0 z 0 , x 0 z 0 , x 0 y 0 )
?? 3 分
∴ P(x 0 , y 0 ) 的切平面方程 ： y 0 z 0 ( x x 0 ) x 0 z 0 ( y
y 0 ) x 0 y 0 ( z
z 0 ) 0
x
y z 1 且有 x 0 y 0 z 0
m
????????? 9 分
即：
3y 0
3z 0
3x 0
∴所 立体的体 ： V
9
x 0 y 0 z 0 = 9 m
????????? 12 分
2
2
答案（模拟试卷三）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 20 分）
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
D C D D C C C B D A
二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）
1. 3 10
2. 3x 7 y 5z 4 0
3.
2x 2 csc 2x
y y
1
x y 2 z 1
Q P 4.
2
5.
1
4
8
(
) dxdy
D
x
y
三、计算题 （每小题 10 分，共 50 分）
1.
z x ln( xy) , 求
3 z
．
x y 2
解：∵
z ln xy 1
???????????
3 分
x
∴
2
z
1
???????????
6 分
x y
y
∴
2
z
1
???????????
10 分
x y
2
y 2
2. 求
e x y d , 其中
D 是由
x
y 1 所确定的 区域．
D
解：
e x y d
= e x y
dxdy
e x y dxdy
??????????? 1 分
D
D 1
D 2
x 1
1 1 x
= [
e x e y
dy] dx
[ x e x e y
dy]dx
???????????
7 分
1 x 1
1
(e 2x 1
e 1
)dx
1
e
2 x 1
)dx
=
(e
???????????
9 分
1
= e e 1
??????????? 10 分
3. 算(x2y)dx (x sin2 y)dy ，其中 L 是在周： y2x x2上由点(0,0)到点(1,1)
L
的一段弧．
x cost1解： L 的参数方程：
sin t ,t从到
y2
∴ ( x2y)dx ( x sin 2 y) dy
L
??????????? 2 分
=2 [(1cost )2sin t]( sin t ) [(1cost)sin 2 (sin t )] cost dt???? 6 分
=[sin t sin 2t sin t cos2 t cos2t _ cost cost sin 2 (sin t )]dt
2
=71
sin 2??????????? 10 分
64
4.将函数y(1x)ln(1x) 展开成x的数,并求展开式成立的区．
解：∵ y ln(1x)1 1 x x2x3( 1)n x n1, 1 x 1???? 4 分
23n1
∴ y(1x) ln(1x)
= x x2x3x4( 1) n
(n x n 2
2)
26121)( n
=x(1) n 1x n 1， ( 1x1)????????? 10 分n1
n(n1)
5.求下列微分方程的通解：cos 2 x
dy
y tan x.
dx
解：∵ y sec2 x y tan x sec2 x
∴ P(x)sec2 x, Q( x)tan x sec2 x
P ( x)dx
[ Q ( x)e P ( x) dx
∴ y e dx C ]
sec2 xdx
tan x sec2 x e sec2 xdx
= e[dx C ]
=e tan x[tan x sec2 x e tan x
dx C ]
=e tan x[
tan x
d tan x C ] tan x e
=e tan x[
tan x
C ]
tan xde
??????????? 2 分
??????????? 3 分
??????????? 6 分
???????????8 分
= e tan x [tan x e tan x
e
tan x
d tan x C ]
= y
ce tan x
tan x
1
??????????? 10 分
四、应用题 （第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）
1. 在平面 xoy 上求一点 ,使它到 x
0, y 0 及 x
2 y 16 0 三直 的距离平方之和 最
小 .
解： 所求的点
P( x, y) ， 依据 意有：
S
d 2 x 2
y 2
( x 2y 16) 2 ， ( x
R, y R)
???????????
5 分
5
S x
2x
2
( x 2 y 16)
5
∵
???????????
9 分
4
( x
S y
2 y
2y 16) 0
5
∴ 点 ( 8 ,
16
)
???????????
11 分
5 5
由此 的 意 可知，唯一的 点一定是极小 点，也一定是最小 点。
∴所求的点 P(
8 , 16 ) ???????????
13 分
5 5
2. 求由曲面 z
x 2 2 y 2 及 z 6 2x 2
y 2 所 成的立体的体 .
解：∵
z
x 2 2 y 2
D
(x, y) x 2
y 2
2
???????????
2 分
z 6
2x 2
y 2
∴ V
[( 6 2x 2
y 2 ) ( x 2
2 y 2 )]dxdy
???????????
6 分
D
=
(6 3x 2
3y 2 ) dxdy
D
=
3 ( 2 x 2 y 2 )dxdy
D
=
3 (2
2 )
d d
???????????
9 分
D
=
2 [ 2
2 ) d d
3 0 (2
2
d
6
=
3
= ??????????? 12 分
模拟试卷四
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高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
大一高数试题及解答
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
大一高数期末考试试题
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
高数2_期末试题及答案
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
期末高等数学(上)试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
(word完整版)高数一试题及答案,推荐文档
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。
A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?，则(2)f '-=（ ） A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C +
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高数二期末复习题及答案.doc
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
高等数学学期期末考试题(含答案全)
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学试卷2及答案
１ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得