数集确界原理
数集确界原理
§1.2数集确界原理本节主要教学内容：区间与邻域确界及确界原理。
教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题对确界原理则以讲授其证明方法为主同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。
一、区间与邻域 1、区间：开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间（几何表示集合表示） 2、邻域点的δ领域去心领域左、右领域无穷大的领域：二、有界集确界原理 1、有界的概念 1o、设R若则称为有上界（下界）的数集M（L）称为的一个上界（下界）。
2 o、若既有上界又有下界则称为有界集否则称为无界集。
说明：（1）S为有界集。此时称为的一个界。
（2）S为无界集S无上界或S无下界有。
（3）界：只强调存在不强调大小；若M为S的一个界则比M大的正数皆可作为S的界例：S={12}既有上界（）又有下界于是S有界（）。
S=（a、b）既有上界（）又有下界于是S有界（）。
S=N有下界但无上界。
有上界但无下界。
2、确界的概念最小的上界称为上确界最大的下界称为
下确界即：（1）设S为R中的非空数集若满足：（i）; （ii）的最小上界. 则称数为S的上确界记为
（supremum上确界的简写）（2）设S为R中的非空数集若满足：（i）；（ii）是的最大下界。
则称数为的下确界记为(infimum下确界的简写)。上下确界统称确界。
说明：（1）若S存在上、下确界则。
（2）S的上（下）确界可能属于S也可能不属于S若属
于则相等。
（3）若S存在上（下）确界则唯一。
（4）最大（小）性的表示：（ii）使。
使例：（1）则。
（2）S=则。
证明：（2）只证。(i)有即1为的上界；(ii)要证只要
所以有。
例：设S有上确界证明：证明：必要性。由上确界定义,有又故充分性：（i）有即是S的上界；（ii）则。由上确界的定义有：。
同理可证：。
3、确界原理：（i）设S为非空数集若S上界则S必有上确界；且唯一。
（ii）设S为非空数集若S下界则S必有下确界；且唯一。
证明：只证明（i）思路：1o、根据实数的表示法和上界的性质构造一个实数。
2o、根据上确界的定义及数的构造证明数就是上确界
1o、不妨设S含有非负数由于S有上界故可找到非负整数使得：（1）（2）将（n、n+1）10等分分点为n.1n.2则01中的一个数n1使得：（1）使；（2）使1≥nn1 将
（nn1nn1+）10等分则01中的一个数使得：（1）；（2）
n1n2。
将上述步骤无限继续下去可知对使得：（1）；（2）使得：k≥nn1n2。
于是得一实数=nn1n2。
2o、下证：：（1）。反证法：若则由实数的性质使的位不足近似值k＞n1n2从而这与的构造（1）矛盾（2）∵则由实数的性质使即nn1n2。由的构造（2）n1n2。从而有o≥k＞综合（1）、（2）得。
同理可证（ii）说明：数学分析的理论基础是极限理论而极限理论是建立在实数理论的基础之上的（见本教材第七章）实数连续性定理共有6个它们彼此是相互等价的该定理为第一个其他定理将在此基础之上展开。
实数连续性定理及极限理论是本课程内容中最难以理解与掌握的部分同学们要予以高度的重视同时也不要急于求成要反复学习与训练方可理解其精髓因此要有足够的耐心、信心。
4、确界的性质（1）设为非空数集若有证明：有上确界有下确界且。
证明：由条件知均是的一个上界均是的一个下界由上确界的定义有此式表明是的下界由下确界的定义知（2）设非空有界证明：（i）（ii）证明：∵非空有界∴非空有界故有上、下确界。
（i）：1o、有故有与于是有与∴。
2 o、有或故有或于是有,∴ 综合（1）、（2）知（i）得证。同理可证（ii）。
（3）P9、习题6：设S为非空数集定义证明：与。
请同学们自己证明。
（4）P9、习题7：设皆为非空有界数集定义证明：
（i）（ii）证明：（i）使而∴从而有（Ⅰ）又,故有对在A取上确界得再对在B取上确界得(Ⅱ) 综合
（Ⅰ）（Ⅱ）得（i）成立说明：注意证明两个数相等的方法特别是证明与集合有关的数相等的方法。
5、确界的推广（1）将+∞、-∞补充到实数集中规定-∞＜＜+∞ （2）非正常上、下确界：S无上界S无下界（3）推广的确界原理：任何非空数集皆有上、下确界。
P9、习题
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前 一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]
证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理 2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理 在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明； ⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列. 于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证. 下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1] 由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞ →lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞ →lim 也存在， 且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有 n n k n n k b b a a ∞ →∞ →≥≤lim ,lim （*）
用闭区间套定理证明确界原理
用闭区间套定理证明确界原理 区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。 分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。 ①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1]，M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠∅就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2，M]否则等于[a[1]，(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。 ②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。 1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。 2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ，m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ，m+δ]中，但是[m-δ，m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。
(完整word版)实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明（30个） 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，令{}n a sup a =，下面证明：lim n n a a →∞ =. 对任意的0ε>，由上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ,使得：N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >，有：n N a a a ε-<<. 另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有：n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >，有：n a a a εε-<<+，即：n a a ε-<. 由极限的定义，lim n n a a →∞ =.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：设[]{},n n a b 是一个闭区间套. 令数集{}n S a =. 由于任一n b 都是数列{}n a 的上界，由确界原理，数集S 有上确界，设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n = 显然，()1,2,3, n a n ξ≤=，故只需证明对任意正整数n ，都有n b ξ≤. 事实上，对任意正整数n ，n b 都是S 的上界，而上确界是最小上界，故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ，使得[](),1,2,3, n n a b n ξ∈= 下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故 有:ξξ'=.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{}|,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖， 显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ，所以，存在一个开区间(),H αβ∈，覆盖住了a .取(),x a β∈，则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖（1个） ，x S ∈，从而S 非空.
确界原理的数学分析证明
确界原理的数学分析证明 确界原理是数学中常用的一个概念，它有助于理解实数集的性质，并在实际问题中起到重要的作用。在本文中，我们将对确界原理进行数学分析证明。 首先，我们需要了解什么是确界。在实数集中，如果存在一个数a，使得集合中的每个元素都小于等于a，那么a就被称为这个集合的上界。类似地，如果存在一个数b，使得集合中的每个元素都大于等于b，那么b被称为这个集合的下界。 在实数集中，如果一个集合既有上界，又有下界，那么我们称这个集合是有界的。否则，如果一个集合没有上界或下界，那么我们称这个集合是无界的。 现在，我们将证明确界原理，它陈述了任何一个非空的有上界的实数集合，都必然存在一个最小的上界。 证明过程如下： 假设A是一个非空的有上界的实数集合，并且ub是A的一个上界。 根据实数集的定义，我们可以找到一个实数x，在A中至少存在一个元素a，使得a>x。这是因为如果不存在这样的x，那么ub不是A的一个上界。 我们现在来构造一个新的实数集B，B由所有满足x≤a的实数x组成。也就是说，
B={x∈R : a≤x，对于所有的a∈A}。 首先，我们注意到B是非空的。因为x≤ub，ub是A的一个上界，所以ub≤x，所以x∈B。因此B非空。 其次，我们观察到B是有上界的。因为ub是A的一个上界，所以ub≥x，对于所有的x∈B。这意味着ub是B的一个上界。 现在我们可以应用确界原理。根据确界原理，B的上界存在一个最小的上界，我们将其记为supB。我们需要证明supB是A的上界。 假设存在一个元素a∈A，使得a>supB。那么对于任意的x∈B，我们都有a>x，因为x≤a。这意味着a是B的上界，但a>supB，这与supB是B的上界相矛盾。 因此，我们得出结论，supB是A的一个上界。 最后，我们需要证明supB是A的最小上界。假设存在一个实数c，使得c是A 的一个上界，并且c
实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描 述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性）， 它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知A、B不漏。又， 则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界，
则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的 上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 ，，当时有。又都不是X上界对每一个， ，使得。故对，，使得。②若 ，使得，则由知。故 ，使得。又都是X的上界，故对有。而， 故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X 有上确界存在。
2 数集
§2 数集。确界 §2 二数集. 确界原理:一区间与邻域: 区间：
邻域 二有界数集. 确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例证明集合是无界数集. 证明：对任意, 存在 由无界集定义，E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （1）对一切有，即是数集S 的上界；
（2）对任何存在使得（即是S的最小上界） 则称数为数集S的上确界。记作 定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （3）对一切有，即是数集S 的下界； （4）对任何存在使得（即是S的最大下界） 则称数为数集S的下确界。记作 例1 ⑴则 ⑵则 定理1.1(确界原理). 设S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 证明（见教材） 例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3设和是非空数集，且有则有 . 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证有或由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界,
又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有于是有 . 综上, 有. 2.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 3.确界与最值的关系: 设为数集. ⑴的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶若存在, 必有 对下确界有类似的结论.
数分第一章第九节上确界和下确界
第一章 实数和数列极限 第九节 上确界和下确界 一、 数集的界 设E 是一个由一些实数组成的集合。 定义 设E 是一数集。 （1）如果存在一个实数A ，使得对任何E x ∈，有A x ≥，则称A 是E 的一个下界； （2）如果存在一个实数B ，使得对任何E x ∈，有B x ≤，则称B 是E 的一个上界； （3）如果存在实数A 和B ，使得对任何E x ∈，有B x A ≤≤，那么E 称为有界集。 如果E 不是有界集，则称E 为无界集。
例如 （1） }:{*2N n n E ∈= 显然1=A 是E 的一个下界； （2） }:{*2N n n E ∈-=， 1-=B 是E 的一个上界； （3）}:{sin R x x E ∈=， 显然1-=A 是E 的一个下界； 1=B 是E 的一个上界； E 是一个有界集。 （4）}10:)1({<<-=x x x E ， 显然，0=A 是E 的一个下界； 4 1=B 是E 的一个上界； E 是一个有界集。 （5）}:{*1 N n n E n ∈=，
显然，显然1=A 是E 的一个下 界；我们知道，3)11(<+n n ，所以， 当3≥n 时，有n n n <+)11(， 于是，1)1(+<+n n n n ， 即得，n n n n 1 11 )1(<++，（3≥n ）， 所以，当3≥n 时，}{1 n n 是严格递减的，3113≤n n ，（3≥n ）， 又312132<，3131<，故3 13是E 的一个上界。 （6）}:)1{(*2N n n E n ∈-=， 显然，E 是一个无界集。 二 、上确界和下确界的 概念
数集确界原理
数集确界原理 §1.2数集确界原理本节主要教学内容：区间与邻域确界及确界原理。 教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题对确界原理则以讲授其证明方法为主同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。 一、区间与邻域 1、区间：开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间（几何表示集合表示） 2、邻域点的δ领域去心领域左、右领域无穷大的领域：二、有界集确界原理 1、有界的概念 1o、设R若则称为有上界（下界）的数集M（L）称为的一个上界（下界）。 2 o、若既有上界又有下界则称为有界集否则称为无界集。 说明：（1）S为有界集。此时称为的一个界。 （2）S为无界集S无上界或S无下界有。 （3）界：只强调存在不强调大小；若M为S的一个界则比M大的正数皆可作为S的界例：S={12}既有上界（）又有下界于是S有界（）。 S=（a、b）既有上界（）又有下界于是S有界（）。
S=N有下界但无上界。 有上界但无下界。 2、确界的概念最小的上界称为上确界最大的下界称为 下确界即：（1）设S为R中的非空数集若满足：（i）; （ii）的最小上界. 则称数为S的上确界记为 （supremum上确界的简写）（2）设S为R中的非空数集若满足：（i）；（ii）是的最大下界。 则称数为的下确界记为(infimum下确界的简写)。上下确界统称确界。 说明：（1）若S存在上、下确界则。 （2）S的上（下）确界可能属于S也可能不属于S若属 于则相等。 （3）若S存在上（下）确界则唯一。 （4）最大（小）性的表示：（ii）使。 使例：（1）则。 （2）S=则。 证明：（2）只证。(i)有即1为的上界；(ii)要证只要 所以有。 例：设S有上确界证明：证明：必要性。由上确界定义,有又故充分性：（i）有即是S的上界；（ii）则。由上确界的定义有：。
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。 3区间套定理若{[a n , b n ]} ξ∈[a n , b n ], n = 1,2,。 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 4Heine-Borel 有限覆盖定理设[a,b] 是一个闭区间，H为[a,b] 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。 5Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 6Cauchy 收敛准则数列{a n }收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得 ∀m, n >N 时，都有| a m -a n |<ε。 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证不妨设{ a n}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记 a = sup{ a n}.下面证明a 就是{ a n} 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n}的递增性,当n≥ N 时有a - ε < a N ≤ a n. 另一方面,由于a 是{ a n}的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n≥ N 时有 a - ε < a n < a + ε, 这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：１设［ａｎ，ｂｎ］是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］； ２）ｂｎ－ａｎ＝ 我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯） 存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ
1.实数、数集、确界
《数学分析》研究的基本对象是定义在“实数集”上的函数，为此，我们要先学习一些实数理论，然后学习函数论，最后学习极限论！ 第一节 实数、数集、确界 一. 实数及其性质： 1. (,0)p p q q q ??≠?? ??? ?正分数有理数：为整数且或有限十进小数和无限十进循环小数实数负分数无理数：无限十进不循环小数 [问题] 有理数，无理数的表示不统一，对统一讨论实数是不利的，为了讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 在此规定下，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示，并且衍生出两个概念： 对于正实数012n x a a a a = ，有理数012n n x a a a a = 称为实数x 的n 位不足近似；而有理 数01211 (1)10 n n n n n x a a a a a x -=+=+ 称为实数x 的n 位过剩近似 对于负实数012n x a a a a =- ，有理数01201211 (1)10 n n n n n x a a a a a a a a a -=--=-+ 称 为实数x 的n 位不足近似；而有理数01n n x a a a =- 称为实数x 的n 位过剩近似 规定：零的n 位不足近似为110n - ，零的n 位过剩近似为110 n 从而： 实数x 的n 位不足近似n x 单调增加：012n x x x x x ≤≤≤≤< ?n x 收敛于x 实数x 的n 位过剩近似n x 单调减少：012n x x x x x ≥≥≥≥> ?n x 收敛于x 2. 实数大小的比较：首先规定：正实数>零>负实数 无限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 均为正实数，其中00,a b 为非负整数，k a ， k b (1,2,)k = 为整数且09,09k k a b ≤≤≤≤，若有,0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等， 记为：x y =；若00a b <或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l == 且11l l a b ++<，则称x 小于y ，记为：x y <；对于负实数x 、y ，按上述规定分别比较,x y --即可 有限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 为两个实数，则：x y
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数 2 数集·确界原理 一、区间与邻域 设a、b∈R，且a
实数完备性理论
实数完备性理论，理论基础及英应用 实数完备性是指六大定理的等价性。它的六大定理如下：1、确界原理2、单调有界原理3、区间套定理4、有限覆盖定理5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。其中任何一个命题都可推出其余的五个命题 一、认识实数完备性 1、确界原理 （1）确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 （2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足 （i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界； （ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界； 下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足： （i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界； （ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界； 2、单调有界原理 定理：在实数系中，单调有界数列必有极限 3、区间套定理 （1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n）,b（n ）]}具有如下性质： (i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......； (ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。(2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且liman=lim bn=ξ。 4、开覆盖 （1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S. (2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区
区间套证明确界原理
区间套证明确界原理 引言： 在数学中，区间套证明确界原理是一种常用的证明方法，用于证明实数集合中存在唯一的确界。该原理可以帮助我们确定数集的上界和下界，从而更好地理解数学问题的性质和特点。本文将详细介绍区间套证明确界原理的定义、原理和应用。 一、区间套的定义 在数学中，区间是指由两个实数端点构成的集合。设有一系列区间{[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...}，满足以下条件： 1. 对于任意的正整数n，区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1), b_(n+1)]中，即[a_n, b_n]⊆[a_(n+1), b_(n+1)]； 2. 区间的长度逐渐减小，即对于任意的正整数n，有b_n - a_n >= b_(n+1) - a_(n+1)。 二、区间套证明确界原理的原理 区间套证明确界原理是基于一种递推的思想。假设存在一个实数集合，这个集合的每个元素都是一系列区间的交集。如果这些区间满足区间套的定义，那么这个实数集合必定存在唯一的上界和下界。 三、区间套证明确界原理的证明 1. 首先，根据区间套的定义，我们可以得到以下结论： - 对于任意的正整数n，区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1),
b_(n+1)]中； - 区间的长度逐渐减小。 2. 接下来，我们要证明这个实数集合存在上界和下界。根据区间套的定义，我们可以得到以下结论： - 对于任意的正整数n，a_n <= a_(n+1)，即区间的左端点逐渐增大； - 对于任意的正整数n，b_n >= b_(n+1)，即区间的右端点逐渐减小。 3. 基于以上结论，我们可以得到以下两个结论： - a_n是一个递增数列，存在上界； - b_n是一个递减数列，存在下界。 4. 根据实数的完备性定理，递增数列存在上确界，递减数列存在下确界。 5. 接下来，我们要证明这个实数集合的上确界和下确界是唯一的。假设存在两个上确界c和d，其中c < d。根据实数的完备性定理，存在一个实数x，使得c < x < d。因为x是实数集合的上确界，所以存在一个区间[a_n, b_n]，使得a_n <= x <= b_n。但是根据区间套的定义，我们可以得到a_n <= c < x <= d <= b_n，这与c 和d是上确界的定义相矛盾。因此，实数集合的上确界是唯一的。同理，可以证明实数集合的下确界也是唯一的。
高等数学第1章第2节数集确界原理.
1、能源计量网络图或统计分析表 2、能源计量器具一览表（台帐）[包括进出用能单位、主要次级用能单位] 3、用能单位能源计量组织机构图 4、主要次级用能单位核定表 5、主要用能设备核定表 6、输入输出用能单位一览表 7、能源计量器具配备率计算表 三、企业提供软件资料 8、能源计量管理制度[至少包含以下制度] ●能源计量器具采购、验收、使用、维护保养制度 ●能源计量人员岗位职责 ●能源计量器具溯源和周期检定制度 ●能源计量数据采集制度 ●能源计量数据统计制度 三、企业提供软件资料 9、能源计量器具档案[仪器说明书、连续2个周期检定证书/校准报告、使用和维修记录、报废记录] 10、量值传递/溯源图 11、能源计量管理人员上岗证书 12、能源计量器具周期检定计划表 13、能源统计报表 14、能源计量数据原始采集记录 四、工作程序
1、确定输入输出用能单位的能源种类 2、核定主要次级用能单位 3、核定主要用能设备 4、画出能源计量网络图 5、编制和整理软件资料 6、配备能源计量器具 7、能源计量器具周期检定 表1 主要次级用能单位能源消耗量（或功率）限定值 能源电力 煤炭 焦炭原油 成品油 重油、渣 油 煤 气、 蒸汽 热水 水其它 种类石油 液化 气 天然 气 单位kW t/a t/a t/a m3/a GJ/a t/a GJ /a 限定值10 100 40 80 10 000 5 000 5 000 2 926 注1: 表中a是法定计量单位中“年”的符号。 注2: 表中m3指在标准状态下，表2同。
注3: 2 926 GJ相当 于100 t标准煤。其 它能源应按等价热 值折算，表2类推。 表2 主要用能设备能源消耗量（或功率）限定值 能源电力煤 炭、 焦炭 原 油、 成品 油、 重 油、 渣油 煤 气、 蒸 汽、 热水 水其它 种类石油 液化 气 天然 气 单位kW t/h t/h t/h m3/h MW t/h GJ/h 限定值100 1 0.5 1 100 7 1 29.26 注1: 对于可单独进行能源计量考 核的用能单元（装置、系统、工 序、工段等），如果用能单元已 配备了能源计量器具，用能单元 中的主要用能设备可以不再单独 配备能源计量器具。 注2: 对于集中管理同类用能设备 的用能单元（锅炉房、泵房 等），如果用能单元已配备了能 源计量器具，用能单元中的主要 用能设备可以不再单独配备能源
华东师范大学数学系数学分析第4版上册知识点总结笔记课后答案
第1章实数集与函数 1.1复习笔记 一、实数 实数的性质 封闭性、有序性、大小的传递性、阿基米德性、稠密性、与数轴上的点一一对应。 三角不等式 二、确界原理 设S为非空数集。若S有上界必有上确界；若S有下界必有下确界。 三、函数概念 函数的表示法 主要有三种，即解析法（或称公式法）、列表法和图像法。 复合函数 设有两函数 y＝f（u），u∈D u＝g（x），x∈E 式中的u为中间变量，函数f和g的复合运算也可简单地写作。 反函数 设 y＝f（x），x∈D 对于任意的一个y∈f（D），D中存在唯一的x，使得f（x）＝y。则按此对应法则得到的函数称为反函数，记作 x＝f－1（y），y∈f（D）
初等函数 图1-1-1 四、具有某些特性的函数（见表1-1-1） 表1-1-1 具有某些特性的函数
1.2课后习题详解 §1 实数 设a为有理数，x为无理数。证明： （1）a＋x是无理数； （2）当a≠0时，ax是无理数。 证明：（1）用反证法。假设a＋x是有理数，那么（a＋x）－a＝x也是有理数。这与x是无理数矛盾。故a＋x是无理数。 （2）用反证法。假设ax是有理数，因为a是不等于零的有理数，所以ax/a＝x是有理数。这与x是无理数矛盾。故ax是无理数。 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x（x2－1）＞0； （2）|x－1|＜|x－3|； （3）。 解：（1）由原不等式得 或 不等式组① 的解是x＞1，不等式组② 的解是－1＜x＜0。故x（x2－1）＞0的解集是{－1＜x＜0或x＞1}。在数轴上表示如图1-2-1所示。 图1-2-1 （2）原不等式同解于不等式（x－1）2＜（x－3）2。由此得原不等式的解为x＜2。在数轴上表示如图1- 2-2所示。
实数完备性的启发与猜想
实数完备性的启发与猜想 1确界原理 我们知道对于一维欧氏空间而言，它里面的元素也就是我们的实数，实数的完备性定理的第一条就是确界原理，即为有上下界的数集必有上下确界，那么我们在二维欧式空间中来看，对于确界原理而言，由于我们考虑的是平面点集所构成的区域，所以在刻画二维欧式空间的诸多性质时，我们自然的引入了距离，也就是说我们没有单纯的像一维欧氏空间那样用实数自身的大小来刻画其性质，而是借助别的东西来反映其本质，但是我们发现确界定理到了这里似乎有所变化，我们会常去刻画某一区域的上界，似乎很少去谈论它的下界，在此必须引入平面区域有界的概念，既存在的一个邻域U，使得M包含与U，则M有界，那么我们就会考虑确界原理是否在二维欧氏空间里是成立的，显然我们知道在二维欧氏空间里有上界的数集必定会存在上确界，supM=U（x，），=inf{ “|U（x，“）M}，而在这里我们一般不讨论一个区域的下界，所以确界原理在二维欧氏空间里只能叙述为有上界的区域必有上确界，这样的话我们可以将欧氏空间进行推广，由于欧氏空间是度量空间，所以在它上面定义的距离是用来衡量上确界的一个重要指标，所以我们同样可以将确界原理像二维欧氏空间那样推广到n维欧氏空间，从这一特征的推广过程我们可以发现当我们刻画实数的上确界的时候很明显用到了实数的度量，而n维欧氏空间上面的度量则是两实数距离的普通意义下的推广，所以这也就保证了实数的确界原理可以推广到n维欧氏空间当中，这就像在两个拓扑空间中，只要在它们中间存在拓扑映射，如果在此映射下某一性质保持不变则称之为拓扑性质，显然我们也可以称确界原理为欧氏空间的拓扑性质。我们也发现在离散度量空间当中任意两点间的距离d（x，y）≤1，则该数集显然满足确界原理，上确界为d（x，y）=1的点，而对于C[a，b]，在它上面定义度量d（x，y）=max|x（t）y（t）|，如
关于确界性质的讨论2
关于确界性质的讨论 岳俊瑞 黄小琳 （安康学院数学系 陕西 安康 725000） 摘 要：在集合内讨论确界与最值的关系,并用它解决有关问题,研究数集四则运算后集合的确界的性质,以及讨论在数列中确界与极值的关系. 关键字：确界；最大值；最小值 一.确界的概念 上确界的定义:S 是集合,η是常数,η是S 的最小上界,称η是S 的上确界.记为{}x S S x ∈==sup sup η ? ①对η≤∈?x S x ,； ②对η εηε≤<∈?>?00-,0x S x 使得，. 下确界的定义:S 是集合,ξ是常数,ξ是S 的最大下界,称ξ是S 的下确界.记为{}x S S x ∈==inf inf ξ ? ①对ξ≥∈?x S x ,； ②对ε ξξε+<≤∈?>?00,,0x S x 使得. 确界原理:设S 为非空数集,若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界. 二．确界的性质 关于数集的确界，一般的数学分析教材主要讨论一个集合的确界情形，比如什么样的集合存在确界，确界在存在情况下有哪些性质等，在这里我们讨论了一下确界与最值之间的关系，有助于大家对确界的理解. 1.确界与最值的关系. 1.1当集合S 存在上、下确界时,最大值、最小值不一定存. 例如：对于(){}内的有理数 为区间1,0|X X S =，有1s u p =S ,0inf =S ,但是该 集合并不能取到最大值与最小值。 1.2当集合存在最大值(最小值)时,则上(下)确界一定存在且等于最大值(最小值). 例如：对于[]1,0=S ，有1sup =S ,0inf =S ,该集合的最大值与最小值也分别是1,0。 1.3当集合存在上确界（下确界）且上确界（下确界）包含在这个集合中,则这个集合有最大值（最小值）,其值就为上确界..
[小学]数集确界定理
[小学]数集确界定理 ?2 数集.确界定理 ?. 教学目的与要求 1.理解区间及邻域的概念, 2.掌握有界集和上、下确界的概念; 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.3. ?. 教学重点与难点: 重点: 实数确界的定义及确界原理. 难点: 实数确界的定义及确界原理的应用. ?. 讲授内容 一区间与邻域 ba,b设、 R，且(我们称数集引为开区间，记作();数集a{x|a,x,b}a,b, 称为闭区间，记作[];数集{}和{}都称为半开{x|a,x,b}a,bx|a,x,bx|a,x,b半闭区间，分别记作[)和((以上这几类区间统称为有限区间( a,ba,b] a,，,,,,xx,a无限区间:[) ,(,,,a],{x|x,a},(a,，,),{x|x,a}, ,都称为无限区间((,,,a],{x|x,a}(,,,，,),{x|,,,x,，,},R 有限区间和无限区间统称为区间( a,R,,0,U(a;,),{x|x,a,,},(a,,,a，,).设，(集合称为点的邻域，a记作，或简单地写作,. U(a;,)(a) ,,,U(a;,),{x|0,x,a,,},点的空心邻域定义为或简单地记作，注aU(a) ,,U(a;,),{x|0,x,a,,}意的差别在于: 不包含点a(U(a;,)与U(a;,) 此外，我们还常用到以下几种邻域: , 点aU(a;,),[a,a，,)U(a);的右邻域，简记为，， ,aU(a;,),(a,,,a]U(a); 点的左邻域，简记为 ,,
,,,(U(a)与U(a)aa去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为()U(a)与 U(a),，,， 邻域，其中M为充分大的正数(下同); U(,),{x|x,M}, 邻域，领域(U(，,),{x|x,,M}U(,,),{x|x,,M}，,,, 二有界集.确界原理 Sx,S 定义1 设为R中的一个数集(若存在数M(L)，使得对一切，都有 M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)(xx,, 若数集既有上界又有下界，则称为有界集(若不是有界集，则称为无界集(SSSS 例1 证明数集为正整数}有下界而无上界( N,{n|n， 证显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集(NN，，为证N+无上界，按照定义只须证明:对于无论多么大的数M，总存在某个正整 数 n(,N，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则，n,Mn,n,N,,M， 1Mo，)oo，0且(这就证明了无上界( Nn,M，o 同样可以证明:任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集;由有限个数组成的数 集是有界集( 定义2 设是R中的一个数集(若数满足: S, x,, (i)对一切，有，即是的上界; x,SS, (ii)对任何存在，使得即又是的最小上界 x,Sx,,S,,,,oo 则称数为数集的上确界，记作 ,,supSS, , 定义3 设是R中的一个数集(若数满足: S x,,, (i)对一切，有，即是的下界 x,SS
实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明〔30个〕 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，令{}n a sup a =，下面证明：lim n n a a →∞ =. 对任意的0ε>，由上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ,使得：N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >，有：n N a a a ε-<<. 另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有：n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >，有：n a a a εε-<<+，即：n a a ε-<. 由极限的定义，lim n n a a →∞ =.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：设[]{} ,n n a b 是一个闭区间套.令数集{}n S a =. 由于任一n b 都是数列{}n a 的上界，由确界原理，数集S 有上确界，设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n = 显然，()1,2,3, n a n ξ≤=，故只需证明对任意正整数n ，都有n b ξ≤. 事实上，对任意正整数n ，n b 都是S 的上界，而上确界是最小上界，故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ，使得[](),1,2,3, n n a b n ξ∈= 下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3, n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有: ξξ'=.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{} |,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖， 显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ，所以，存在一个开区间(),H αβ∈，覆盖住了a .取(),x a β∈，则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖〔1个〕，x S ∈，从而S 非空. 由确界原理，令supS ξ=. 先证明b ξ=.用反证法，若b ξ≠，则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ，一定存在开区间()11,H αβ∈，覆盖