实数完备性理论

实数完备性理论，理论基础及英应用

实数完备性是指六大定理的等价性。它的六大定理如下：1、确界原理2、单调有界原理3、区间套定理4、有限覆盖定理5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。其中任何一个命题都可推出其余的五个命题

一、认识实数完备性

1、确界原理

（1）确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

（2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足

（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；

（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；

下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：

（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；

（ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；

2、单调有界原理

定理：在实数系中，单调有界数列必有极限

3、区间套定理

（1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n）,b（n ）]}具有如下性质：

(i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......；

(ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。(2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且liman=lim bn=ξ。

4、开覆盖

（1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.

(2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区

间来覆盖[a,b]

5、聚点

（1）聚点定义：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点。

对于点集S,若点e的任何ε邻域内都含有S中的异于e 的点,则称e为S的一个聚点。

（2）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。

6、Cauchy收敛准则

（1）数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε

(2）证明：必要性：设lim an=A(n->∞),对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|an-A|<ε/2,|am-A|<ε/2

故|an-am|<=|an-A|+|am-A|<ε

充分性：取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有|a(n)-a(N+1)|<1。

令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1}

则对一切n，成立|a(n)|≤M。所以Cauchy列有界。

由致密性定理（有界数列必有收敛子列），故lim an=A(n-->∞)

由存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|an-am|<ε

从上式中曲am=ank,其中k充分大，满足nk>N,并且令k趋向于正无穷，得|an-A|<ε，故{an}收敛

二、六大定理的等价性

1、用“确界原理”证明“单调有界原理”

证：不妨设{an}为有上界的单调递增函数。由确界原理，数列{an}有上确界，记a=Sup{an} 下面证明a就是{an}的极限。事实上，任给ε>0，按上确界的定义，存在数列{an}中的某一项aN,使得a-ε

又由{an}的递增性，当n>=N时有a-ε

另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有an<=a∞）。

同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界

2、“单调有界原理”证明“区间套定理”(2=>3)

证：注意到{an}单调递增由上界b1,则由单调有界原理，存在ξ∈R，且lim(n-->∞）an=ξ,ξ=Supan,即an≤ξ（n=1，2,……）

由lim（bn-an ）=0知lim(n-->∞）bn=ξ,且ξ=infbn,故ξ≤bn（n=1，2,……）

从而an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…

下证唯一性：设ξ、k∈[an,bn]即an≤ξ，ξ≤bn由两边夹定理知k=ξ

3、用“区间套定理”证明“有限覆盖定理”（3=>4）

证：将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.

再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.

重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。

但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0

4、用“有限覆盖定理”证明“聚点定理”（4=>5）

证：（反证）S属于[a,b],设[a,b]中任何一点都不是S的聚点，即存在δx>0,使得U(ξ,δx)只含有S中有限个点

令H={(x-δx,x+δx)|x∈[a,b],(x-δx,x+δx)只含有S中有限个点}，则H是[a,b]的一个开覆盖，当然也是S的一个开覆盖。有有限开覆盖定理，存在x1,x2,……,xn∈[a,b]使得S属于[a,b]属于U（xi-δxi,x+δxi）。其中S为无限集而U（xi-δxi,x+δxi）只含有S中有限个点，矛盾5、用“聚点定理”证明“Cauchy收敛准则”（5=>6）

同一、6其中致密性定理包括在聚点定理中

6、用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理”

证：设E为非空有上界数集。当E为有限集时, 显然有上确界。

下设E为无限集, 取a1不是E的上界, b1为E的上界。

对分区间[a1,b1], 取[a2,b2] 使a2不是E的上界, b2为E的上界。

依此得闭区间列{[an,bn]}。验证{bn}为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则{bn}收敛; 同理{an}收敛

易见bn↘,设bn↘并趋向于A，有na↗并趋向于A。下证supE=A。用反证法验证A的上界性和最小性

三、实数完备性的应用举例

例1、设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}。证明：sup（A+B）=supA+supB

证明：对任意的z∈A+B,则z=x+y,x∈A,y∈B,且x≤supA,y≤supB,

所以z=x+y≤supA+supB即supA+supB是A+B的一个上界,

故sup(A+B)≤supA+supB;

对于任意的t>0,存在a∈A,b∈B,使得a>supA-t/2,b>supB-t/2,

有c=a+b>supA+supB-t,所以supA+supB是A+B的一个最小上界，

故sup(A+B)=supA+supB

例2、用闭区间套定理证明零点定理

证明：不妨设f(a)<0

若f(c)>0，则记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)<0，则记[a1，b1]=[c,b]。

再记c1=(a1+b1)/2，若f(c1)＝0，结论成立；

若f(c1)>0，则记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)<0，则记[a2,b2]=[c1,b1]。

继续下去，或者到某一步有f(ck)=f[(ak+bk)/2]=0，此时结论成立。

或者此过程可无限做下去，因此得到一区间套序列{[an,bn]}，满足：

(1)[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...，

(2)bn－an=(b－a)/2^n趋于0，当n趋于∞；

(3)f(an)<0

由闭区间套定理，存在c位于所有的区间，即an≤c≤bn，对n都成立，

且an和bn都趋于c。由f(x)在c的连续性有

f(c)＝lim f(an)≤0，f(c)＝lim f(bn)≥0，

因此f(c)＝0。证毕

四、用实数完备性证明连续函数的基本性质

1、最值定理：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在［a,b］上一定能取到最大值与最小值。证：由有界性原理和确界原理，存在上确界supf(x)=M,x∈[a,b]

下面来证明：存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M,倘若不然，对于一切x∈[a,b]都有f(x)

令g(x)=1/[M-f(x)],x∈[a,b],易见函数g在[a,b]连续，且取正值，故g在[a,b]上有界，记为G。

则有0

但这与M为f([a,b])的上确界相矛盾，所以必有ξ∈[a,b]使f(ξ)=M，即f(x)在［a,b］上有最大值。同理可证有最小值

2、有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在［a,b］上有界。

用有限开覆盖定理证明有界性定理

证：设f(x)在区间[a,b]上连续，根据连续的局部有界性定理：

对任意的x0∈[a,b],存在正数δx0,当x∈(x0-δx0,x0+δx0)∩[a,b]时有|f(x)|≤Mx0

作开区间集H=H={(x-δx,x+δx)||f(x)|≤M,x∈[a,b],x∈(x-δx,x+δx)∩[a,b]}

显然H覆盖了区间[a,b],根据有限开覆盖定理，存在H中有限个开区间

(x1-δx1,x1+δx1)，(x2-δx2,x2+δx2)，...，(xn-δxn,xn+δxn)它们也覆盖了[a,b]

令M=max{Mx1,Mx2,...,Mxn},那么对任意的x∈[a,b],|f(x)|≤Mxk≤M(1≤k≤n)

3、根的存在定理：若f(x)在闭区间［a,b］上连续，f(a)f(b)＜0,则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(ξ)＝0。

证明同例2

4、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)≠f(b），若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)<μ

证：不妨设f(a)<μ0 于是定理结论转化为：存在x0∈(a,b),使得g(x0)=0即根的存在定理的证明

5、一致连续性定理：若f(x)在区间上[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一致连续。

证：若不然，存在ε0>0,以及区间[a,b]上的点列{xn},{yn},虽然lim（xn-yn)=0(n->∞),但是

|f(xn)-f(yn)|≤ε0,n=1，2,……

因为{xn}有界，所以由致密性定理，{xn}有一个收敛的子列{xnk}

设limxnk=x0(k->∞),从而limynk=lim[ynk-xnk+xnk](n->∞)=x0

a≤xnk≤b,由极限的不等式性质推得a≤x0≤b,故f(x)在点x0连续

综上ε0≤lim|f(xn)-f(yn)|（k->∞）=f(x0)-f(x0)=0矛盾

040112121 沈燕