高中数学必修2第一章空间几何体单元测试题

第一章《空间几何体》单元测试题

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是()

A．三棱锥B．三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

[答案] B

2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()

[答案] B

[解析]D选项为主视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

3．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案] C

[解析]本题考查四棱柱的结构特征，画出示意图即可．

4．已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()

A ．32a 2

B ．

34

a 2 C ．

64

a 2 D ．6a 2

[答案] C

[解析] 直观图面积S ′与原图面积S 具有关系：S ′＝24S .∵S △ABC ＝3

4

(2a )2＝3a 2，∴S △A ′B ′C ′＝

24×3a 2＝64

a 2. 5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．3

[答案] A

[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r ，由题意，另一底面圆的半径R ＝3r . ∴S 侧＝π(r ＋R )l ＝π(r ＋3r )×3＝84π，解得r ＝7. 6．正方体内切球与外接球体积之比为( ) A ．1

3

B ．1 3

C ．13 3

D ．1

9

[答案] C

[解析] 设正方体棱长为a ，内切球半径R 1，外接球半径R 2.R 1＝a 2，R 2＝3

2a ，

V 内

V 外＝(a

2

)3

(32

a )3

＝13 3.

故选C.

7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )

A ．3034

B ．6034

C ．3034＋135

D ．135

[答案] A

[解析] 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为(92)2＋(152)2＝3

2

34，则这个菱柱的侧面积为4×3

2

34×5＝3034.

8．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A ．324πR 3 B ．38πR 3 C ．

525

πR 3 D ．

58

πR 3 [答案] A

[解析] 依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为R 2，高为3

2R ，

所以圆锥的体积为13×π×(R 2)2×32R ＝3

24

πR 3.

9．正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的体积是( ) A ．9 3 cm 3 B ．54 cm 3 C ．27 cm 3 D ．18 3 cm 3

[答案] B

[解析] 由题意知棱柱的高为2 3 cm ，底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm ，∴底面正三角形的边长为6 cm ，正三棱柱的底面面积为9 3 cm 2，∴此三棱柱的体积V ＝93×23＝54(cm 3)．

10．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )

A ．1

B ． 2

C ．

2－12

D ．

2＋1

2 [答案] C

[解析] 水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为 2.因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为[1，2]．由此可知，A ，B ，D 均有可能，而2－1

2

＜1，故C 不可能．

11．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A ．45，8

B ．45，8

3

C ．4(5＋1)，8

3

D ．8,8 [答案] B

[解析] 因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的△PEF ，如图．由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面长AB ＝2，高PO ＝2，则四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥侧面积S ＝4×1

2

×2×5＝45，体

积＝13×2×2×2＝83

.

12．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A ．500π3 cm 3

B ．866π3 cm 3

C ．1372π3 cm 3

D ．2048π3

cm 3

[答案] A

[解析] 设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R －2，则

R 2＝(R －2)2＋42，解得

R ＝5.∴球的体积为4π×533＝500

3

cm 3.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，三视图完全一样的是________．

[答案] ②④

14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x 轴和正

三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________．

[答案]

64

15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________．

[答案] 11

[解析] 设棱台的高为x ，则有(16－x 16)2＝50

512

，解之，得x ＝11.

16．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．

[答案] 2(1＋3)π＋4 2

[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如右图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl

＝π×2×23＝43π，S 底＝π×22＝4π，

S △SAB ＝1

2

×4×22＝42，

所以S 表＝43π2＋4π

2

＋42＝2(1＋3)π＋4 2.

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．

[解析] 设圆台的母线长为l cm ，截得圆台的上、下底面半径分别为r cm,4r cm. 根据相似三角形的性质得

33＋l ＝r

4r

，解得l ＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.

18．(本小题满分12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体？ (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．

[解析] (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．

(2)该几何体的侧视图如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为1

2·3

a ·3a ＝3

2

a 2.

(3)设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ， 则S ＝6×

34a 2＝332

a 2， 所以V ＝13×332a 2×3a ＝3

2

a 3.

19. (本小题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

[解析] 过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ， ∵∠ADC ＝135°，∴∠EDC ＝45°. 又∵CE ⊥DE ，∴CE ＝ED ＝2. 易得CF ＝4，BF ＝3，∴BC ＝5.

四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的几何体是以EC ，AB 为底面半径，EA 为高的圆台，去掉一个以EC 为底面半径，ED 为高的圆锥，

∴S 表＝25π＋42π＋π(10＋25)＝60π＋42π， V ＝π3(22＋22×52＋52)×4－13π×22×2＝148

3

π.

20．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，

求这个几何体的体积．

[解析]由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面

是半径为2和3

2的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π(3

2)

2×1＝

7π

4.

21．(本小题满分12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.如图(2)(3)所示的分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；

(2)求该安全标识墩的体积．

[解析](1)如图所示．

(2)该安全标识墩的体积V＝V P－EFGH＋V ABCD－EFGH＝1

3×40

2×60＋

402×20＝32 000＋32 000

＝64 000(cm3)．

22．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：

(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．

[解析] (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为 4×12×2a ×3

2

×2a ＝23a 2. 而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33

. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a 3

3

.