北京大学量子力学教材 第四章
第四章 量子力学中的力学量
第四章目录 §4.1表示力学量算符的性质 (3) (1) 一般运算规则 (3) (2) 算符的对易性 (5) (3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7) §4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12) §4.3 连续谱本征函数“归一化” (15) （1） 连续谱本征函数“归一化” (15) （2） δ函数 (18) （3） 本征函数的封闭性 (22) §4.4 算符的共同本征函数 (24) (1) 算符“涨落”之间的关系 (24) (2) 算符的共同本征函数组 (27) (3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28) (4) 力学量的完全集 (34) §4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36 (1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36) (2) Vivial Theorem维里定理 (37) (3) 能量—时间测不准关系 (38) (4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)
第四章 量子力学中的力学量 §4.1表示力学量算符的性质 (1) 一般运算规则 一个力学量如以算符O ?表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ??=ψ。 它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ???→?ψ 例： /p ?ia x e O ?-=，于是 )x (e )x (O ?dx d a ψ=ψ- ∑∞ =ψ-=0n n n n )x (dx d !n )a ( )a x (-ψ= )x (?= 即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即 ψ=ψO ?c )c (O ? 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ?c O ?c )c c (O ? 例如1： ψ=?ψ?H ? t i 若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-044 课程名称：量子力学 开课学期：春、秋季 学分： 3 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子 4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。 5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用 教学方式：课堂讲授 教材与参考书： 曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999. 学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％ 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-054 课程名称：量子力学I 开课学期：春、秋季 学分： 4 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的： 使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、
北大物理专业考研经验分享
这是一篇“经验文”，各位父老乡亲兄弟姐妹老少爷们弯直型宅看一看权当参考，看完后有啥问题可以给俺发邮件交流。悲催的是，对我来说，系里排名不靠前，也没有保送名额，桑心，因此想上北大或清华只能硬碰硬地考研了最后选择考北京大学物理学院。毕业后我在北京租了个房子复习半年，前段时间物理学院网上贴出最终结果，也算是尘埃落定（虽然面试结束后就当场知道结果了）。可能学弟学妹们在大学里有时候觉得自己有些颓，找不着方向，这些我也经历过，对大多数人来说四年就是这样起起伏伏，正常的事儿。退一万步讲，实在茫然颓废的时候咱就看看这段温暖人心的话：“发生这种事，大家都不想的。感情的事呢，是不能强求的。所谓吉人自有天相，做人呢，最要紧的就是开心。饿不饿？我给你煮碗面”。话说回来，最要紧的是咱要知道机会来时盯紧不放，紧追不舍，直至达成目标。考研就是这样的一个机会。 进入正题，咱先按考试顺序来讲一讲吧。 一、政治 工具书：政治考研大纲+肖秀荣1000题+肖秀荣最后4套卷。 时间：11月中旬—初试。 我是按着大纲，顺着1000题对照着做，看一章做一章题，在大纲上做一些标记帮助记忆，最后做完1000题就不用再回看了（也没时间，没必要），直接看大纲，对里面的知识点越熟悉越好，这些八股知识不必倒背如流，混个眼熟就好。最后4套卷是帮助背诵5道大题的，要到12月20号左右才发售，在最后半个月时间背一背。我没有用风中劲草，是因为每天俺看大纲做选择题已经吐
血花去2个多小时，实在没时间再看，耗不起。不过风中劲草最后的时事政治归纳的要点（PDF打印出来）很不错，整理得有条理又全面，值得多看看。我九月份和十一月份各有一段时间在手机上用一个App来做题，顺便说一下，这个App是12元/月付费的，这是我当时每天一套做完的动力之一，发现效果还行，但是由于我定力不强，忍不住做完一套选择题就上微博啥的奖励自个儿一些时间放松，还有就是做完错题回看不方便，又不能导出打印，因此最后弃用。其实最后基本就不怎么带手机了，晚上自习后回到宿舍再看短信、电话回复，办法虽笨，效果不错。 二、英语 英语方面我觉得自己的基础还行，毕竟大学几年追剧看电影一直保持着听英语看英文的习惯。（虽然考研不考听力，但是如果想锻炼一下英语听力顺便晚上放松一下的话，找一些美剧或电影自己看还是不错的。当然，生活大爆炸之类的堆砌词藻耍嘴皮的就算了，推荐一些生活剧、喜剧或剧情类的，如绝望主妇、好汉两个半、绝命毒师）。但是考试方面还是得用八股取士小题狂做的死方法，我开始的时候大约是一周一套卷，真题或者模拟题，花一个下午完整做完同时积累一些生词与句型，没事翻一翻看一看整理的本子。最后一个月强度提一点起来，一周2套3套模拟题，培养一些做题手感，对最后考试做题速度有帮助。关于张剑的模拟题，我感到阅读理解题目问得有些别扭，因此弃之不用。许多人推荐张剑的黄皮书真题集，我觉得没有必要，那解释得过于详细，而且是真题和答案分开装订不方便，应该每年的真题答案一起装订成一本，方便对答案又方便携带，
《上帝掷骰子吗——量子力学史话》读书笔记
《上帝掷骰子吗——量子力学史话》 读书笔记 中学时学的是理科，还记得当时的自己对数学、物理尤为感兴趣，而对化学、生物就兴味索然了。也看过几本科普著作，《数学的语言》、《什么是数学》、《从一到无穷大》，还有加来道雄，阿西莫夫，张景中的系列等等，尤其是《什么是数学》一书，当时是高二快结束的时候，仿佛入了迷一般，从集合论到极限与微分，即便没有任何高数的基础，也看得如痴如醉，连章末习题都做了一遍，虽然拓扑那一章实在是看不懂。谁曾想，这样一个人，居然恍惚中来了财大，学习金融，既非自愿，也非不愿。 大学两年，似乎再没有接触科普著作了，直到近日看了曹天元的《上帝掷骰子吗——量子力学史话》。其内容于我而言，并没有太多的惊喜，毕竟作为科学史，内容上早有前人写过：像第十章《不等式》之前的内容我都看过两三个版本了，即便是最后三章的内容也在加来道雄的书中看过。就是在这样一个许多科普名家都涉猎过的领域中，居然能够开拓一片自留地来。在我眼中，这本书绝对称得上一部优秀的科普著作（尤其是在国内来讲）。之前看到作者简介是个八零后的时候着实有一丝惊讶，我还以为是哪位五六十岁的中年教授写的呢。接下来，言归正传，谈谈阅读体会吧。 首先，从科学性上讲，对我这种现代物理的门外汉而言，就算书中有科学错误，只要不是低级的逻辑错误，我也发现不了呀。但从作
者标注的引文，对一些理论的解释澄清看，是比较严谨的。这部分就只有略过了。 其次，作为科普这种通俗读物，文学性是非常，甚至是最重要的。而曹天元的文笔流畅，语言诙谐幽默，阅读感十足。一百多年的量子力学成长史：从法拉第的电磁实验，到多历史，多世界诠释的提出，数以百计的数学家，物理学家前仆后继，描绘出了一幅波澜壮阔的量子力学画卷。让人心襟荡漾，恨不能立即投入到理论物理的大海中去，寻觅璀璨的量子力学珍珠。同时，作者文风犀利，将物理学界的学术之争描写的如同武侠小说中的江湖帮派纷争一般，大大增加了该书的可读性，如“从黄金年代走来的老人，在革命浪潮中成长起来的反叛青年，经典体系的庄严守护者，新时代的冒险家，这次终于都要作一个最终了断。世纪大辩论的序幕即将拉开，像一场熊熊的大火燃烧不已，而量子论也将在这大火中接受最严苛的洗礼，煅烧出更加璀璨的光芒来。”（摘自第八章-《论战》）这个片段仿佛《倚天屠龙记》中群雄围剿光明顶一般，令人紧张不已。而玻尔与爱因斯坦的争论更是写的如同两位绝世高手过招，简直酣畅淋漓！单从文学性上讲，我觉得曹天元可以和伽莫夫媲美。 除了文学性，科学史的史学性也尤为重要。而本书除了人物对话之外（感觉像是作者自行脑补的），对史实的阐述在我看来是比较严谨的。一百多年的量子力学发家史写的清清楚楚，众多物理学者如走马灯般来来往往。而作者的历史叙事风格与《明朝那些事儿》颇有异曲同工之妙。
2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈pdf
2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈 1、量子力学：我自己选择的是Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》，并买了本课后习题解答，自己边看边练，算是自学一遍。（系里讲《量子力学》的是人见人爱花见花开的杨主任，可惜的是当时没怎么上他的课，结果应验那句“出来混迟早要还的”，最后还得要靠自个儿花时间自学一遍）。这本教材质量不错，曾被亲切称为“猫书”（因为原版封面上有那只著名的“薛定谔的猫”）。然后真正针对考试习题而练习用的是有口皆碑、闻名九州的《量子力学习题与解答》（陈鄂生著），这本我算是一题题都做了下来，并且跟着最后的许多大学的历年真题又回顾了一遍，其中的题目类型全，解答质量高，对于提升应试技巧很有裨益，属于“大宝啊天天见”的一类辅导书。钱伯初的教材对于基本概念的理解很有帮助，课后习题质量也很高，遗憾的是貌似没有配套的习题解答，只有书后附的简略答案。中间一段时间也在做中科大出版社的《量子力学学习指导》，这本书是配套的曾谨言的教材课后习题而增编的，书前附有知识要点，书后有几套练习题，总的说来质量不错，值得拥有~当时开始做题时碰到啥合流超几何方程贝塞尔函数真是头疼，又记不住这些公式，不过从最后出题风格来看一般不会考这类方程难解的题。今年考试就没遇到，而且竟然试卷最后还友情提供了许多公式，如一维谐振子的波函数（虽然有些没有归一化）和一些积分公式，令人感动它提供了这些公式其实都是有用的，甚至还有一些提示作用，比如倒数第二题是散射问题，第二问就要用到其中一个含有正弦函数的积分公式，不用的话算不出来多可惜。需要注意的是，量子力学复习一定要全面，今年考试第二题就考了玻尔索末非量子化条件，应该是属于中文一些教材的绪论或首章介绍经典物理向量子力学过渡那段历史历程的那部分，当时拿到试卷时扫了一眼不禁暗暗冒了冷汗，毕竟复习时有意无意地将首章忽略了，记忆有些模糊。不过好在最终还是写了出来。 2、固体物理：黄昆的《固体物理学》都快被翻裂了。这本书的质量之优秀和里面的低级印刷错误之多是其两大特色。总的来说，这本书值得拥有，值得一看再看，对照着物理学院网站上的“固体物理学基本要求”将知识点一个个过威力倍增。物理系上这门课的是和蔼可亲的翟奶奶，其实翟奶奶讲课很有条理、循序渐进的，公式模型她都自个儿一个个在黑板上推导，十分难得，感动常在（当时固体物理还有期中考试，不过是开卷的，期末考试闭卷，难度就降低了些）回到这本固体物理教材，这本书课后习题的数量很少，但是质量很好，许多课外习题的解题思路都是从中衍生的。配套的《固体物理学全程导学及习题全解》里有详细的解答，还有知识点概要和补充题，对于理解知识点很有帮助，不过令人头疼的是里面也有许多印刷错误，需要火眼金睛辨别。基泰尔的《固体物理导论》也很不错，有时间可以配合看看，顺便做做课后习题。有一本陈长乐主编的《固体物理学习题解答》非常好（虽然它是配套的另外一套教材），对于巩固自己知识加深对习题理解很有好处。固体物理的题型
普通化学课件 北大 卞江教授 第一章
北京大学化学学院 2006级
“这里要根绝一切犹豫, “Qui si convien lasciare ogni sospetto, Ogni这里任何怯懦都无济于事。” viltà convien che qui sia morta.”
普通化学
Dante (1265-1321) 但丁 Divine 《神曲》地狱篇，第三歌 Comedy, Inferno, Canto III
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
绪 论
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1. 什么是化学？
7. 如何在大学获得成功？ 8. 如何学好普通化学？ 9. 科学方法论 10. 科学计算：有效数字 11. 关于我们的课程
什么是化学？ 为什么要学习化学？ 化学简史：从黑色魔 术到科学 化学王国的版图 化学的理论支柱 化学：面向未来
基本定义： “化学是研究物质的性质、组成、结构和化学变化及 其能量变化的规律的科学” 简单定义： “化学是一门关于变化的科学。”
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
2. 为什么要学习化学？（1）
为什么要学习化学？（2）
化学是我们认识自然的重要途径 化学是一项智力挑战 化学与人类社会的发展息息相关 化学是生动的和激动人心的
化学：一门中心科学
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian
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北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
量子力学辅导材料
(一) 单项选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0 . B.1.9?1012 -A 0 . C.1.17?10 12 -A 0. D. 2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B = 3 2 (k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ） A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B. 1.25?1018-J. C. 0.25?1016-J. D. 1.25?1016-J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc . B. 22μc . C. 22 2μc . D. 2 2μc . https://www.360docs.net/doc/7c19247693.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a = 描写，其归一化常数C 为 A. 1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔 记 一、考研真题与解题的思路 43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。[浙江大学2014研] 【解题的思路】 对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。 【解答】 由玻恩近似可得微分散射截面为 【知识储备】 玻恩近似法 ①适用条件 （高能散射） ②微分散射截面
其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k → 分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。 【拓展发散】 对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。 44设算符A 和B 不对易， ，但A 和B 都与C 对易，即 ， ，试证明： （1），n 为正整数； （2） [厦门大学2012研] 【解题的思路】 根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。 【解答】 （1）因为 所以
（2） 【知识储备】 ①e指数函数的展开式 ②对易式中满足的基本恒等式 [A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C] [A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C [AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B [A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。 （1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即
求解粒子的能量本征值和本征函数。 （2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？ [南京大学2002研] 【解题的思路】 分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。 【解答】 （1）当时，；当时，粒子的转动惯量为， 对应的哈密顿量为。 由定态薛定谔方程可得 即 令 求解得 由波函数的连续性可得，即，所以
周世勋《量子力学教程》(第2版)-量子力学若干进展笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第8章量子力学若干进展 8.1复习笔记 一、朗道能级 1．能级推导 电子在均匀外磁场B（沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程： ψψψE p p y B e p m H z y x =????????++???? ??-=22221 鉴于力学量(,,)x z H p p 互相对易，得相应本征态为： )(),,(/)(y e z y x z p x p i z x χψ +=其中，()y χ满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在0y ）： )()2()()()(2)(22202222y m p E y y y mc eB m y dy d m z χχχ-=-+- 其中，0||x cp y e B =。由此可得出朗道能级：2,1()22 z z p n c p E n m ω=++ 。2．结果讨论 （1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。 从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在垂直磁场方向绕z 轴旋转。（2）磁场对能量贡献1||(2z e n B B mc μ+=- ，0z μ<称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。
（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场?中含元磁通量子（0||hc e ?= ）数目。二、阿哈罗诺夫-玻姆效应 在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B，势ψ和A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。但在量子力学中，势ψ和A 具有可观测意义。 图8-1 1．实验及其现象 如图8-1，从电子枪S 出射的电子束流经双缝和两条路径21,P P 到达屏上，在两条路径中放置一个很长的电流螺线管，垂直纸面，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。 2．现象讨论 （1）因螺线管的外部并不存在磁场，所以经典电动力学中，磁场的物理效应不能完全用B 来进行描述。 （2）当螺线管内有磁通?时，电子经过的外部空间B=0，但0≠A 时，因为对包围螺 线管的任一闭合回路路径积分有?=?φl d A ，矢势A 可以对电子发生相互作用。因此，A-B 效应表明矢势A 具有可测量的物理效应。它可以影响电子束的相位，从而使干涉条纹发生
北京大学群论第六章-群论与量子力学
第六章 群论与量子力学 §6.1 哈密顿算符群和相关定理 设()r H ρ ?为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符， ()()r g f r f P g ρ ρ1-=，()r f ρ为任意函数，有： 故()()1 ??-=g g P r g H P r H ρρ（由()r f ρ 为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρ ρ='， ()()()r H r H r g H ρρ??'??==，则： ()()1??-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρ??= 即当哈密顿算符()r H ρ ?在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r H ρ ?与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符H ?不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r H ρ?的群，或薛定谔方程的群：()(){} r H r g H g G H ρρ??== 存在逆元：H G g ∈?，有()()r H r g H ρ ρ??= 令r g r ρρ='，则'1 r g r ρ ρ -=，代入得： ()'?1r gg H ρ-，即：()()'?'?1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1 封 闭 性 ： H G g g ∈?',,有： )()'()'()()()'(?11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====---- 结合律和单位元显然存在。 【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
北京大学量子力学期末试题12页
量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子( ) 克24 10 671-?=μ.n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克24 10 646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若( ) ,Be e A kx kx -+=?求其几率流密度，你从结果中能得到什么样 的结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ=/ 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求：?) t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用
《费曼讲物理入门》个人笔记
《费曼讲物理:入门》个人笔记 1918-1988.2.15 《费曼讲物理:入门》是从著名的费曼《物理学讲义》节选的六节物理课。内容包括“运动着的原子”、“基础物理学”、“物理学与其他学科的关系”、“能量守恒”、“万有引力理论”、“量子行为”六部分。 费曼：物理学与其他学科的关系
?“理解某种事情”指的是？ 组成这个“世界”的运动物体的复杂排列似乎有点像是天神们所下的一盘伟大的国际象棋，我们则是这盘棋的观众….当我们观看了足够长的时间，总能看出几条规则来，而弈棋规则就是我们所说的基础物理。 但是，即使我们知道了每条规则，仍然可能不理解为什么下棋时要走这一步，这仅仅是因为情况太复杂了，而我们的智力确实有限的。 除了我们还在知道所有规则以外，我们真正能用已知规则来解释的事情也非常有限，因为几乎所有的情况都是极其复杂的，我们不能领会这盘棋中应用这些规则的走法，更无法预言下一步将要怎样。 所以，如果我们知道了这些规则，就认为“理解”了世界。 ?实验是任何观念的正确性的唯一试金石。 ?如果一件事情不是科学，这并不意味着其中有什么错误的地方，它只是意味着其它不是科学而已。 1. 化学：受到物理学影响最深； ①理论化学最深刻的部分必定会归结到量子力学；
②统计力学； ③有机化学→生物化学→生物学（无机化学：物理化学，量子化学）
2. 生物学：生物过程中有很多物理现象，比如神经放电 3. 天文学 4. 地质学 5. 心理学 如果我们微不足道的有限智力为了某种方便将这个宇宙分为几个部分：物理，化学，生物，地理，天文，心理等，那么记住，大自然并不知道这一切。
2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目、招生目录、专业指导、考研经验
2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目、招生目录、专业指导、考研经验一、北京大学凝聚态物理考研科目、招生人数
二、2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目 1、我考研一直关注北大考研联盟：bdkylm 2、量子力学：曾谨言、周世勋、程檀生，钱伯初、曾谨言习题册 3、固体物理：固体物理学黄昆、韩汝琦高等教育出版社 三、北京大学凝聚态物理考研专业课经验分享 1、量子力学：我自己选择的是Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》，并买了本课后习题解答，自己边看边练，算是自学一遍。（系里讲《量子力学》的是人见人爱花见花开的杨主任，可惜的是当时没怎么上他的课，结果应验那句“出来混迟早要还的”，最后还得要靠自个儿花时间自学一遍）。这本教材质量不错，曾被亲切称为“猫书”（因为原版封面上有那只著名的“薛定谔的猫”）。然后真正针对考试习题而练习用的是有口皆碑、
闻名九州的《量子力学习题与解答》（陈鄂生著），这本我算是一题题都做了下来，并且跟着最后的许多大学的历年真题又回顾了一遍，其中的题目类型全，解答质量高，对于提升应试技巧很有裨益，属于“大宝啊天天见”的一类辅导书。钱伯初的教材对于基本概念的理解很有帮助，课后习题质量也很高，遗憾的是貌似没有配套的习题解答，只有书后附的简略答案。中间一段时间也在做中科大出版社的《量子力学学习指导》，这本书是配套的曾谨言的教材课后习题而增编的，书前附有知识要点，书后有几套练习题，总的说来质量不错，值得拥有~当时开始做题时碰到啥合流超几何方程贝塞尔函数真是头疼，又记不住这些公式，不过从最后出题风格来看一般不会考这类方程难解的题。今年考试就没遇到，而且竟然试卷最后还友情提供了许多公式，如一维谐振子的波函数（虽然有些没有归一化）和一些积分公式，令人感动它提供了这些公式其实都是有用的，甚至还有一些提示作用，比如倒数第二题是散射问题，第二问就要用到其中一个含有正弦函数的积分公式，不用的话算不出来多可惜。需要注意的是，量子力学复习一定要全面，今年考试第二题就考了玻尔索末非量子化条件，应该是属于中文一些教材的绪论或首章介绍经典物理向量子力学过渡那段历史历程的那部分，当时拿到试卷时扫了一眼不禁暗暗冒了冷汗，毕竟复习时有意无意地将首章忽略了，记忆有些模糊。不过好在最终还是写了出来。 2、固体物理：黄昆的《固体物理学》都快被翻裂了。这本书的质量之优秀和里面的低级印刷错误之多是其两大特色。总的来说，这本书值得拥有，值得一看再看，对照着物理学院网站上的“固体物理学基本要求”将知识点一个个过威力倍增。物理系上这门课的是和蔼可亲的翟奶奶，其实翟奶奶讲课很有条理、循序渐进的，公式模型她都自个儿一个个在黑板上推导，十分难得，感动常在（当时固体物理还有期中考试，不过是开卷的，期末考试闭卷，难度就降低了些）回到这本固体物理教材，这本书课后习题的数量很少，但是质量很好，许多课外习题的解题思路都是从中衍生的。配套的《固体物理学全程导学及习题全解》里有详
北京大学量子力学复习提纲
北京大学量子力学复习提纲 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω== (1) h p n k λ == (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 12.25 h A λ=≈ (3) 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度()2 ,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2 w * =ψψ=ψ代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态. 3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程 ()(),?,r t i H r t t ?ψ=ψ? (4) 定态薛定谔方程 ()()?H r E r ψ=ψ (5) 其中 ()2 2?2H U r μ =-?+ (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, 1d τ* ∞ ψψ=? (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿. 第三章 量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 ?F ψλψ= (10)
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. ?F dx ψφ* =? ()?F dx ψφ* ? (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性: 厄密算符?F 的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数: ()()()n n n x c x c x d λλψφφλ = +∑? (12) 展开系数: ()()n n c x x dx φ ψ*=?, (13) ()()c x x dx λλφψ* =?. (14) 2 n c 是在()x ψ 态中测量力学量F 得到n λ的几率, 2 c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ 到d λλ+范围内的几率. 4. 2?L 和?Z L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22?1L l l ψψ=+, ?z L m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.
量子力学
Chapter 1 1.Find the de Broglie wavelength for each of the following cases: (a)a 70kg man traveling at 60 km/h; Solution: λ===0.568m; (b)a 1kg stone traveling at 10 m/s; Solution: λ==m=6.63m; (c)a g particle of dust moving at 1 m/s; Solution: λ==m=6.63m; (d)an electron with 3 eV energy; Solution: ===m=0.709m (e)a helium with kinetic energy of E=KT(K is the Boltzmann constant) at T=1.0K. Solution: ===m=m=
1.265m; 2.A pare of positron and electron can be produced by two photons under certain conditions .If the two photons have the same energy ,please find out the maximum wavelength of the photons in order to produce a pare of positron and electron? Solution: When both positron and electron are stationary ,the wavelength of photons is maximum So 2h2 h h λ==2.43nm =2.43nm 3.A particle with mass m moves in the field V(x).Please verify the probability conservation law of +=0. Here and are probability density and current density ,respectively. Solution:
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =? =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ? ??++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x
北京大学 真题量子力学
北京大学2003——2012学年 量子力学 考研真题 与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程： ?H i t ψψ?=? 一维定态薛定谔方程：()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ψψ??-+= ??? 动量算符： ?p i x ?=? 高斯积分： 2 x e dx α∞ --∞ = ? 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=?∞<>?? 1。[10分]求解能量本征值 n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知 0t =时，该粒子状态为：()) 12,0()()x x x ψψψ= +，求t 时刻该粒子的波函数； 3。[5分]求 t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分]
222 22n n n x a n E ma πψπ???=? ??????=?? 2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--? ?=+?? 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11 ,,2 x t x t ψψ= 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：()()()()22122 5?,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+?====? 平均位置： ()()()12216,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-??== - ??? 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象，哈密顿可写为： ( ) ? 12 H a a ω=+ 。这里 ?a 是湮灭算符， ? ?a 是产生算符： ?i a x p m i a x p m ωω??=+??? ?? ? ?=-???? 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质： ()()?01?a x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 42 0m x m x e ωωψπ-??= ??? ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是 什么？
