6圣维南原理解析
6圣维南原理解析
圣维南 (Saint-Venant) 原理是应用于弹性体力学的一种物理原理，它描述了在应力场中，当载荷施加在物体表面时，这个载荷会沿着物体的体积方向向内传播，引起物体内部的变形和应力分布。圣维南原理的基本思想是假设物体是连续、均匀且各向同性的，其应变和应力满足弹性力学方程。
圣维南原理可用数学方程表示，假设载荷作用在物体表面的小区域，而物体内部每个小区域都是向外均匀受力的平衡状态。根据这个原理，我们可以推导出弹性体的位移、应变和应力满足的偏微分方程，称为圣维南方程。该方程描述了物体内部的变形和应力分布，并能通过求解该方程来获得物体的解析解。
圣维南原理的应用范围广泛，它可以用于解析地基沉降、桥梁和建筑物的变形、材料的弹性行为等问题。具体应用有：
1.地基工程：圣维南原理可用于分析地下水或地震等外部载荷引起的地基沉降。通过求解圣维南方程，可以预测地基变形，并为工程设计提供依据。
2.结构工程：圣维南原理可用于分析桥梁、建筑物等结构物在受外部荷载作用下的变形情况。通过求解圣维南方程，可以评估结构物的强度和刚度，并进行结构优化设计。
3.材料工程：圣维南原理可用于研究材料的弹性行为。通过求解圣维南方程，可以分析材料的应力分布和应变变化，评估材料的机械性能，并为材料疲劳寿命预测提供依据。
需要注意的是，圣维南原理是在弹性条件下成立的，即物体在加载后能恢复到原来的形状。在实际工程中，弹性体的行为往往与非弹性效应有关，如塑性、粘弹性、破裂等。因此，在实际应用中，圣维南原理通常与其他力学原理相结合，如塑性力学、粘弹性力学等。
为了更好地应用圣维南原理，我们还需要关注实验测试和数值模拟等方法。实验测试可以用于验证圣维南原理的适用性，并提供实际数据用于验证数值模拟结果。数值模拟可以通过有限元法等数值方法求解圣维南方程，从而得到更复杂的物体变形和应力分布情况。
总之，圣维南原理是弹性体力学领域的基本原理之一，广泛应用于地基工程、结构工程和材料工程等领域。它描述了物体在受载荷作用下的变形和应力分布，并为工程设计和材料研究提供了重要依据。
弹性力学重点复习题及其答案答辩
弹性力学重点复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
弹性力学简明教程(第四版)_习题解答
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
圣维南原理的概念和应用
圣维南原理的概念和应用 圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的基本原理 之一，由法国工程师、数学家阿道夫·维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）于1855年首次提出。该原理也被称为“局部效 应原理”或“远场近似原理”。 圣维南原理的概念是，当应力施加在一个足够大的物体上时，物体内 部的应变和位移仅在施加应力的局部区域发生显著变化，而在远离施加应 力的区域，应变和位移几乎不变。换句话说，这个原理认为，对于一个较 大的物体，只有局部区域受到应力的影响，而在其他地方，物体的响应可 以用远场近似来描述。 1.结构分析：在结构力学中，可以利用圣维南原理来简化复杂的结构 系统的分析。例如，当一个结构受到局部载荷时，可以通过该原理近似地 计算结构的响应，而无需考虑整个结构的细节。这在工程实践中非常有用，因为它可以大大简化结构的分析过程。 2.弯曲问题：弯曲是圣维南原理最经常应用的领域之一、该原理可以 用来求解梁的弯曲问题，即当在梁的一端施加弯曲力时，可以通过近似地 构建一个等效的约束系统，来计算受力部分的位移和应变。这种方法在结 构工程中非常常用，因为它可以准确地预测梁的变形和应力分布。 3.施加边界条件：在求解弹性力学问题时，边界条件是一个非常重要 的因素。圣维南原理可以帮助我们确定适当的边界条件，以便正确地描述 系统的行为。例如，当在一个弹性平板上施加一个外力时，通过将维南近 似应用于平板的等效系统中，我们可以确定一个合适的边界条件来求解平 板的位移和应力分布。
4.地震工程：地震是土木工程中的一个重要考虑因素。圣维南原理的 应用可以帮助工程师们分析建筑物在地震加载下的响应。通过近似建筑的 响应为由局部载荷引起的问题，可以更好地理解建筑结构在地震中的行为，并优化其设计。 总结起来，圣维南原理是弹性力学中一项重要的概念，它通过近似处 理复杂的弹性力学问题，使得工程师们能够更好地理解和预测结构的响应。它的应用涉及结构分析、弯曲问题、边界条件确定和地震工程等多个领域，在工程实践中具有广泛的应用价值。尽管圣维南原理是基于近似处理的， 但在合理的范围内，它仍然可以提供有效的工程设计和问题求解方法。
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理并说明它的用途 圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。 具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。 圣维南原理的主要用途如下： 1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。 2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。 4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。 总而言之，圣维南原理在结构力学领域具有重要的地位和广泛的应用。它通过简化和抽象结构的受力行为，提供了可靠的分析和设计工具，使工程师能够更好地理解和控制结构的力学性能。在结构仿真、设计优化和工程应用中，圣维南原理可以节省时间和成本，并提高结构的可靠性和效果。
6圣维南原理解析
6圣维南原理解析 圣维南 (Saint-Venant) 原理是应用于弹性体力学的一种物理原理，它描述了在应力场中，当载荷施加在物体表面时，这个载荷会沿着物体的体积方向向内传播，引起物体内部的变形和应力分布。圣维南原理的基本思想是假设物体是连续、均匀且各向同性的，其应变和应力满足弹性力学方程。 圣维南原理可用数学方程表示，假设载荷作用在物体表面的小区域，而物体内部每个小区域都是向外均匀受力的平衡状态。根据这个原理，我们可以推导出弹性体的位移、应变和应力满足的偏微分方程，称为圣维南方程。该方程描述了物体内部的变形和应力分布，并能通过求解该方程来获得物体的解析解。 圣维南原理的应用范围广泛，它可以用于解析地基沉降、桥梁和建筑物的变形、材料的弹性行为等问题。具体应用有： 1.地基工程：圣维南原理可用于分析地下水或地震等外部载荷引起的地基沉降。通过求解圣维南方程，可以预测地基变形，并为工程设计提供依据。 2.结构工程：圣维南原理可用于分析桥梁、建筑物等结构物在受外部荷载作用下的变形情况。通过求解圣维南方程，可以评估结构物的强度和刚度，并进行结构优化设计。 3.材料工程：圣维南原理可用于研究材料的弹性行为。通过求解圣维南方程，可以分析材料的应力分布和应变变化，评估材料的机械性能，并为材料疲劳寿命预测提供依据。
需要注意的是，圣维南原理是在弹性条件下成立的，即物体在加载后能恢复到原来的形状。在实际工程中，弹性体的行为往往与非弹性效应有关，如塑性、粘弹性、破裂等。因此，在实际应用中，圣维南原理通常与其他力学原理相结合，如塑性力学、粘弹性力学等。 为了更好地应用圣维南原理，我们还需要关注实验测试和数值模拟等方法。实验测试可以用于验证圣维南原理的适用性，并提供实际数据用于验证数值模拟结果。数值模拟可以通过有限元法等数值方法求解圣维南方程，从而得到更复杂的物体变形和应力分布情况。 总之，圣维南原理是弹性体力学领域的基本原理之一，广泛应用于地基工程、结构工程和材料工程等领域。它描述了物体在受载荷作用下的变形和应力分布，并为工程设计和材料研究提供了重要依据。
圣维南原理的理解及应用
圣维南原理的理解及应用 什么是圣维南原理？ 圣维南原理（St. Venant’s Principle）是强度学说中的一个基本原理，它描述了在一个连续介质中施加力或载荷时，力或载荷在介质内的传递方式。该原理由法国工程师圣维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）在19世纪提出，被广泛应用于材料力学、结构工程、土力学以及其他相关领域。 圣维南原理的基本概念 圣维南原理认为，在一个连续介质中施加的力或载荷作用在某一点上时，它会通过介质内的应力场以波的形式传递，直至作用于介质的其他部分。这种波传递的方式符合弹性波的特征，可以用弹性理论进行描述。 根据圣维南原理，当介质的尺寸足够大，且外力作用点与观察点足够远时，介质的应力场在其它部位的变化可以忽略不计。这意味着在计算应力和变形时，我们可以将外力仅作用于感兴趣的部位，而不必考虑整个结构的响应。 圣维南原理的应用 •结构分析 圣维南原理在结构力学的分析中具有广泛的应用。当我们需要对一个杆件、梁或框架进行受力分析时，可以使用圣维南原理简化结构的计算。根据原理，我们只需关注关键的力作用点和观察点，而无需考虑结构的整体响应。 这大大简化了结构力学的计算步骤。 圣维南原理的另一个重要应用是在结构的变形分析中。我们可以使用原理来计算结构在外力作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。 •土力学分析 圣维南原理在土力学中的应用同样重要。在土体力学中，我们经常需要分析土体受力、稳定性和沉降等问题。通过应用圣维南原理，我们可以简化土体力学的计算，并准确估计土体内力的分布情况。这对于土体的设计和工程施工非常重要。 圣维南原理在土力学中的另一个重要应用是地基工程中的基础设计。 通过使用原理，我们可以分析地基受力情况，并设计合适的基础结构，以确保地基的稳定性和承载力。
圣维南原理的基本概念
圣维南原理的基本概念 圣维南原理（St. Venant's principle），也被称为维南原理或惯性 原理，是弹性力学中一个基本的概念。圣维南原理描述了在一个受力体系中，在应力场已经达到平衡状态的情况下，外界施加的一个局部载荷的效 果将在有限的距离内逐渐减弱。这个原理是由法国工程师阿多尔夫・圣维 南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）于1855年首次提出。 1.定义：圣维南原理描述了在充分远离加载区域时，结构体系的不同 部分对于局部载荷的响应是相同的。也就是说，当一个力作用于一个结构 体系上时，它会在整个结构中以波动的方式传播，并且在传播过程中逐渐 减弱。 2.局部载荷：圣维南原理适用于局部载荷，即作用点处的载荷集中在 一个较小的区域。这个载荷可以是一个力、一个力矩或者其他一些形式的 载荷。 3.有限距离：圣维南原理指出，这种载荷的响应会在有限的距离内传播。这个有限的距离取决于结构体系的特性，如材料的刚度、几何形状等。 4.平衡状态：圣维南原理的适用条件是结构体系的应力场已经达到平 衡状态。也就是说，体系中各个部分的应力分布已经稳定，没有出现明显 的不均衡情况。 圣维南原理的应用可以在结构力学领域中发现。当一个结构受到局部 载荷时，通过圣维南原理可以预测载荷对结构体系的整体影响。根据原理，从作用点处开始，载荷的影响将逐渐减小，并在一些距离内消失。这个距 离通常被称为圣维南剪切段（St. Venant shear region）或圣维南区域。 在应用圣维南原理时，需要注意以下几点：
1.非线性效应：当加载超过结构材料的弹性极限时，将出现非线性效应，需要使用更复杂的模型来描述。 2.材料异质性：结构体系中的材料异质性会对圣维南区域的大小和形 状产生影响。异质性越高，圣维南区域的长度越大。 3.结构几何形状：结构的几何形状也会影响圣维南区域的大小和形状。通常情况下，较长的结构具有较大的圣维南区域。 总之，圣维南原理是弹性力学中的一个重要概念，描述了结构体系中 的局部载荷在有限距离内逐渐减弱的现象。它对于分析和设计结构的响应 和安全性具有重要意义，应用广泛且具有实用价值。
弹性力学
22211 sin sin 22411cos sin 2241sin cos sin 2d d d ???????????? =-=+=???⒈ 何谓理想弹性体？微小位移和形变的假定在推导弹性力学基本方程时起什么作用？ ⒉ 应力分量除了满足平衡微分方程之外，还需满足什么才是正确的解答？ ⒊ 如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个次要边界，试问在主要边界、次要边界上各应满足什么类型的应力边界条件？各有几个条件？ 二、取满足相容方程的应力函数Φ=Axy 2，其中A >0为常数，试求出应力分量(不 计体力)，并画出该应力函数在图示弹性体(厚度为1)边界上的面力分布，在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。（10分） 用应力函数Φ=Axy +Bxy 3+Cy 3+Dy 2求其应力分量（不计体力），并确定常数A 、B 、C 、D 。（20分） 四、半平面体在边界上的O 点作用有水平方向集中力F ， 如图所示。试用应力函数(cos sin )A B Φ=+ρ???求其应力分量，并确定常数A 、B 。（20分） 提示： 《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2 ?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转 )h
轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）???=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。 题二（3）图 设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ?。由q E )1(1με-=得， )1(2 22 2 με-+=+=?E b a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为S ?，由功的互等定理有：
基于ABAQUS的等效荷载理论及圣维南原理的验证
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/7c19329976.html, 基于ABAQUS的等效荷载理论及圣维南原理的验证 作者：许诤 来源：《科技信息·下旬刊》2017年第03期 摘要：本文针对圣维南原理和等效荷载理论的验证以及圣维南原理的影响范围问题，通过对圣维南原理适用的模型（LH的梁）分别加载两个方向上的均布荷载，然后经过理论计算得出相的等效集中荷载，再建立与理论尺寸相同的有限元模型进行加载模拟，对相同的模型加载均布荷载及其等效集中荷载，得出不同工况下模型的挠度曲线。通过对比模型在均布荷载和等效集中荷载作用下的变形特征来验证荷载等效的科学性；通过对比在普通荷载和等效荷载作用下的应力分布特征来验证圣维南原理并探究圣维南原理的影响范围。研究结果表明：集中荷载与等效荷载二者的形变特征在一定范围内有所差异，超过15% L后形变曲线完全一致，而应 力分布在距截面一定范围之内有较大的差异，超过20% L后基本保持一致。 关键词：等效荷载；圣维南原理；应力集中 引言 圣维南原理及等效荷载理论是力学基础中最为人熟知的两大经典理论，等效荷载理论一直是结构研究中的一项重要的理论工具，在大多数力学研究里得了到广泛应用。而圣维南原理作为等效荷载理论的使用原则，可以为简化局部边界上的应力条件提供很大的方便。然而对于实际情况中圣维南原理及等效荷载理论的适用条件及影响范围却没有真正得到验证。本文通过有限元建模来模拟实际工况中对圣维南原理和等效荷载理论的范围进行验证，更有助于更加直观地理解和应用这两个这个理论。 1.等效荷载及圣维南原理 圣维南原理主要针对长度远大于截面尺寸的梁（柱），对于长为L，宽为B，高为H的梁（LH），通过等效荷载理论，那么作用在其截面上的均布力就可以等效为： 式中：Fy为均布力的分布函数，A代表截面面积， FN代表等效力。 圣维南原理指出[1]：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效 的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，即进行应力重分布，但是远处所受的影响可以不计。
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析 利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。 第一节应力、应变及其相互关系 一、正应力、剪应力 观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为： （3-1） 亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。 (3-2) 式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。称为正应力，称为切应力。 在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。 二、正应变、切应变
杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。相对变形 (3-3) 表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为 (3-4) 式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。 弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。 =(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5) ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。 三、虎克定律 由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系： σ=Eε(3-6) τ=G(3-7)
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩ ⎨⎧=+++= )(),(),(3 3223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ∆。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟 圣维南原理（Saint-Venant principle）是结构和材料力学领域中的一个重要原理，它可以用来研究材料在受力情况下的响应和变形。该原理是由法国工程师阿杜安·德圣维南于1855年提出的，他的研究对于理解结构和材料的力学性能有着重要的意义。 圣维南原理的核心思想是，在材料受力时，只有处于受力点附近的一个局部区域内才发生显著的变形和应力集中，而远离受力点的其他区域则发生较小的变形。基于这个原理，我们可以将材料的受力行为简化为在一个局部区域内进行研究，并假设其他区域的影响可以忽略不计。通过这种近似，我们可以简化复杂的力学问题，并应用有限元方法进行数值模拟。 有限元方法是一种广泛应用于结构力学和材料力学领域的数值方法，它将结构或材料划分为许多小的有限单元，通过对每个单元进行力学分析来近似整体行为。在进行有限元模拟时，我们需要定义材料的物理性质和边界条件，并选择适当的数值方法求解力学方程。通过对不同单元的力学行为进行迭代计算，最终可以得到整体结构或材料的应力和变形。 针对圣维南原理的有限元模拟，首先需要对受力点附近的局部区域进行离散化划分，选择适当的有限元单元类型，如线性单元或非线性单元。然后，需要定义材料的弹性性质，如杨氏模量和泊松比等，并通过适当的材料本构模型来描述材料的力学行为。接下来，需要给定边界条件，如受力情况或位移边界条件，来模拟材料在受力时的行为。最后，通过数值求解力学方程，并根据需要进行后处理，可以得到模拟结果，如应力分布、位移分布等。
有限元模拟可以用于研究不同类型的材料和结构，如金属、复合材料、混凝土和土壤等。它可以帮助我们理解材料的力学性能、优化结构设计以 及评估结构或材料的安全性能。在实际应用中，有限元模拟已经成为结构 和材料工程领域不可或缺的工具，在航空航天、汽车工程、建筑工程和能 源领域等方面得到广泛应用。 总之，圣维南原理的有限元模拟是研究材料受力行为的重要方法之一，通过将结构或材料划分为小的有限单元，并进行力学分析，可以获得材料 的应力和变形分布。这种数值模拟方法具有广泛的应用前景，并在工程实 践中发挥着重要的作用。
有限元简答题
有限元简答题 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？6 答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，弹性力学的研究对象要广泛得多。2、理想弹性体的五点假设？ 答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、1、任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空间梁问题？为什么答：平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，当研究对象一个方向的尺寸远小于另两个方向，外力和约束仅平行于板面作用而沿Z向不变，且仅有的三个应力分量是x、y的函数时，这样的空间问题就可以转换成平面应力问题；当研究对象一个小位移和小变形的假定。 3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标。当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。 4、梁单元和杆单元的区别？ 答：主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。 5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？
答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。 6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。 7、有限单元法的收敛性准则？答：完备性要求，协调性要求。 完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。 协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。 当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。8、简述圣维南原理在工程实际中的应用？ 答：物体小部分边界上的面力是平衡力系，则近处产生显著应力，远处应力小到忽略不计。 在工程实际中物体所受的外载荷往往比较复杂，一般很难完全满足边界条件。当所关心的并不是载荷作用区域内的局部应力分布时，可以利用圣维南原理加以简化。圣维南原理在钢管混凝土拱桥分析中的应用，能够得到合理的结果，优化了结构性能。圣维南原理在材料力学中也有应用，在工程实际中经常要计算连接件，如铆钉，螺栓，键等，由于构件本身尺寸较小，
圣维南原理在有限元分析中的应用
圣维南原理在有限元分析中的应用 弹性力学中一个说明局部效应的原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理 有限元法基本原理（ Basic Theory of FEM ） 有限元法的基本思想是离散的概念， 它是指假设把弹性连续体分割成数目有 限的单元， 并认为相邻单元之间仅在节点处相连。 根据物体的几何形状特征、 载 荷特征、
边界约束特征等， 选择合适的单元类型。 这样组成有限的单元集合体并 引进等效节点力及节点约束条件， 由于节点数目有限， 就成为具有有限自由度的 有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体 结构的离散化 结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑 结构的离散化分析是依据圣维南原理而在的，没有圣维南原理就没有离散化分析的根据
有限元复习题及答案
1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？ 材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。 2.理想弹性体的五点假设？ 连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。 3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？ 工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。 4.梁单元和杆单元的区别？ 杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。 5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？
平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。 6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 7.有限单元法的收敛性准那么？ 完备性要求，协调性要求。完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。协调性要求：如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，那么试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数，当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。 8.简述圣维南原理在工程实际中的应用？ 圣维南原理是指如果作用在弹性体某一小块面积〔或体积〕上的载荷的合力和合力矩都等于零，那么在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。在工程实际中物体所受的外载荷往往比拟复杂，一般很难完全满足边界条件，当所关心的并不是载荷作用区域内的局
【大学课件】结构力学及有限元分析
《结构力学及有限元分析》 36学时，2学分 高云凯教授 第一章绪论 1．1 引言 越来越多的工程复杂结构： 几何形状、载荷、支承约束，不可能求出它们的解析解，寻求近似的
数值解，满足工程实际需要，计算机技术使之成为现实。 FEM:运用离散概念，把弹性连续体划分为一个由有限个单元组成的集合体，通过单元分析和组合，得到一组联立代数方程组，最后求得数值解。 40年代，离散化概念，计算机不现实 60年，美国R. W. lough飞机三角形单元模型，FEM概念 65年，O. C. Zienkiewics FEM适用于所有能按变分形式进行计算的场问题。 1．2基本方法 50年代开始，杆系结构矩阵分析，把每一个杆件作为一个单元，整个结构就看作是由有限单元连接而成的集合体，分析每个单元的力学特性后，再组集起来就能建立整体结构的力学方程式，然后利用计算机求解。 有限元离散化（网格化分）：假想把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻节点之间仅在节点处相连；根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，单元有各种类型；节点一般都在单元边界上；
节点的位移分量是作为结构的基本未知量；这样组成的有限单元体集合体，并引进等效节点力及节点约束条件，就成为具有有限自由度的有限元计算模型。 在此基础上，对每一单元根据分块近似的思想，假设一个简单函数来近似模拟其位移分量的分布规律，即选择位移模式，在通过虚功等变分原理求得每个单元的平衡方程，就是建立单元结点力和节点位移之间的关系。 最后，把所有单元的这种特性关系，按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组。引入边界约
大工《工程力学》开卷考试期末复习题
工程力学(一)期末复习题 一、填空题 1、 变形体的理想弹性体模型包括四个基本的简化假设,它们分别就是: 假设、 假设、 假设、完全弹性与线弹性假设;在变形体静力学的分析中,除了材料性质的理想化外,对所研究的问题中的变形关系也作了一个基本假设,它就是 假设。 答案:连续性,均匀性,各向同性,小变形 知识点解析:材料力学中对变形体弹性体模型的假设。 2、 图1中分布力的合力的大小为 ,对点A 之矩大小为 。 图1 答案:/2()ql ↓,2/3ql (顺时针) 知识点解析:本题考查分布力大小及合力作用点的计算,三角形分布力合理大小为三角形的面积,合力作用点为形心处。 3、 图2示板状试件的表面,沿纵向与横向粘贴两个应变片1ε与2ε,在力F 作用下,若测得6110120-⨯-=ε,621040-⨯=ε,则该试件材料的泊松比为 ,若该试件材料的剪切模量G=75GPa,则弹性模量E = 。 图2 答案:1/3,200GPa 知识点解析:泊松比的 概念与弹性模量的概念 4、 对于空间力偶系,独立的平衡方程个数为 。 答案:3个 知识点解析:空间力偶系独立平衡方程的个数 5、 解决超静定问题需要采用变形体模型,进行力、变形以及 关系的研究三方面的分析工作。 答案:力与变形 6、 图3中力F 对点O 之矩大小为 ,方向 。
图3 答案:22sin F l b β+,逆时针 知识点解析:力矩的计算方法,本题中,将力F 分解到水平方向与竖直方向,水平方向分力通过o 点,力矩为零,竖直方向分力大小为sin F β,力臂为22l b +,因此力矩大小为22sin F l b β+,方向为逆时针。 7、 一受扭圆棒如图4所示,其m －m 截面上的扭矩等于 ,若该圆棒直径为d,则其扭转时横截面上最大切应力τmax = 。 图4 答案:M -,348M d π 知识点解析:本题考查圆轴扭转时扭矩与切应力的计算方法,首先取隔离体,根据扭矩平衡与右手螺旋法则计算出m －m 截面的扭矩为M -,根据切应力计算公式计算出截面的最大切应力τmax =3 48M d π。 8、 图5示阶梯杆AD 受三个集中力F 作用,设AB 、BC 、CD 段的横截面面积分别为A 、2A 、3A,则三段杆的横截面上轴力 ,正应力 。 图5 答案:不相等,相等 知识点解析:本题考查受拉杆件内力与应力的计算,首先分段取隔离体计算出AB 、BC 、CD 三段杆所受轴力分别为F 、2F 、3F,正应力为轴力除以受力面积,三段杆正应力均为F/A 。