第34讲所缘的六种呈现方式

第34讲所缘的六种呈现方式
第34讲所缘的六种呈现方式

第五期宝峰禅寺止观禅修营

阿毗达摩第三十四讲

所缘的六种呈现方式

玛欣德尊者2009.05.27讲于江西佛学院

下面请各位合掌,我们一起来礼敬佛陀:

Namo tassa bhagavato arahato sammāsambuddhassa! (三遍)

礼敬彼世尊、阿拉汉、正自觉者!(三遍)

各位大德、法师、居士们,晚上好!

昨天我们学习完了心的十四种作用,又讲了五种定律,以及为心路过程准备的与心路过程有关的六个六。今天晚上我们将继续学习心路过程的部分,在讲心路过程的部分之前,先讨论一下所缘的呈现方式。

所缘的呈现方式可以分为六种:它们是极大所缘、大所缘、微细所缘、极微细所缘,这四种所缘的呈现方式是五门心路过程的所缘呈现方式;还有另外两种是清晰所缘、不清晰所缘,这两种所缘的呈现方式是意门心路过程的呈现方式。

我们先简单地说一说这些呈现方式。

因为有心,就必定会有心所对应的所缘。例如:称为眼识的或

眼门心路过程的,就有它所看的所缘,眼门心路过程所看的所缘是颜色。极大所缘、大所缘、微细所缘、极微细所缘,这是相对于五门心路过程所看的颜色、所听的声音、所嗅的气味、所尝的味道以及所触的触所缘。这里讲到的大与微细,并不是指所缘的体积,而是指这些对象对心的撞击力。如果撞击力大,称为大所缘;如果撞击力小,称为小所缘。

即使是体积很大的或者很粗的颜色呈现在眼门,但如果眼净色很弱,例如:一个人的视力很弱或者所缘在眼净色的高峰期已经过了才呈现,又或者光线很暗,这时这种颜色就不能够给眼门心路过程留下很深的印象、很清楚的印象,这称为微细所缘或者极微细所缘。

反过来,如果是一个体积很小的所缘,例如:一个很小的东西,但它正好是在眼净色的高峰期撞击根门,或者一个人的视力很好,又或者光线很强,那么,哪怕是这个东西很细小,他都能够看清楚;或者又与一个人的注意力有关,例如:我们现在在很认真地修行,专注自己的业处,即使有时候外面有很大的风声雨声,我们都不会去留意它,是不是?虽然这些声音不断地撞击到我们的耳朵,但如果我们不去留意它,它对我们的耳根、对我们的意门的撞击也是很小的。

如果我们很用心地去听,远处一些虫鸣的声音,或者远处一些人走过的声音,乃至到很远的地方汽车的声音,我们都可以听得到,为什么呢?因为我们去作意它或者说我们的听力、听觉很好,这个时候它对我们的五门撞击力也算是强的,因此这也是属于大所缘。大所缘和微细所缘,并不是从所缘对我们的大小来分的,而是说它对我们

的五门和意门的撞击力来说的。这些所缘之所以称为大所缘或者称为微细所缘,主要还是与在心路过程里面撞击之后,心路过程生起了多少或者它引起了多少个心路过程心生、灭,与这个有关。我们接着学到心路过程的时候就会了解。

对于意门心路过程也是,当一个意门心路过程,例如:我们记一个东西,记得很清楚,或者当我们记一个东西的时候,印象很模糊。对于印象很清楚的,我们可以称为清晰所缘;如果是比较模糊的,这个可以称为不清晰所缘。也就是说,当一个所缘呈现在意门的时候,它是以很清晰的目标而被意门所识知,这个称为清晰所缘;如果它并不是很清晰,就不会有很明显的呈现方式。对于意门来说,一般清晰的所缘会有两个彼所缘生起;如果不清晰的所缘,一般彼所缘并不会生起。

那到底心路过程是怎么样发生的?我们接着来讨论,在我们讨论的时候,先来了解一下什么叫心路过程?心路过程巴利语叫做v?thi,v?thi直接的意思就是路,但是我们称为心路过程,也就是心的呈现方式或者心运行的轨迹、轨道。我们每天生活在这个的世间、生活在这样的一个世界,每天我们都会接触很多的信息,我们会看、听、尝、嗅、触、想,但是每天每时每刻都发生的这些心或者这些心理现象,到底它们是怎么发生的?它们的运作方式是怎么样的呢?我们平时简单的说到的看,具体它是怎么运行的呢?

为什么说我们看了一件东西,有时候在回想起的时候还能清晰的记起呢?为什么会有所谓的记忆?或者现在当一个人在说到一样

东西或者在想到一样东西之后,会很清楚地对它有个印象呢?为什么一样东西呈现在我们眼前的时候,我们能够说:我们能看到、听到呢?它们的运作方式又是怎么样的呢?其实这些和我们的生命、和这个世间、和我们的内心息息相关,但是我们是不是清楚它们是怎么运作的呢?我们对这种本身属于我们生命很重要的现象、认知行为了解了多少呢?现在,我们就接着来学习一下心路过程,心路过程就是我们的心是如何运行来认知对象、认知所缘的。

讲到心路过程,我们先讲一讲色法和心法的寿命。在“阿毗达摩”里面,一个心生起就灭去,从生到灭这个过程,我们称为一个刹那,刹那是梵文ksana的翻译,如果用巴利语叫做kha?a,这一个刹那我们又可以称为心识刹那,那心识刹那,一个刹那有多久呢?它的时间度有多长呢?我们很难用一种具体的时间段来衡量。如果要说一个心识刹那有多久,我们只能够用这样的比喻:例如:我们眨一下眼睛,或者说一弹指,乃至到一闪电,就这么短暂的时间已经有数十亿个心识刹那生灭过去了,所以心识刹那快不快?

正是因为心识刹那那么快,所以佛陀才会这样说,他说:“诸比库,我不见有任何法比一法生灭得更快,那即是心。”也就是说,心的生灭是很快的,连佛陀的智慧范围,都发现没有任何一种现象的生灭会比心更快的,更无常的。即使心是那么快的生灭,但是我们仍然可以把它分为三个小刹那(生、住、灭三个小刹那)。因为即使一个心再快,还是会有生起的那一极短的瞬间,然后还有灭去那极短暂的瞬间。在一个心识刹那一生到立刻就灭去,这么短的时间,我们仍然

可以把它分为在生的时候,那是一个小刹那;然后在灭的时候一个小刹那;而对于住,由于心识刹那它根本就没有停住的,没有一刻的停住,我们只不过可以用一个比喻:当我们把石头往空中一丢,石头到了最高一点就会掉下来,等它到了最高一点的时候,准备往下掉的那个时候,我们就把它比喻成心的住。也就是说,在生到它转到灭那一个极短时间,也称为住时。所以生、住、灭,就是我们称为的发生、产生;然后存在;立刻坏灭;这个过程我们称为一个心识刹那。而一个心识刹那在发生的过程称为一个小刹那;存在的过程称为一个小刹那;而灭去的时候又称为一个小刹那。

心虽然是很快速地生灭,但是由于心有一个法则,它不断地会生灭、生灭的,只要我们仍然还在生死当中或者还在轮回当中,那么心就一直都会生灭、生灭的。对于我们人来说、普通的人来说,我们不能够以任何方式去终止心的生灭。

如果说要让心流完全的终止,只有三种方式可以让我们的心流终止。

第一种就是修外道定,外道定有一种称为无想定的,这一种外道他们通常是先培养了定力,一般都有色界第四禅那的定力。当他从定中出来之后,怀着极厌恶心的这种倾向去培养无想定,就把他的心流中断。他们这些外道认为说:“因为我有心,才会有痛苦,因为我有心,我才会有轮回。”于是他就倾向于把心念、心想终止,由于他的定力很强,令他的心想终止,这称为无想定。

还有另外一种就是三果圣者和四果圣者,他们如果拥有了八定

的话,他们有能力入灭定(nirodhasamàpatti),或者称为灭尽定,这种定也能够让心流停止。

最后一种是般涅槃(parinibbàna),也就是当一个漏尽的圣者,包括佛陀、包括独觉佛以及圣弟子,当他五蕴离散后,由于烦恼已经断尽,业已经不会再运作了,这个果报身到了最尽,已经完全离散了,离散之后他就进入了涅槃的境界。

涅槃的境界,我们不能够说它是完全没有,如果说没有我们就会陷入断灭见,但是我们也不能说涅槃是有,说有的话我们又会陷入了常见,最好我们不要去讨论涅槃,涅槃是拿来体证的。那个时候,我们不能说涅槃是一种心,如果是心的话,它必定还是生灭的。因为它超越了一切言说,我们不能说它是心,或者它是另外一种形式的存在,假如是这样的话,那么当年佛陀还在世的时候,他会直截了当的说:涅槃是一种心。但是即使连很多的弟子问佛陀说:“如来死后是存在吗?是不存在吗?是既存在又不存在吗?是既非存在又非不存在吗?”佛陀都给予无记(不回答),因为这个超越了一切思维、度量、推理。

只要我们还在正常的情况下,心流都是不断不断地生灭的,这个称为心相续流。心相续流就好像河流一样,不断地流下去。有些愚痴的人,他们认为生命很痛苦,于是他们就通过自杀来了断自己的生命。他们认为通过自杀来了断自己的生命,那么生命就终止了,心也就会停止了,其实不是这么样,而往往自杀的人都会堕落到恶趣,堕落到苦道,因为一个人自杀能够生起善心吗?所以如果认为自杀能够

了结生命,那是由于有了断灭的邪见所以才会令他去自杀。或者有的人说他完全昏迷过去,或者完全熟睡,那其实还是一种有分的状态,它并不是说心流终止,那个时候心流还是不断地生灭。

只要有生命,心就不断地生灭、生灭、生灭,就好像河流一样,所以我们称为心相续流,或者称为名相续流。而对于我们这些执著于有五蕴、有生命的凡夫来说,名法和色法(身体现象和心理现象)一起存在的,这个称为名色相续流。

对于名法来说,生灭是很快的,也就是心是生灭很快的,而对于色法来说,色法的寿命会长一点。一个色法的寿命存在等于十七个心识刹那的寿命。

色法通常是以聚的方式存在,在经典里面有时候称为色身r?pakàya,而名法是以名聚的方式出现,我们称为nàmakàya,有时候在经典里面称为名身。身就是聚合(身体的身,色身、名身)。因为色法都是会以一堆的方式呈现,名法也是以一堆的方式呈现。我们说色法的最小单位称为色聚,色聚的生命从生到灭,这一个过程心识刹那已经生灭了十七次,我们先弄清楚色法、名法(心),它们的寿命关系,也就是说色法的寿命更长,一个色法从生到死,它已经看到心识刹那已经生灭、生灭十七代了,看到它已经转了十七世了。

对于在五门心路过程里面,由于色法能够撞击到有分和撞击到眼门,然后生起一个眼门心路过程。眼门心路过程最多也只能有十四个心识刹那生灭,那它们的关系是怎么样的呢?我们在这里就举极大所缘为例子来讨论一下。这里讲到的极大所缘,是指一个目标出现的

时候,它是在色法的高峰期撞击到有分和撞击到眼门。

我们作为人、作为有情,只要没有心路过程的发生,就是说我们的心是处于一种不活跃的状态,那个时候有分就不断地生灭,不断地生灭。一旦有了一个颜色所缘撞击到有分和撞击到眼门,一旦撞击,一个有分、一个心识刹那已经生灭过去了;当这个心识刹那生灭过去之后,紧接着有分就波动了两下;有分波动了两下之后,有分就断了;从此之后有分流就已经结束了,然后就生起了一个五门转向心,这一个五门转向心的作用是什么?是开始把心流从有分里面拉到所缘,因为对象,例如说颜色,这个颜色是很清晰的,一个物体很清晰地冲击到我们的眼门,但是冲击的时候我们并不会一下子我们的心就看,由于冲击然后有分就波动了两下,之后就有一个五门转向心开始,从这个时候开始,就称为心路过程。之前的这些有分都称为离心路过程,就是说心流是处于不活跃的状态,而从五门转向心开始,心流开始活跃了,它开始执行看的作用了。

当这个五门转向心一生起,就执行把心流拉到所缘去,之后立刻就灭去;灭去之后紧跟着生起的是一个眼识,这个眼识就执行着看对象的作用,但是它的作用只是看,它并不会知道这个是什么?什么形状?这个叫什么?它只是执行看的作用,等这个眼识执行了看的作用之后,立刻就灭去了;灭去之后紧跟着生起的是一个领受心,领受由刚才这个眼识所看到的目标。我们举这个荷花为例子。当他领受了这个颜色之后,就立刻灭去;然后生起了一个推度心,推度心就推度这个颜色所缘,一旦这个推度心执行推度作用之后,它就灭去了;紧

跟着生起的是一个确定心,就确定这个所缘;当这个确定心灭去之后,于是就依次有七个速行心生灭过去。速行心的意思就是快速地跑,什么意思呢?快速地跑向对象以认知它;当速行心灭去之后,由于这一个对象是极大所缘,也就是说这个对象对于心的撞击力很大,于是会有两个彼所缘生起,这两个彼所缘之所以称为彼所缘,是由于它继续取速行的所缘或者之前的这些对象,所以称为彼所缘;当彼所缘灭去之后,所缘也灭去了,我们再看,当这两个彼所缘一灭去,同时这个色法的寿命也宣告终结了。然后心流又落入了有分,于是心流又恢复到不活跃的状态。

一个看的过程就是这么样发生的:从这一个有分开始,所缘开始撞击有分那一刹那,已经一个灭去了;然后有分就波动了两下;这三个还是属于离心路过程。然后一个五门转向,眼识、领受、推度、确定,7个速行和两个彼所缘。那从开始一直到这里一共有多少个心识刹那?一共有十七个心识刹那,这十七个心识刹那减去三个离心路过程,正好是十四个心识刹那,我们称为极大所缘的眼门心路过程,眼门心路过程最多可以有十四个心识生灭就是这样的意思。

对于这一种“看”的过程,在“阿毗达摩”里面,古代的论师就用吃芒果的比喻,来比喻这个心路过程:有个人他蒙着头睡在芒果树下,突然间有一个芒果从树上掉了下来,当这个芒果掉在地上,声音就传到了在芒果树下睡觉的人的耳朵里面。当他被声音吵醒了之后,就睁开眼睛看一看,然后就伸手去拿一拿这个芒果,再捏一捏,再嗅一嗅它,知道这是一个芒果,然后就把它吃了。吃了之后再吞下

去,然后回味一下它的味道,然后又蒙头睡觉了。

在这个故事、比喻里面,那个人睡在芒果树下就好比是有分流,当芒果成熟了掉到地上,它的声音吵到了他的耳朵,传到了他的耳朵,就犹如所缘撞击到根门;他被声音吵醒就好像五门转向心转向于所缘;他睁开眼睛看,就犹如眼识执行看的作用;再伸手去拿芒果,就好比是领受心领受所缘;然后再捏一捏芒果就好像是推度心;然后再嗅一嗅,就知道这个是一个芒果,这个是属于确定;然后再把它吃了,吃了再体验这个芒果,这个比喻成速行;然后吞下去再回味一下,这个就比喻成彼所缘,就是再回味一下味道;然后又倒头睡觉,这就证明说心流又落入了有分。

当然这个只是一个比喻,我们要知道这纯粹只是一个比喻,因为在整个心路过程里面是完全没有自我的,没有一个体验者在发生的,也没有一个自我或者内在的控制者,或者说在心路过程之外还有一个认知者或者识知者,或者说有另外一个心识。当知所有这些心路过程心,它只是由因缘生起就会生起,我们说到的所谓的心,纯粹只是一个认知的过程,不能认为说在认知过程背后还有一个谁在认知。如果这样,就变成了落入邪见。每一个心一生起就执行它的作用,执行完作用后就灭去,灭去后就不复存在了。生起没有准备,灭去没有堆在任何地方。

由于有了因缘法,才会有心的生起。例如:眼识这一个心,它的生起必须具足种种的缘,因为眼识生起纯粹只是执行看颜色的这种作用,在背后没有能看的人,没有能看的心,能看的只是眼识,而眼

识必须得由种种的因缘产生。例如:作为眼识的生起它必须得有过去的因,因为眼识是属于一种果报心,所以它包括了过去所造的无明、爱、取、行、业;在今生、在现在的缘,它又必须有眼净色,假如没有眼净色、没有眼睛,有所谓的看这种作用生起吗?不可能;还必须得有颜色,因为有了颜色,眼识才会执行看的作用。如果没有颜色,也没有眼识的生起;还要有光明,如果没有光明,能够看吗?也不能;同时,还要有作意,如果没有作意,例如:没有五门转向的作意,眼识也不能够生起;同时在眼识这个心生起的时候,还必须伴随着有七个心所一起执行“看”的作用,如果没有的话,也不能够执行“看”的作用。

因此我们说到的一个眼识,它都有十几种、那么多因缘去资助,和合而成为有一个眼识的“看”,离开了这些缘,我们根本不能说有个能“看”的东西在,因此不要认为心识在执行作用的背后有个认知者或者有个心存在。

每一个心在生起的时候,就执行它的作用,一旦灭去之后,它的灭去就紧跟着提供另外一个心生起,然后又再执行下一个作用。例如:五门转向一生起就执行着五门转向的作用;五门转向一灭去就立刻提供眼识去“看”所缘;然后等眼识一灭去之后立刻就生起一个领受心,提供能够领受的作用;等领受灭去就生起了推度;然后生起了确定。心就是这么样的,所以这一种运行法则我们称为心的法则(cittaniyàma)。

下面我们再看另外一种大所缘的眼门心路过程。刚才讲到的是

极大所缘,极大所缘用我们比较容易理解的方式来说,就是这种颜色给我们心、对我们眼睛的撞击力很大,或者说声音对我们耳朵的撞击力大,这种撞击力大的声音或者颜色我们称为极大所缘。这里我们讲到的是大所缘,就是说它还是属于很清楚的,那在心路过程里面是如何发生的呢?我们来看一看。

由于所缘的撞击力稍微弱一点,这一种颜色的对象在两三个有分过去之后才呈现于根门。

这是有分流,当一个颜色的目标(这个对象)撞击到有分的时候,有好几个有分已经过去了(由于这个时候,所缘的寿命只有十七个心识刹那,等它撞击的时候已经好几个有分过去了),于是生起了一个五门转向心,五门转向心使心流中断有分而拉到所缘,从此我们说到的心这种活动开始活跃了;之后就生起一个眼识,能够识知对象,执行“看”这个颜色的作用;然后紧接着眼识灭去就生起一个领受心,领受颜色;等领受心灭去以后生起一个推度心,推度所缘;等推度心灭去以后就紧跟着生起一个确定心;确定心灭去以后紧跟着生起的是七个速行心;当速行心灭去之后,由于色法的寿命只有十七个心识刹那,于是色法灭去了。色法灭去过后,而且这个心路过程已经到了终点了,于是心流在速行灭去之后就落入了有分;有分心又不断地生起,在这种情况下,两种彼所缘都不会生起,因为没有时间生起,所缘已经灭去了。

对于极大所缘,眼门心路过程取的是极大所缘,当眼门心路过程在灭去的时候是以彼所缘心灭去的时候灭去的,所以我们称这个心

路过程叫做彼所缘时分(tadàramma?avàra)。

在大所缘的心路过程里面,由于在心路过程最后一个心是速行心,当速行心一灭去之后就宣告着这个心路过程也停止了,有分心又开始生起了,这一种心路过程我们可以称为速行时分,也就是说这个心路过程是在速行心的时候结束的。

当所缘如果是微细的或者极微细的话,即使连速行心都不会生起。如果速行心不会生起,往往会在确定心的时候灭去。例如:当一个所缘撞击到有分的时候,有分只是波动了很多次,波动了很多次以后生起了一个五门转向、眼识、领受、推度、确定,然后立刻就落入了有分。这个对我们的眼门心路过程来说,几乎是没有影响的。

如果是极微细所缘的话,那么连五门转向心、眼识、领受、推度都不会生起,它纯粹只是令到有分波动而已。就好像我们在睡梦当中,在熟睡的时候,即使有时候会有些声音,但是当这些声音在我们睡梦的时候撞击到我们的根门,撞击到我们的耳门,有时候纯粹只是令有分波动而已,它并没有耳识生起去听,有时候它撞击稍微强一点,那么我们会感觉还是在听,但是那时候只是很朦胧,很快的又没有了,这种称为微细所缘。有时候偶尔会生起一两个耳门心路过程,好像在睡觉当中听到一会东西,然后很快就过去了。

这种是属于五门心路过程,我们讲的是以眼门心路过程为例子,对于耳门心路过程、鼻门心路过程、舌门心路过程、身门心路过程,都是一样的道理。

眼、耳、鼻、舌、身这五种心路过程,我们称为五门心路过程,

它们分别是缘取各自的目标,例如:眼门心路过程只是执行看颜色、取颜色为目标,耳门心路过程只是执行听,也就是说它只是取声音为所缘,鼻门心路过程只是取气味为所缘,舌门心路过程只是取味道为所缘,身门心路过程只是接受、知道我们的碰触。这些都是属于五门心路过程。

五门心路过程在心产生的数量方面会比较多,例如:又有五门转向,又有眼识、耳识、鼻识、舌识、身识,又有领受、推度、确定,还会有速行、彼所缘等等,在生起的心方面会比较多,但是在运作方式方面会简单很多,因为五门心路过程取的对象很简单,只是取单一对象。我们接下来会讨论的是意门心路过程,虽然意门心路过程的运作没有那么多的心识刹那发生,但是它运作起来会复杂很多。

下面我们就转入意门心路过程(manodvàrav?thi)。意门心路过程又可以分为两大类的意门心路过程,意门心路过程是指纯粹发生于意门的,它跟五门不一样,我们说到的五门心路过程,其实它们都涉及了两个门。例如:眼门心路过程,眼门心路过程涉及到两个门,第一是眼门,第二是意门,为什么这样说呢?我们再去回顾一下,有分全部都是属于意门的,然后生起了一个五门转向心,五门转向心我们可以说这也是眼门的,但是它属于什么识?属于眼、耳、鼻、舌、身、意的哪种识?是属于意识。然后生起了一个眼识,眼识是属于六识当中的眼识,然后生起了一个领受、推度、确定,这三个心是属于眼识还是意识?也是属于意识。然后接着的七个速行是属于眼识还是意识?还是属于意识。

我们又从依处来说,依处有六依处:眼依处、耳依处、鼻依处、舌依处、身依处以及心所依处。眼依处只是提供眼识生起,它不会提供给其它的识生起。对于意识来说,一切意识的心的依处是在哪里?只要在五蕴世间,意识都是依心所依处而生起,心所依处可以说是意门心的依处,因此我们所说的五门心路过程其实涉及了两种门,第一是眼门,因为眼净色称为眼门;心所依处,我们说有分是意门心路过程,那我们看一看五门转向心是依眼门生起的,还是依有分、称为意门的有分而生起的呢?是意门。因此所缘撞击根门的时候,同时也撞击有分,这种五门心路过程其实都涉及到眼门和意门,或者耳门和意门,鼻门和意门等等。在整个眼门心路过程里面,只有眼识是依眼净色而生起的,其它的五门转向、领受、推度、确定、速行、彼所缘都是依意门而生起的,都是依心所依处而生起的,因此眼门心路过程实际涉及了两种门。

我们现在谈论的意门心路过程,它并不依眼、耳、鼻、舌、身这五种门,它纯粹是依意门而生起,这种我们称为意门心路过程,也就是从它的依处来说,只是依心所依处而生起。不过对于五门心路过程来说,由于好区别,我们把它单独称为眼门心路过程,或者称为眼识心路过程、耳门心路过程或者耳识心路过程,它以区别于意门心路过程。

意门心路过程比起五门心路过程来说,它的呈现方式要复杂得多。有两类的意门心路过程:一类称为有限速行的心路过程,一类称为安止速行的心路过程。有限速行心路过程又可以分为两种:第一种

是随起的意门心路过程,还有另外一种是独立的意门心路过程。

随起的心路过程是指随五门起的意门心路过程,也就是说,紧跟着在五门之后生起的意门心路过程。独立的意门心路过程又可以称为纯意门心路过程,就是它纯粹是意门心路过程,它们之间是怎么的区别呢?随五门起的心路过程就是我们说到的看了之后,我们的心还会对所看的东西进行加工,当我们所谓的听,听是耳门心路过程,之后等耳门心路过程灭去之后我们的心继续对所听的内容进行加工、进行判断、进行推理,这个称为随起的意门心路过程。

对于纯意门的心路过程,我们称为独立的心路过程,就是在我们并没有听、没有看、没有嗅的时候,我们纯粹只是在想,在想这个想哪个,或者说在回忆,这个称为独立的意门心路过程。

还有另外一类的心路过程是安止速行的心路过程,这种心路过程是指广大心生起或者出世间心生起的那种心路过程。因此安止速行心路过程又可以分为两类:一类是禅那速行的心路过程;一类是道果速行的心路过程,或者说果定速行的心路过程。

对于禅那速行的心路过程,是指一个人在证入禅那的时候,证入禅那并不是透过眼、耳、鼻、舌、身而证入,而是透过意门心路过程,这种意门心路过程又区别于有限心路过程,所以它称为安止速行的心路过程。而当一个人修观,最后在证悟涅槃的那个时候,那个时候他的心路过程是一种很独特的心路过程,等一个圣者证悟涅槃以后,他有能力继续取涅槃为目标进入果定,这个时候他的心路过程又是另外一种心路过程,这些心路过程我们称为安止速行心路过程。这

两种都是意门心路过程,它们的区别在什么?

有限速行的心路过程是属于欲界的意门心路过程,这是属于欲界心的,安止速行的心路过程是属于包括了广大心与出世间心的心路过程,虽然在安止心路过程当中,之前还会涉及到欲界心,但是之后生起的是广大心,例如:初禅的心、第二禅的心、第三禅的心、第四禅的心,空无边处定心、识无边处定心、无所有处定心、非想非非想处定心,这些称为禅那速行的心路过程。

在欲界的心路过程里面,由于它的速行心最多只能生灭七次,然后就宣告着一个心路过程结束,最多只有两个彼所缘生起,由于在数量上是很有限的,对于欲界的心路过程,最多只不过是十个心识刹那而已,它不会超过十一个心识刹那,由于它的数目是很有限,所以称为有限速行心路过程;但是对于安止速行心路过程,它可以生起无限多次、无数次,由于安止的力量很强,就是我们说的定的这种力量,心力很强,所以表现为速行能够生灭很多次。当我们了解了这种关系之后,才能够来讲意门心路过程。

对于一般普通的意门心路过程,我们先举一个有限速行的心路过程为例子来说一下。如果在一个心路过程里面,假如所缘是清晰所缘,当所缘呈现在有分的时候,也就是呈现在意门的时候,就有几个有分波动然后灭去,之后生起了一个意门转向心,意门转向心的作用是把心拉到对象(拉到所缘)而结束了有分,就是结束了心流不活跃的状态。意门转向心一灭去之后,生起了一个什么心?是领受推度心吗?不是的,意门转向心一灭去之后,生起的就是速行心了。

所以意门心路过程在运作方面会简单很多,但是它呈现的方式跟它执行的作用却很多,当这七个速行灭去之后,由于所缘是清晰所缘,就是很清楚的呈现在意门里,因此它可能会有两个彼所缘生起,当彼所缘灭去之后,影像也灭去。当知这里讲到的所缘并不一定跟我们刚才讲到的颜色所缘那样,因为只有我们的意门去转向(去取所缘),所缘就呈现出来,所缘的呈现如果是概念法的话,它可以呈现很久的时间,它并不像色法那样出现了会灭去,概念法可以被我们的意门重复地取,重复地取,因此我们在修定的时候可以取概念法为所缘,然后持续的专注它,可以专注很久。

若所缘是清晰所缘,那么两个彼所缘可能会生起,为什么说可能呢?因为如果所缘是概念法的话,有彼所缘生起吗?没有。如果是在很强的观智的时候,观智是属于哪一种心路过程?是五门还是意门?是意门。强烈的观智彼所缘也不会生起,或者说这一种心路过程只是色界天人的意门心路过程。色界天人的意门心路过程,只要是色界梵天人,无论如何他的意门心路过程都不可能会有彼所缘生起。如此心路过程一共有十个心识刹那生灭,这十个心识刹那也就是一个意门转向,加上七个速行,再加上两个彼所缘,这是最多的方式。

如果所缘是不清晰所缘,就是意门的所缘是不清晰的所缘,那两个彼所缘也不会生起,如此心路过程一共有多少个心识?只有八个心识,也就是一个意门转向再加上七个速行生起,这就是属于所缘是不清晰的意门心路过程。

至于意门心路过程它们是如何运作的呢?我们在明天将会接着

讲,先讲随起的意门心路过程,我们明天将按照当我们在看到一个颜色的时候,我们如何去知道这个是什么颜色,然后我们如何去对这些所看到的颜色在我们心里面进行组合,然后我们会发现:哦,这是一个人,这是某某人,这是一棵树,这是一朵花,它是如何生起的?然后我们接着又会讲纯意门心路过程,例如:为什么在听到一样东西的时候我们可以去想象那个东西,或者我们会回忆,回忆过去我们怎么样,回忆很久的时候,这些心理现象是如何发生的呢?它们是如何运作的?我们在接下来的时间再一起学习。

下面我们大家一起来做回向:

Idaü me pu¤¤aü, àsavakkhayàvahaü hotu.

Idaü me pu¤¤aü, nibbànassa paccayo hotu.

Mama pu¤¤abhàgaü sabbasattànaü bhàjemi,

Te sabbe me samaü pu¤¤abhàgaü labhantu.

Sàdhu! Sàdhu! Sàdhu!

愿我此功德,导向诸漏尽!

愿我此功德,为证涅槃缘!

我此功德分,回向诸有情,

愿一切有情,同得功德分!

萨度!萨度!萨度!

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列:S n =na 1+ n (n -1)2 d (d 为公差)或S n =n (a 1+a n ) 2 . (2)等比数列:S n =???? ?na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1其中(q 为公比). 4类特殊数列的前n 项和 (1)1+2+3+…+n =1 2n (n +1). (2)1+3+5+…+(2n -1)=n 2 . (3)12+22+32+…+n 2 =16n (n +1)(2n +1). (4)13+23+33+…+n 3=14 n 2(n +1)2 . 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n 2a n +3 ,n ∈N * .

(1)求证:数列???? ?? 1a n 为等差数列; (2)设T 2n = 1 a 1a 2- 1 a 2a 3+ 1 a 3a 4- 1 a 4a 5 +…+ 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 ,求T 2n . 【解】 (1)证明:由a n +1=3a n 2a n +3,得1a n +1=2a n +33a n =1a n +2 3 , 所以 1 a n +1-1a n =23. 又a 1=1,则1a 1=1,所以数列???? ??1a n 是首项为1,公差为2 3的等差数列. (2)设b n = 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 =? ??? ?1a 2n -1-1a 2n +11a 2n , 由(1)得,数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列, 所以 1 a 2n -1 - 1 a 2n +1=-43,即 b n =? ????1a 2n -1-1a 2n +11a 2n =-43×1a 2n , 所以b n +1-b n =-43? ????1a 2n +2-1a 2n =-43×43=-16 9. 又b 1=-43×1a 2=-43×? ????1a 1+23=-20 9 , 所以数列{b n }是首项为-209,公差为-16 9的等差数列, 所以T 2n =b 1+b 2+…+b n =- 209n +n (n -1)2×? ?? ??-169=-49(2n 2 +3n ). 求解此类题需过“三关”:第一关,定义关,即会利用等差数列或等比数列的定义,判断所给的数列是等差数列还是等比数列;第二关,应用关,即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解,需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式:S n = n (a 1+a n ) 2 或S n =na 1+ n (n -1) 2d ;等比数列{a n }的前n 项和公式:S n =?????na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1;第三关,运算关,认真运算,此类题将迎刃而解. 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和. 已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为d ,n ∈N * ,且不等式ax 2 -3x +2<0的解集为(1,

人教版小学数学一年级下册第四单元《100以内数的数数与组成》说课稿讲课讲稿

人教版小学数学一年级下册第四单元 《100以内数的数数与组成》说课稿 南康市逸夫小学许苏林 一、教材分析 一年级的学生在入学前,经过了学前教育,很多学生在未学习这一课前,已能数出100以内的数,而且在他们的生活体验中,常常会接触到100以内的数。但孩子们的头脑中,还未有100以内数的概念,这一课教学就是要帮助孩子建立100以内数的概念,为以后学习数学其他知识奠定十分重要的基础。 教材很注重学生数感的建立,主题图给了学生100这个数有多大的概念,通过估计和比较建立数感。教材还十分重视让学生实际操作,例题1、2、3的教学都是在学生的动手实践中进行,通过操作建立100以内数的概念,初步掌握数100以内数的方法。 二、教学目标、教学重点及教学难点 经过对教材的理解和分析,确定了以下教学目标、教学重点及教学难点。 教学目标是:

1.学生在已有知识基础上,学会数100以内的数,建立100以内数的概念,能够运用数进行表达和交流。 2.引导学生观察、操作,初步体验数与生活的密切关系,培养学生的主动探究精神。 3.与实际生活相联系,让学生体会到数学知识来源于生活,服务于生活。 教学重点是建立100以内数的概念,正确数出100以内的数。 教学难点是数数时接近整十数到整十数的过渡。 三、教法和学法 1.动手操作学习。通过让学生动手操作,注意调动学生的学习积极性,使学生各种感官协同活动,做到在观察中思维,在思维中操作,概念的形成由具体到抽象,符合学生的认知规律。 2.合作学习。师生合作、生生合作贯穿教学全过程,注意学生之间的信息交流,培养学生的合作意识、团队精神,

营造平等、互助的学习氛围。 四、教学过程 1.本课学习是建立在学生20以内数的认识和已有的生活经验的基础上的,学生对100以内的数看似了解,却概念模糊,教师在引入时为学生创设学习情境,给学生送来礼物──100颗星星,通过观察、估计、比较,逐步建立数感。 2.数豆子。首先向学生展示1粒豆子的大小,接着让他们抓一把进行估数,这时也是想通过操作建立数感,但这种数感的建立已进一步扩展到了视觉、触觉和空间的范围,然后动手数一数,通过数数达到验证估计是否准确以及学生主动探索数数方法的目的。最后以汇报的形式与全班进行交流。学生数数的方法多种多样,有些是方便快捷的,也有些是繁琐缓慢的。这时,对各种方法的优劣我不进行评论,而是展示各种方法,至于哪一种方法较好,让学生在操作中自己体会。 3.数100。这一环节以学生操作学具为主,要求就进一步提高了。物品选择正好要数出100,还得让人一眼看出有

三年级下册数学试题-奥数专题讲练:第2讲 数列求和精英篇(解析版)全国通用

第二讲数列求和 知识导航 德国有一位世界著名的数学家叫高斯(公元1777年-1855年)。他上小学的时候,老师出了一个题目,1+2+…+99+100=?小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是5050。同学们,你们知道他是怎么算出来的吗? 原来小高斯在认真审题的基础上,发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。 如:1,2,3,4,…是等差数列,公差为1; 2,4,6,8,…是等差数列,公差为2; 5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。 进一步,小高斯发现了这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,50+51=101。一共有多少个101呢?100个数,每两个数是一对,共有50个101。 所以: 1+2+3+…+98+99+100 =101×50 即,和= (100+1)×(100÷2)=101×50=5050 这道题目,我们还可以这样理解: 即,和= (100+1)×100÷2=101×50=5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。因此,同学们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且要善于观察,认真审题,注意发现题目的

例题精讲 【例1】找找下面的数列有多少项? (1)2、4、6、8、……、86、98、100 (2)3、4、5、6、……、76、77、78 (3)4、7、10、13、……、40、43、46 (4)2、6、10、14、18、……、82、86 分析:(1)我们都知道:1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(95、96)、(97、98)、(99、100),让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。 (2)连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列,它们的项数是:末项—首项+ 1 。 (3)配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组。当然,我们还可以有其他的配组方法。 (4)22项. 对于一个等差数列的求和,在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后,也许稍显麻烦,但它的思路很重要,对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。 【例2】计算下列各题: (1)2+4+6+…+96+98+100 (2)2+5+8+…+23+26+29 分析:(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是2,末项是100,项数为50。 所以:2+4+6+…+96+98+100=(2+100)×50÷2=2550 (2)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数是10的等差数列。 所以:2+5+8+…+23+26+29=(2+29)×10÷2=155 其实在这里,我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧! 【例3】你能找出几个等差数列的特征?从你的结果中,你能找到等差数列求项数的公式么? 分析:我们都知道,所谓等差数列就是:从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,那么我们可以得

数学分析选讲

分析数学教案主讲人姜广浩 淮北师范大学数学科学学院 2010年3月1日

第一章 一元函数的极限 § 利用定义及迫敛性定理求极限 设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-?=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞ →.证明*21lim R a n a a a n n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式). 证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞ →lim ,0>?ε,01>?N ,当1N n >时, 2 ε< -a a n .因此 a n a a a n -+++ 21 n a a a a a a n ) ()()(21-++-+-= n a a a a a a N -++-+-≤121 n a a a a n N -++-+ + 11 21ε?-+≤ n N n n A 2 ε+N ,当2N n >时, 2 ε 时, a n a a a n -+++ 21εε ε=+<22. (2) 设+∞=+∞ →n n a lim ,则0>?M ,01>?N ,当1N n >时,M a n 3>.因此 n a a a n +++ 21 n a a a N 121+++= n a a a n N N ++++ ++ 2111 M n N n n A 31?-+>, 其中121N a a a A +++= .由于0→n A ,11→-n N n )(+∞→n ,所以存在02>N ,当2 N n >时, 2M n A <,211>-n N n .因此n a a a n +++ 21M M M =-?>2 1321. (3) 当-∞=+∞ →n n a lim 时,证明是类似的.(或令n n a b -=转化为(2)). 注 例1的逆命题是不成立的.反例为()n n a 1-=),2,1( =n ,容易看出

《数学分析选讲》 第一次 作业

《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3.函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数,也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛,则数列2{}n a 收敛. 5.若数列{}n a 有界,则数列{}n a 一定收敛. 6.若数列{}n a 收敛,则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散,则数列{}n n a b +一定发散. 8.若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9.若函数)(x f 在0x 的极限存在,则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1.设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->? , 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ; B 2 ; C 3 ; D 0 2.设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数 , 则 1)=f ( ). A 1- ; B 1 ; C 0 ; D 12 3.若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外,数列中的点( ) A 必不存在 ; B 至多只有有限多个; C 必定有无穷多个 ; D 可以有有限个,也可以有无限多个 4.数列}{n x 收敛,数列}{n y 发散,则数列{}n n x y + ( ). A 收敛; B 发散; C 是无穷大; D 可能收敛也可能发散 5.设lim ||2n n x →∞ =,则 ( ) A 数列}{n x 收敛; B lim 2n n x →∞ =; C 数列}{n x 可能收敛,也可能发散; D lim 2n n x →∞ =-; 6.已知 2 lim()01 x x ax b x →∞--=+,其中b a ,是常数,则( )

[0088]《数学分析选讲》

[0088]《数学分析选讲》 第一次作业 [论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界,则inf su p S S ≤. 2. 收敛数列必有界. 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散,则数列{}n n a b +一定发散. 4.若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 5.若一数列收敛,则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1.设2,1 ()3,1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( ) . A 3- ; B 1- ; C 0 ; D 2 2.“对任意给定的)1,0(∈ε,总存在正整数N ,当N n ≥时,恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的( ). A 充分必要条件; B 充分条件但非必要条件; C 必要条件但非充分条件; D 既非充分又非必要条件 3.若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外,数列中的点( ) A 必不存在 ; B 至多只有有限多个; C 必定有无穷多个 ; D 可以有有限个,也可以有无限多个 4.数列}{n x 收敛,数列}{n y 发散,则数列{}n n x y + ( ). A 收敛; B 发散; C 是无穷大; D 可能收敛也可能发散 5.设a x n n =∞ →||lim ,则 ( ) A 数列}{n x 收敛; B a x n n =∞ →lim ; C 数列}{n x 可能收敛,也可能发散; D a x n n -=∞ →lim ; 6.若函数)(x f 在点0x 极限存在,则( ) A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值; B )(x f 在0x 的函数值必存在,但不一定等于极限值; C )(x f 在0x 的函数值可以不存在;

小学数学三年级作业讲课讲稿

小学数学三年级作业

1.爸爸、妈妈和我分别掰了9个玉米,小弟弟掰了6个。问我们全家一共掰了多少个玉米? 2.小兔种了5行萝卜,每行9个。送给邻居兔奶奶15个,还剩多少个? 3.王师傅做了80个面包,第一次卖了17个,第二次卖了25个,还剩多少个? 4.妈妈买了15个苹果,买的橘子比苹果少6个,问一共买了多少个水果? 5.动物园有熊猫4只,有猴子是熊猫的3倍。问一共有熊猫和猴子多少只? 6.图书馆有90本书。一年级借走20本,二年级借走17本。问图书馆还有多少本书? 7.二.一班有女生15人,男生比女生多11人,问二.一班有学生多少人? 8.小汽车每辆能坐4人,大客车能坐25人,有3辆小汽车和1辆大客车。问一共能坐多少人? 9.商店里有4盒皮球,每盒6个,卖出20个,还剩多少个? 10.小明有6套画片,每套3张,有买来4张,问现在有多少张? 11.学校买回3盒乒乓球,每盒8个,平均发给二年级4个班,每个班分得几个乒乓球? 12.小熊捡了9个玉米,小猴检的是小熊的4倍,他们一共捡了多少个玉米?

13.食品店有85听可乐,上午卖了46听,下午卖了30听,还剩多少听? 14.操场上原有16个同学,又来了14个。这些同学每5个一组做游戏,可以分成多少组? 15.小明买了3个笔记本,用去12元。小云也买了同样的6个笔记本,算一算小云用了多少钱? 16.体育室有60副羽毛球拍。小明借走了15副,小亮借走了26副,现在还剩多少副? 17.一小桶牛奶5元钱,一大桶牛奶是一小桶的4倍,买一大一小两桶牛奶共需要多少钱? 18.一本故事书,小明每天看5页,看了9天,还剩28页,这本书共有多少页? 19.王老师在文具店买了5张绿卡纸,15张红卡纸。红卡纸是绿卡纸的多少倍? 20.二年级一班有20名男生,22名女生,平均分成6个小组,每组有几名同学? 21、一辆空调车上有42人,中途下车8人,又上来16人,现在车上有多少人? 22、面包房一共做了54个面包,第一队小朋友买了8个,第二队小朋友买了22个,现在剩下多少个?

奥数小学三年级精讲与测试 第3讲 简单数列求和

第3讲简单数列求和 知识点、重点、难点 当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列.其中固定的差用d表示,和用S表示,项数用n表示,其中第n项用a n表示.等差数列有以下几个通项公式: S=(a1+a n)×n÷2, n=(a n-a1)÷d+1(当a1

数分选讲讲稿

讲授内容第三十四讲 § 6.4隐函数存在定理 对方程F(x,y) 0而言,隐函数存在定理是:F(x,y)满足 10F(x o, y o) 0, F y(x o, y o) 0 ; 20F (x, y)及F y(x, y)在(x。, y。)的某邻域内连续, 则方程F(x, y) 0在(x o,y。)的邻域里确定了唯一的隐函数. 具体来说,即o, o,及函数y y(x),满足: i) y o y(x o); ii) F x, y(x) o, |y(x) y°| , x U(x o,) 其中U (x o, ) x||x-x o | ; iii) 满足条件i)、ii)的函数y(x)是唯一的; iv) y y(x)在U(x o,)内连续. 若附加条件:F x(x,y)在(x o,y o)的邻域内连续, 则y (x)存在,且y (x) dy F x(x, y). dx F y(x,y) 例1给定方程x2y sin (xy) o (A) 1) 说明在点(o,o)的充分小的邻域内,此方程确定唯一 的、连续的函数y y(x),使得y(o)o ; 2) 讨论函数y(x)在x o附近的可微性; 3) 讨论函数y(x)在x o附近的升降性(单调性); 4) 在点(o,o)的充分小的邻域内,此方程是否确定唯一 的单值函数x x(y),使得x(o)o ?为什么? 解1) F(x, y) x2y sin(xy) 0, y y; j 3学时 [注:定理的条件|只是充分条件,!而不是要条件. |偏导数是两个特- i殊方向的方向导 |数 - i梯度方向是函数I变化最剧烈的方I - i向,或个方向导 1数的最大值就是i - i梯度的模 ;书P ioo E x5 i i外法线方向 [对一元函数 ■ ! i 若f (x) 0, x I j 则f (x) C, x I I |注:本结论可推: I广到E n中.

数列分组求和法讲课讲稿

分组求和法 典题导入 [例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足:b n =a n +(-1)n ln a n ,求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1=3时,不合题意; 当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时,符合题意; 当a 1=10时,不合题意. 因此a 1=2,a 2=6,a 3=18.所以公比q =3,故a n =2·3n -1. (2)因为b n =a n +(-1)n ln a n =2·3n -1+(-1)n ln(2·3n -1)=2·3n -1+(-1)n (ln 2-ln 3)+(-1)n n ln 3, 所以S 2n =b 1+b 2+…+b 2n =2(1+3+…+32n -1)+[-1+1-1+…+(-1)2n ](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)2n 2n ]ln 3=2×1-32n 1-3 +n ln 3=32n +n ln 3-1. 由题悟法 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n =b n ±c n ,且{b n },{c n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. (2)通项公式为a n =????? b n ,n 为奇数, c n ,n 为偶数的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数 列,可采用分组求和法求和. 以题试法 1.(2013·威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *,p ,q 为常数),且x 1,x 4,x 5成等差数列.求: (1)p ,q 的值; (2)数列{x n }前n 项和S n 的公式.

第37讲 数列的求和(解析版)

第37讲:数列的求和 一、课程标准 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题. 二、基础知识回顾 1.公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d 2. 推导方法:倒序相加法. (2)等比数列{a n }的前n 项和S n =???? ? na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n =n (n +1) 2; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+(2n -1)=n 2. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和. (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3、常见的裂项技巧

①1n (n +1)=1n -1n +1. ②1n (n +2)=12????1 n -1n +2. ③1(2n -1)(2n +1)=12????1 2n -1-12n +1. ④1 n +n +1=n +1-n . ⑤1n (n +1)(n +2)=12????1n (n +1)-1(n +1)(n +2). 三、自主热身、归纳总结 1、数列112,314,518,71 16,…的前n 项和为(C ) A . 2n -1+12n B . n 2 +1-1 2n C . n 2 +1-12n D . n 2+1-1 2n -1 【答案】C 【解析】 S n =(1+3+5+…+2n -1)+12+14+18+…+12n =n 2 +1-1 2n .故选C . 2、数列{a n }的通项公式为a n =1 n +n -1,若该数列的前k 项之和等于9,则k =( ) A .80 B .81 C .79 D .82 【答案】B 【解析】 a n =1 n +n -1=n -n -1, 故S n =n ,令S k =k =9,解得k =81,故选B. 3、若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ) A .15 B.12 C .-12 D .-15 【答案】A 【解析】a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28 =5×3=15,故选A. 4、数列{a n }的通项公式为a n =n cos n π 2,其前n 项和为S n ,则S 2 020=________. 【答案】1 010

2019年奥数小学三年级精讲与测试第3讲简单数列求和

2019年奥数小学三年级精讲与测试第3讲简单数列求和 知识点、重点、难点 当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列.其中固定的差用d表示,和用S表示,项数用n表示,其中第n项用a n表示.等差数列有以下几个通项公式: S=(a1+a n)×n÷2, n=(a n-a1)÷d+1(当a1

小学四年级奥数第十讲 数列求和及应用

第十讲数列求和及应用 一、例题精讲姓名: 例1:计算:(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=? (2)3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=? 例2:小军写大字,他第一天写了10个,从第二天起,每天都比前一天多写2个,最后一天写了18个,这几天他一共写了多少个大字? 例3:1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+……-100+101=? 例4:有10只盒子,要想装44个小球,能不能把44个小球全部放到盒子中去,且使各个盒子里小球个数不相等,请说明理由。

二、巩固练习成绩: 1、计算:(1)7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+20 (2)5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60 2、王羽看一本书,他第一天看8页,以后每天都比以前一天多看3页,最后一天他看了 50页,这本书一共有多少页? 3、100以内所有奇数的和是多少? 4、20把钥匙开20把锁,现在20把锁的钥匙搞乱了,为了使用每把锁都配上自己的钥 匙,最多要试多少次?

三、拓展提高姓名: 1、同学们种树,第一排种4棵,以后每排都比前一排多种2棵,他们种了5排,一共种 了多少棵树? 2、从20开始往后数12个连续的偶数,最后一个偶数是多少? 3、100以内所有个位上是5的数的和是多少? 4、学校举行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他选手比赛一场,现有20名学生参加 比赛,一共赛多少场?

四、趣味作业 1、已知等差数列3、8、13、18、23、28……98,这个数列中共有多少个数? 2、有一家小电影院,第一排有12个座位,以后每排都比前一排多1个座位,电影院共 有20排座位,这家电影院最多可坐多少观众? 3、有一堆圆木,最上层有5根,从上往下看,每一层都比上一层多1根,最下层有24 根,这堆圆木一共有多少根? 4、计算:(1)5+10+15+20+……+200 (2)4+9+14+19+……+94+99

《数学分析选讲》教学大纲

《数学分析选讲》课程教学大纲 一、《分析选讲》课程说明 课程代码:0741123110 课程英文名称:Selective Lectures of Mathematic Analysis 开课对象:数学与应用数学本科生 课程的性质:考试 学时:72 数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识,是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。 本课程的前导课程为数学分析。 教学目的: 通过本课程的教学,使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 教学内容: 本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学,两个极限过程的换序这八个核心内容。 教学时数 教学时数:72学时 学分数:学分 教学时数具体分配:

教学方式 课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况,达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定,平时成绩占20%,期末考试成绩占80%。 二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章 函数与极限 教学要点: 本章主要研究内容为函数性质的确定;通过实例总结求数列与函数极限的方法,以及如何确定极限的存在性等。 教学时数:8学时。 教学内容: 第一节 函数 1.1 求函数的定义域与值域 1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式 1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程 第二节 极限 2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法 2.3 确定极限存在性的方法 考核要求: 通过本章的学习,学生应能理解函数的定义,准确地确定函数的性质;熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法;掌握判断极限存在性的常用方法。 第二章 实数的连续性 教学要点: 本章主要研究

第36讲 数列求和(讲)(原卷版)

第36讲 数列求和(讲) 思维导图 知识梳理1.公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d 2. 推导方法:倒序相加法. (2)等比数列{a n }的前n 项和S n =???? ? na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n =n (n +1) 2; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+(2n -1)=n 2. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和. (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. [常用结论] 常见的裂项技巧 ①1n (n +1)=1n -1 n +1. ②1n (n +2)=12? ???1 n -1n +2. ③1(2n -1)(2n +1)=12????1 2n -1-12n +1. ④1 n +n +1 =n +1-n . ⑤1n (n +1)(n +2)=1 2? ???1n (n +1)-1(n +1)(n +2). 题型归纳题型1 分组转化求和 【例1-1】(2020春?昆明期末)已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,12a =,且1a ,2a ,4a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2n a n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【跟踪训练1-1】(2020春?保定期末)已知数列{}n a 、{}n b 满足:1n n n a a b +=+,{2}n b +为等比数列,且12b =,24a =,310a =. (1)试判断数列{}n b 是否为等差数列,并说明理由;

数学分析选讲大纲

《数学分析选讲》教学大纲 课程编号: 课程名称:数学分析选讲 总学时数:54 一、说明 (一)《数学分析选讲》的课程性质: 本课程是数学与应用数学专业的专业选修课程,主要授课对象是是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生。 (二)教材及主要参考书: 本课程不指定教材,建议学习者可以参考以下几本重要的参考书: 1、数学分析讲义,陈纪修、於崇华、金路,高等教育出版社,1999 2、数学分析解题方法600例,李世金、赵洁,东北师范大学出版社,1992 3、数学分析选讲,王家正、乔宗敏,北京师范大学出版社,2010 4、裴礼文著《数学分析的典型问题与方法》 (三)《数学分析选讲》的课程目标(教学目标): 本课程的目的是通过本课程的学习,使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高,并扩大所学的知识,更好地掌握分析的基本思想、基本方法,使对所学的数学分析知识能做到触类旁通,为报考数学专业硕士研究生的学生提供专业课程的辅导。 (四)《数学分析选讲》课程授课计划(包括学时分配)

(五)教学建议: (六)考核要求:本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成,平时学习情况包括:课堂表现、平时作业完成情况。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%,平时学习情况占总评成绩的30%。 二、教学内容 第一讲:数列极限与函数极限 主要教学目标: 通过这一讲的学习,学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质,进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法,及论证极限的存在性,理解数列的上、下极限的概念和性质。 教学方法及教学手段:主要应用教育学理论,采取讲授法,多媒体辅助法。 教学重点及难点:论证极限的存在性及求极限的一些方法。 第二讲:函数连续性 主要教学目标: 通过这一讲的学习,学习者要理解函数连续的定义,掌握连续的性质、闭区间上连续函数的主要性质,理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。 教学方法及教学手段:主要应用教育学理论,采取讲授法,多媒体辅助法。 教学重点及难点: 重点:函数连续性概念,连续函数性质,一致连续的概念。 难点: 函数一致连续的判别。

2021版新课标名师导学高考第一轮总复习考点集训(三十四) 第34讲 数列求和

考点集训(三十四) 第34讲 数列求和 对应学生用书p 237 A 组题 1.数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n -1·(4n -3),则它的前100项之和S 100等于( ) A .200 B .-200 C .400 D .-400 [解析] S 100=(4×1-3)-(4×2-3)+…-(4×100-3) =4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)] =4×(-50)=-200. [答案] B 2.数列{}a n 中,a 1=2,且a n +a n -1= n a n -a n -1+2(n ≥2),则数列???? ??1(a n -1)2前2021项和为( ) A .20211010 B .20211011 C .20191010 D .40402021 [解析] ∵a n +a n -1=n a n -a n -1+2(n ≥2), ∴a 2n -a 2n -1-2() a n -a n -1=n , 整理得:()a n -12-()a n -1-12=n , ∴()a n -12-()a 1-12=n +()n -1+……+2,又a 1=2, ∴()a n -12=n () n +12, 可得:1()a n -12=2 n ()n +1=2? ????1n -1n +1, 则数列???? ??1 ()a n -12前2021项和为: S 2021=2????1-12+12-13 +…+12021-12022 =2????1-12022=20211011.故选B . [答案] B

3.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1-3a n =2,则数列{a n }的前n 项和S n =( ) A .3×2n -3n -3 B .5×2n -3n -5 C .3×2n -5n -3 D .5×2n -5n -5 [解析] 因为a n +1-3a n =2,所以a n +1=2a n +3,即a n +1+3=2(a n +3),则数列{a n +3}是首项为a 1+3=5,公比为2的等比数列,其通项公式为a n +3=5×2n -1,所以a n =5×2n -1-3,分组求和可得数列{a n }的前n 项和S n =5×2n -3n -5. [答案] B 4.记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1=12,n +1a n +1=n a n +2n ,则S 100=( ) A .2-492100 B .2-49299 C .2-512100 D .2-51299 [解析] 根据题意,由n +1a n +1=n a n +2n ,得n +1a n +1-n a n =2n , 则n a n -n -1a n -1=2n -1,n -1a n -1-n -2a n -2 =2n -2,…,2a 2-1a 1=21, 将各式相加得n a n -1a 1 =21+22+…+2n -1=2n -2, 又a 1=12,所以a n =n·12n , 因此S 100=1×12+2×122+…+100×12100, 则12S 100=1×122+2×123+…+99×12100+100×12101, 将两式相减得12S 100=12+122+123+…+12100-100×12101, 所以S 100=2-????1299-100·????12100 =2-51299 . [答案] D 5.已知公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=1,且a 2,a 5,a 14成等比数列,{a n }的前n 项和为S n ,b n =(-1)n S n .则数列{b n }的前2n 项和T 2n =________. [解析] 由题意,a 1=1,{a n }是等差数列,a 2,a 5,a 14成等比数列, 可得:(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 解得:d =2,

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