小升初数学培训小学经典思维训练

第一章 数 第二章 定义新运算

一、例题解析

1.定义新运算“*”，对于任何数a 和b ，a*b=a

b

a +；当a=2，b=3时，2*3=

2

3

2+= （1）计算1996*1998， （2）计算1997*（7*1）；

2.定义一种运算“∧”，对于任何两个正数a 和b ，a ∧b=b

a ab

+；计算 2∧4∧8∧16∧16

3、有一个数学运算符号“ ”，使下列算式成立：2 4＝8，5 3＝13，3 5＝11，9 7＝25，求7 3＝

4.规定a △b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b -1)（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65；那么x=

二、变式拓展

1、a *b 表示a 的3倍减去b 的1/2 ，例如：1*2=1 ×3-2×2

1

=2； 根据以上的规定，计算：①10*6 ②7*（2*1）

2、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：

2132= 63，5497 =45

11

，6571=426。求1135

4

的值。

3、定义两种运算“ ”、 ，对于任意两个整数a 、b ，ab= a+b-1,ab=a ×b-1。①计算4[(68) (35)的值；②若x(x4)=30，求x 的值。

三、能力提升

4、对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y =2y

mx 6x y

（其中m

是一个确定的整数），如果1△2＝2，则2△9＝

5、x 和y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x△y=kxy，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。

第三章 计量单位

一、 复习前的思考：

成语中，“半斤八两”的意思是什么

（1）“半”用数字来表示是什么在这个成语里，它为什么能和“八”相等呢

（2）在今天看来，半斤应该和几两相等

二、 计量单位的复习：

到目前为止，我们学习了很多计量单位，你知道有哪些吗 1． 长度单位：米、厘米、分米、毫米、千米、公里、里…… 2． 时间单位：年、月、天、小时、分钟、秒…… 3． 重量单位：千克、克、吨、公斤、斤…… 4． 面积单位：平方米、亩、公顷…… 5． 容积单位：立方米、升…… 三、 单位之间的换算：

1．长度单位：

2．时间单位：

3．重量单位：

4．面积单位：

5．容积单位：

四、练习（时间标准：7分/节）：

A

1、在括号里填上适当的单位名称。

1．一袋大米重40（）。

2．书桌的长是86（），桌面的面积约为54（）。

3．汽车每小时行100（）。

4．一个热水瓶大约能装水( )。

5．一座楼房高15（），占地600（）。

6．小明吃一顿饭花了20（）。

2、在括号里填上适当的数

①3千米＝（）米3厘米＝（）毫米

②4平方米＝（）平方分米＝（）平方厘米

③吨＝（）千克＝（）克

④4日＝（）小时＝（）分

⑤6分米＝（）米50050米＝（）公里

⑥20平方厘米＝（）平方米公顷＝（）平方千米

⑦1.7升＝（）立方米＝（）立方厘米

3、在括号里填上适当的数

①3千米8米＝（）米4米2分米＝（）厘米

②43平方米120平方厘米＝（）平方分米

③8吨300千克＝（）千克

④5日18小时＝（）小时9时30分＝（）分

⑤分米＝（）米（）分米（）厘米

⑥47055立方分米＝（）立方米（）立方分米

⑦10200千克＝（）吨（）千克

⑧30个月＝（）年（）月830秒＝（）分（）秒

4、一年有4个季度，每3个月为一个季度，问：每个季度各有多少天

5、小华步行4千500米，用了1小时15分。平均每分钟行多少米

B

1、在括号里填上适当的单位名称。

1．一个成人约重65（）。

2．小明骑自行车每小时行12（）。

3．一分硬币厚1（），一张邮票的面积为6（）。4．一支铅笔长18（）。

5．一节课的时间大约是45（）。

6．一个水桶大约能装水25（）。

2、在括号里填上适当的数

①千米＝（）米12厘米＝（）毫米

厘米＝（）米1791分米＝（）公里

②平方米＝（）平方分米＝（）平方厘米

③3吨＝（）千克＝（）克

1422克＝（）公斤＝（）斤

④6日＝（）小时＝（）分

1平年＝（）天＝（）小时

⑤160分米＝（）米51000米＝（）公里

⑥120000平方厘米＝（）平方米＝（）平方分米

⑦330000公顷＝（）平方千米

⑧360秒＝（）分72小时＝（）日

1平年＝（）日＝（）小时

3、.在括号里填上适当的数

①3平方米1平方分米23平方厘米＝（）平方分米

②6千米18米＝（）米3米12分米＝（）厘米

③5吨12千克＝（）千克＝（）克

④7日8小时12分＝（）分

7日12分＝（）小时

⑤648厘米＝（）米（）分米（）厘米

⑥立方分米＝（）立方米（）平方分米（）立方厘米

⑦90500千克＝（）吨（）千克

千克＝（）吨（）千克＝（）克

⑧ 81个月＝（）年（）月742秒＝（）分（）秒

第四章几何之奇

几何的题型无外乎四种：1．概念的判断与分析；2．求长度（边长、棱长、周长、直径、弧长）；3．求面积（表面积）；4．求体积。

第一节判断正误

一、典型例题：1．四条边相等的四边形是正方形。

2．由三条线段组成的图形一定是三角形。

3．等边三角形是等腰三角形。

4．四个角都是直角的四边形是正方形。

5．平行四边形的两条对边平行。

6．射线可以向任意一方无限延伸。

7．如图3－1，直线AC>直线AB。

8．具有公共端点的两条线段组成的图形叫做角。

9．余角的度数比补角的要小。

10．长方体的每一个面都是长方形。

11．知道三角形的一个边长和一个高，我们就能算出它的面积。12．周长相等的两扇形面积也一定相等。

13．弧较大的扇形面积也较大。

14．大圆半径是小圆的直径，大圆面积是小圆面积的两倍。15．半圆的弧长就是半圆的周长。

二、变式拓展：

1．圆的周长缩小1/2,直径缩小1/2，它的面积也缩小1/2。

2．圆周率的大小随着圆的面积大小而变化。

3．半圆的周长是圆周长的一半。圆柱底面直径扩大2倍，高缩小1/2，则它的侧面积大小不变，体积也不变。

4．四条角都是直角的四边形是长方形。

5．两对角都是直角的四边形是长方形。

6．等腰直角三角形是等腰三角形。

7．由四条线段组成的图形一定是四边形。

8．梯形的对边平行。

9．周长相等的圆和正方形，正方形的面积大。

10．长方体与圆柱的底面积及高相等，体积也相等。

11．任何扇形都能卷成圆锥形。

12．圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

13．通过圆心的线段是这个圆的直径。

14．圆的周长增加2π厘米，圆的半径增加1厘米。

15．圆柱体底面半径扩大3倍，体积跟着扩大3倍。

第二节长度类

一、典型例题：

1.如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，长是12厘米，宽

是10厘米，求小长方形的周长。

2.如图，长方形长8厘米，宽5厘米，沿对角线BD对折得到一个几

何图形，求图形阴影部分的周长。

3.下图是正方体,四边形APQC是表示用平面截正方体的截面,截面的线

表现在展开图的哪里呢把大致的图形在右面展开图里画出来.

4.一个长方形水箱,从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原

来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶

P

E

F

面仍然高于水面，这时水面高多少厘米

5.一块长方体木块长米，宽分米，高分米。要把它裁成大小相等的正方

体小木块，不许有剩余，小正方体的棱长最大是多少分米

6.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小

28平方厘米. AB长40厘米, BC长多少厘米

7.一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个

正方体棱长的总和是多少

8.如图所示，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部

分的周长是多少厘米(保留两位小数)

9.如图3-4，正方形ABCD的边长是1厘米，那么阴影部分的周长是

多少

10.直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图3-5，

试求金属带的长度。

二、变式拓展：

1.

求阴影部分的周长（单位：厘米）

2.将半径分别3厘米和2厘米的两个半圆如图3－11放置，求阴影部

分的周长。

3.把一块长方形地的长和宽都减少3米，面积就比原来减少72平方米。

求这块地原来的周长是多少

4.如图，ABCD是边长24厘米的正方形，已知CE的长度是ED的3

倍。求DF的长度。

5.如图，直径为3厘米的半圆绕A点顺时针旋转60o，使AB到达AC

的位置，求图中阴影部分的周长。

6.如图，一个大圆内有三个大小不等的小圆，这些小圆的圆心都在大圆

的同一条直径上，连同大圆在内的每相邻的两个圆都相切，已知大

圆的周长是厘米，求三个小圆的周长之和。

7.在图中，长方形ABCD的长是80厘米，宽是60厘米，CE长40厘

米，三角形BEF的面积是1500平方厘米，求DF的长。

第三节面积类

一、典型例题

1.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体,

这个立方体的表面积是平方厘米.

2.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形

的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米

3. 下图中圆的半径是 4厘米，O 是圆心，AB 和 DC 互相垂直，OE=1

厘米，EF=2厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米

4. 在图中，三角形ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC

是半圆的直径。已知AB=BC=10厘米，那么阴影面积是多少平方厘米

5. 在图中，正方形ABCD 的边长是4厘米，将以圆弧为分界的甲、乙

两部分的面积中的大者减去小者，所得的差是多少平方厘米

6. 有一块黑白格子布如图所示。白色大正方形的边长是15厘米，白色

的小正方形边长是5厘米。那么这块布中白色的面积占总面积的百分之几

7. 在图中，3个圆的半径都是1厘米，圆心分别为O1、O2、O3，图

中阴影部分的面积是多少平方厘米

8. 一个棱长为4分米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心

位置，挖去一个棱长为1分米的小正方体。挖完后得到的形体，它的表面积是多少平方分米

9. 在图中，三角形ABC 的面积是105平方厘米，AE=ED ，BD=2DC 。

那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米

10. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长

BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

二、变式拓展

1. 一个平行四边形分成两部分，如图。它们的面积差是平方厘米，问梯

形的上底是多少厘米

2.图中，四边形ABCD的面积是1平方厘米，AB=AE，BC=BF，DC=CG，

AD=DH，求四边形EFGH的面积.

3.有一个正方体形状的木块，棱长1米。沿水平方向将它锯成3片，

每片又锯成4条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如图44）。这60块长方体的表面积总和是多少平方米

4.图中圆的半径是6厘米，求图中的阴影面积。

5.在图中，三角形ABC是等腰直角三角形，分别以A、B为圆心画弧，

两弧相交于D。已知AB长20厘米，求图中阴影部分的面积。

6.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴

影部分的面积.

7.下图中长方形的长是8厘米，宽是6厘米。求图中阴影部分的面积。

8.图中，BD=3AD，CE=5AE，问三角形ABC的面积是三角形ADE

的面积的多少倍

第四节求体积

一、典型例题：

1.如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙

厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是 .

2. 图中是一个圆柱和一个圆锥(尺寸如图).问:

柱

锥V V 等于 .

3. 一个长方体如果长增加5厘米，则体积增加150厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160立方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米。问原长方体的表面积是多少

4. 一块长方形的铁皮，长38厘米，宽31厘米。现在把它的四角分别减去边长为3厘米的正方形，然后焊成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少升

5. 把棱长为2厘米的正方体削成最大圆柱体，则圆柱体的体积和表面积

各是多少

二、 变式拓展：

1. 一个长方体的表面积是平方分米.底面的面积是19平方分米.底面周长是分米,这个长方体的体积是 .

2. 一个边长为4分米的正方形,以它的一条边为轴,把正方形旋转一周后,得到一个 ,这个形体的体积是 .

3. 求下列图形的体积和表面积。（单位：厘米）

4. 在一个底面半径是20 厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10

2

厘米的的圆锥形铁铊完全浸没在水中。当铁铊取出后，桶的水面下降了2厘米，求铁铊的高。

第五章应用之妙

第一节工程问题

一、典型例题

1、一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天

2、某制衣厂要制做一批服装.原计划每天生产300件，60天完成任务.实际上每天生产的服装件数比原计划多20％，完成这批服装的制做任务，实际用了多少天

3、一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙。若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时

4、师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同。师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同。问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天

5．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空

二、变式拓展

1.一项工程，甲、乙两队合作60天可完成.如果甲、乙两队合作24天后，余下的工程由乙队再用48天才能完成。.问：甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天

2.一部书稿，甲、乙两个打字员需20天完成，两人合打了8天后，余下的书稿由乙单独打。若这部书稿由甲单独打需28天完成，问乙又干了几天才完成

3.有一批机器零件，甲单独做需17天，比乙单独做多用了1天。两人合作8天后，剩下的420个零件由甲单独制作，问甲共制作了多少个零件甲共干了几天

4.水池上装有甲、乙两个水管，齐开两水管12小时注满水池。若甲管开了5小时，乙管开了6小时，只注了水池的

20

9

，若单独开甲或乙各需几小时注满水池

5．某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天

6．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间

第二节行程问题

一、典型例题：

1、一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，

但行到一半路程时，汽车发生故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达，行驶余下的路程每分比原来快多少

2、甲、乙两车从A、B两地相向而行，途中相遇，相遇时距A地70千米。相遇后继续以原速前进，到达目的地后马上返回，在途中第二次相遇，这时，相遇地点距A地50千米。已知从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求甲、乙两车的速度

3、一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行；由B到A是逆水航行.已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用时间是由A到B所用时间的倍，求水流速度。

4、一个游泳池长50米，甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回，照这样往返游，两人游了两分钟，已知甲每秒钟游3米，乙每秒钟游2米，从出发后的两分钟内，二人相遇了几次

5、运动场的跑道周长400米，甲、乙两名运动员从起跑点同时同向出发，甲每分钟跑375米，乙每分钟跑325米，求多少秒后，甲超过乙一周

6、一个步行人和一个骑车人沿同一条公共汽车线路同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔20分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔40分钟有一辆公共汽车超过骑车人.如果公共汽车从始发站，每次间隔同样的时间发一辆车，那么每隔多少分钟发一辆公共汽车

二、变式拓展：

1、一辆汽车从甲地开往乙地，行驶2小时后，离乙地还有45千米，已知它4小时可行完全程，两地的距离是多少

2、小明从家到王者家教中心，先用每分50米的速度走了2分钟，如果这样，他上课就要迟到8分钟。后来，他加快速度，每分钟比原先多走10米，结果早到5分钟。求小明家到王者家教中心的距离

3、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反的方向跑，1分钟后相遇；如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。

4、上、下行的轨道上，两列火车相对开来，甲车长235米，每秒行25米，乙车长215米，每秒行20米，问两车从相遇到离开需要几秒

5、甲车长180米，每秒行25米，乙车长385米，每秒行20米。两车若同向而行，车头齐时，问甲车几秒可超过乙车

6、在一条笔直的公路干线上，有两个骑车人从相差500米的A、B两地同时出发，甲从A地出发，每分钟行驶300米；乙从B地出发，每分钟行驶200米；问经过多长时间，两人相距5000米

7、甲、乙、丙三人骑车同时同地出发，追赶前面的一个行人，他们分别用6分、9分、12分追上行人。已知甲每分钟行400米，乙每分钟性360米，丙每分钟行多少米

第三节比和比例

一、典型例题

1、甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5。求甲与乙的面积之比。

2、如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.

3、大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯。如果记号A、B、C表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求A:B:C。

4、加工一个零件，甲需3分钟，乙需分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个所需时间是多少

5、有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度比6：5，甲钉子的2/3钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5：4，而它们留在墙外的部分一样长。问：甲、乙、丙的长度之比是多少

6、甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元。某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元

7、有一些画片，小明取了其中的1/3还多3张，小强取了剩下的1/3再加33张，他们两人取的画片一样多。问这些画片有多少张

二、变式拓展

1、一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3。小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6。已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米。问小龙走完全程用了多少时间

2、甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的1/2等于乙花钱数的1/3，乙花钱数的3/4等于丙花钱数的4/7，结果丙比甲多花93元，问他们三人共花多少钱

3、某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多。各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员

4、一个分数，分子与分母之和是100。如果分子加23，分母加32，新的分子约分后是2/3，原来的分数是多少

5、甲、乙两同学的分数比是5∶4。如果甲少得分，乙多得分，则他们

的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分

6、张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元。问每家各收入多少元

7 、小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸

8、箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只

第四节浓度问题

一、典型例题

1、浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖

2、20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克

3、在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，再加入多少千克酒精，浓度变为50％

4、现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水

5、一容器内装有10升纯酒精，倒出升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是多少

二、变式拓展

1、甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为％。问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升

2、甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有％的食盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样。问倒入多少克水

3、甲容器有浓度为2％的盐水180克，乙容器中有浓度为9％的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲。再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水。问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少（2）再往乙容器倒入水多少克

4、甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如果甲的重量是乙的倍，得到含金%的合金，求甲、乙两种含金样品中含金的百分数

第五节经济问题

一、典型例题

1、某商店按20％利润定价，然后又按8折出售，结果亏损了64元，这一商品的成本是多少

2、某商品按每个5元利润卖出4个的钱数，与按每个20元的利润卖出3个的钱数一样多，问商品的每个成本是多少

3、一件衣服，第一天按原价出售，没人来买，第二天降价20％出售，仍无人问津，第三天再降价24元，终于售出。已知售出价格恰是原价的56％，那么原价是多少

4、银行整存整取的年利率是：二年期为11．7％，三年期为12．24％，五年期为13．86％．如果甲、乙二人同时各存人一万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙存五年期．五年后，二人同时取出，那么谁的收益多，多多少元

5、张阿姨今天把20000元人民币存人银行，定期3年．2002年4月18日，她可从银行取回本金、利息共22484元。定期存款三年期的年利率是多少

二、变式拓展

1、某人初买了一种股票，该股票当年下跌20％，第二年上涨多少才能保持原值

2、某商品按定价的80％（八折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少