绝对值竞赛培优(一)

绝对值培优（一）

教学目的：

1.会利用零点分段法和分类讨论思想去绝对值符号；

2.深入理解绝对值的几何意义。

重点难点：

1、零点分段法和分类讨论思想

2、利用绝对值的几何意义解决距离问题

知识回顾：

绝对值的意义

（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。

1、 绝对值的常用性质：

⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.

⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a ﹙a ＞0﹚则x ＝±a. ⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)2＝|a 2|﹦a 2

⑹|ab|﹦|a|?|b| ⑺|b

a b a =﹙b ≠0﹚ 解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：

1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。

2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。

3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。

☆教学过程：

★基础知识检测：

★典例解析：

★.求未知数 例1：若5a =，则a = 。若0a =，则a =

思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？

变式1:若9x =-，则x = ；

若()2.8x =--，则x = ；

若2x -=-，则x = ；

变式2：25x -=若，则x =

若21 3.5x -=，则x = 。

★.非负数的性质应用

例2：若320a b ++-=，则a b += 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？ 变式：1：非负数类型玩花样：若()2120a b -++=，则()2009a b += 。

变式：2：变量个数不断增加：若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

★数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -

例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4

-与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .

（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 ________________.

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.

（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

（5）若1232008x x x x -+-+-++- 的值为常数，试求x 的取值范围．

★绝对值的最值问题

例4.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。（4）求987-+-+-x x x 的最小值。

（2）当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______

当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.

（3） 已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．

（4） 利用数轴分析23x x -++，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x > 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；⑵当x < 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越

来越大；⑶当 x ≤

≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，23x x -++有最小值 ，即等于 到 的距离 （5） 利用数轴分析71x x +--，这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当x ≤

时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；

⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子

71x x +--当x 时，有最大值 ；当x 时，有最小值 ； ★.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）

例5：阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()

0000

<=>?????-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当1-

（2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ；

（3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。

综上讨论，原式=()()()

2211123

12≥<≤--

（1） 先分别求出2+x 和4-x 的零点值，再化简42-++x x

（2） 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（3） 如果2x ＋| 4－5x |＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x 的取值范围。

★课后练习

3．若实数x 、y 满足2002(x 一1)2 1122013+--=y x ，则=+22y x ．

4. 若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．

A ．b a >

B ．b a =

C ．b a <

D ．b a ≥

4、 若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

5、 先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．

6、 当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b |有最大值是_______.

7、

1

1-++x x 的最小值是（ ） A ． 2 B ．0 C ．1 D ．-1

★★★8、 ⑴求当x 取何值时，1232013x x x x -+-+-++- 有最小值，最小值是多少。

⑵求当x 取何值时，1232012x x x x -+-+-++- 有最小值，最小值是多少。