控制理论离线作业答案

控制理论离线作业答案 Prepared on 22 November 2020

浙江大学远程教育学院

《控制理论》课程作业

姓名：郭超学号：

年级：2012秋学习中心：华家池

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第一章

1-1 与开环系统相比，闭环系统的最大特点是：检测偏差，纠正偏差。

1-2 分析一个控制系统从以下三方面分析：稳定性、准确性、快速性。

1-3 控制系统分为两种基本形式开环系统和闭环系统。

1-4 负正反馈如何定义

解：将反馈环节取得的实际输出信号加以处理，并在输入信号中减去这样的反馈量，再将结果输入到控制器中去控制被控对象，我们称这样的反馈是负反馈；反之，若由输入量和反馈相加作为控制器的输入，则称为正反馈。

1-5 若组成控制系统的元件都具有线性特性，则称为线性控制系统。

1-6 控制系统中各部分的信号都是时间的连续函数，则称为连续控制系统。

1-7 在控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号，则称此系统为离散控制系统。

1-8控制系统一般可分为两种基本结构：开环控制、闭环控制；控制系统可进行不同的分类：线性系统与非线性系统＿; 恒值系统与随动系统；连续系统与离散系统。

1-9请画出闭环控制系统的结构原理图，并简要介绍各部分的主要作用。

系统的控制器和控制对象共同构成了前向通道，而反馈装置构成了系统的反馈通道。

1-10 控制系统的性能要求一般有稳定性、准确性和快速性；常见的线性定常系统的稳定性判据有劳斯判据 和乃奎斯特判据。

第二章

2-1 如图1所示，分别用方框图简化法或梅逊公式计算传递函数()

()

C s R s （写出推导过程）。

1 方框图简化

（a ） (b) (c) (d)

(e)

系统的方块图化简化过程

图1 图1 闭环控制系统

2 梅逊公式：

在这个系统中，输入量R (s )和输出量C (s )之间，只有一条前向通道，前向通道的增益为

从图可以看出，这里有三个单独的回路。这些回路的增益为

1211H G G L =，2322H G G L -=，3213G G G L -=

应当指出，因为所有三个回路具有一条公共支路，所以这里没有不接触的回路。因此，特征式Δ为

联接输入节点和输出节点的前向通道的余因式Δ1，可以通过除去与该通道接触的回路的方法而得到。因为通道P 1与三个回路都接触，所以得到

Δ1=1

因此，输入量R (s )和输出量C (s )之间的总增益，或闭环传递函数为

2-2 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 t t e e t c --+-=221)(，试求系统的传递函数和脉冲响应。

解 单位阶跃输入时，有s

s R 1

)(=，依题意

2-3 已知系统传递函数

2

32

)()(2++=s s s R s C ，且初始条件为1)0(-=c ，0)0(=c

，试求系统在输入)(1)(t t r =作用下的输出)(t c 。

解 系统的微分方程为

)(2)(2)

(3)(2

2t r t c dt t dc dt

t c d =++ （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 s

s C s sC s s C s 2

)(23)(3)(2=

++++ （2） 2-4 飞机俯仰角控制系统结构图如图2所示，试求闭环传递函数)()(s s Q r c 。

图2 飞机俯仰角控制系统结构图

解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 2-5 试绘制图3所示系统的信号流图。

图 3

解：如下图4

图4

2-6 试绘制图5所示信号流图对应的系统结构图。

图 5

解：如下图6

图6

2-7 如图7所示，已知单位负反馈系统开环传递函数 且初始条件为(0)1c =-，(0)0c =。试求：

（1） 系统在()1()r t t =作用下的输出响应()c t ； （2） 系统在()2()2r t t t =+作用下的静态误差ss e

图 7

解：

1．初始条件为0时，2

1()

()31()

C s H s s s R s =

=++ 现2()(0)(0)3()3(0)()()s c s sc c sc s c c s R s --+-+=

代入(0)1c =-，(0)0c =：2()3()()3()s c s sc s c s s R s ++++= 当()1()r t t =，()1/R s s =

则23231

()3s s C s s s s

--+=++

2-8 某系统方块图如下图8所示，试画出其信号流图并用梅逊公式计算()C s 与()R s 之间的传递函数。

图8

解：信号流图

图9

系统有一条前向通道，三个单回路，一对互不接触回路 由图得：

1123P G G G = ，11?=

第三章

3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 36

936

2++=s s G B 。

试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值

解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。 上升时间 t r 峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％

3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为

试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为

与二阶系统传递函数标准形式2

222n

n n s s ωζωω++相比较可得12,12

==n n ζωω，即n ω=1,ζ=。由此可知，系统为欠阻尼状态。 故，单位阶跃响应的性能指标为

3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间

m t =秒，试确定K 和τ的值。

解：[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,n ω的关系；通过ζ,n ω把%δ,m t 与K,τ联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得

由题目给定： %25%100%2

1=?=--ζζ

πδe

即 25.02

1=--ζζ

πe

两边取自然对数可得

依据给定的峰值时间： 5.012

=-=

ζ

ωπn m t （秒）

所以 85.615.02

=-=ζ

π

ωn （弧度/秒）

故可得 τ≈

3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ?= 时，试求： (1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。

(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

3－3相似。

(1) 由结构图可知闭环传递函数为 可得 )/(07.750秒弧度==n ω 由于s

s X 2

)(=

输出的拉氏变换为

则拉氏反变换为

(2) 当τ≠0时，闭环传递函数

由 %20%100%2

1=?=--

ζ

ζπ

δe

两边取自然对数 61.12.0ln 12

-==--ζ

ζπ

， 可得

故 73.85

.)

107.746.0(2=-?=

o τ

3-5

(1) 什么叫时间响应

答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。

(2) 时间响应由哪几部份组成各部份的定义是什么

答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。

(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能

答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。

(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些它们反映系统哪些方面的性能 答：延迟时间d t ；上升时间r t ；峰值时间m t ；调节时间s t ；最大超调量

%δ.d t ,r t ,m t ,s t 反映系统的快速性，即灵敏度，%δ反映系统的相对稳定性。

3-6设系统的特征方程式为 试判别系统的稳定性。

解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。 由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为

根2

3

21,3,24,321j s s s ±-=-=-=均有负实部，系统稳定。

3-7设系统的特征方程式为 解：列劳斯表

将特征方程式因式分解为 根为 2,132,1-=±=s j s 系统等幅振荡，所以系统临界稳定。

3-8 单位反馈系统的开环传递函数为 试求k 的稳定范围。

解：系统的闭环特征方程： 列劳斯表

系统稳定的充分必要条件 K>0 得 K<14

所以保证系统稳定，K 的取值范围为0

3-9

(1) 系统的稳定性定义是什么

答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。

(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么

答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。

(3) 误差及稳态误差的定义是什么

答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差e(t)；输入与主反馈信号之差。稳态误差，误差函数e(t)，当t →∞时的误差值称为稳态误差,即

3-10已知单位反馈随动系统如图3所示。若16=K ，s T 25.0=。试求： （1）典型二阶系统的特征参数ζ和n ω； （2）暂态特性指标p

M 和)5(00

s t ；

（3）欲使

016=p M ，当T 不变时，K 应取何值。

图3随动系统结构图

解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为 与典型二阶系统的传递函数比较

得

KT T K n 21,==

ζω

已知K 、T 值，由上式可得

于是，可 %

47%100%100%2

2

25.0125.01=?=?=--

--

πζ

ζπ

e e

M p

为使

016=p M ，由公式可求得5.0=ζ，即应使ζ由增大到，此时

即K 值应减小4倍。

3-11控制系统框图如图4所示。要求系统单位阶跃响应的超调量%

5.9=p M ，且峰值时

间

s

t p 5.0=。试确定1K 与τ的值，并计算在此情况下系统上升时间r t 和调整时间

)2(00s t 。

图4 控制系统框图

解：由图可得控制系统的闭环传递函数为：

系统的特征方程为010)101(12

=+++K s s τ。所以

由题设条件：

095

.0%1002

1=?=--ξξπ

e

M p ，

s

t n p 5.012

=-=ξ

ωπ

可解得854.7,6.0==n ωξ，进而求得 在此情况下系统上升时间

rad

s

t n r 9273.01.53)(cos 35.01012

====--=

-ζθζωθπ

调整时间

85

.04

%)2(=≈

n

s t ζω

3-12设系统的特征方程式分别为

1．05432234=++++s s s s 2．01222

34=++++s s s s 3．022332

345=+++++s s s s s

试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。 1．列劳斯表如下

s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 -6 s0 5

劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1→-6→5，所以系统有两个根在s 平面的右半平面。 2．列劳斯表如下

s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0(ε) 1 s1 2-2/ε s0 1

由于ε是很小的正数，ε行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。

3．列劳斯表如下

s5 1 3 2

s4 1 3 2

s3 0 0

由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为

A(s)= s4+3s2+2s0

将辅助方程式A(s)对s求导数得

用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为

s5 1 3 2

s4 1 3 2

s3 4 6

s2 3/2 2

s1 2/3

s0 2

从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s右半平面。但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。

3-13已知系统结构图如图5所示，试确定使系Array统稳定的K值范围。

解：解题的关键是由系统结构图正确求出系

统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的K值范围。

图5控制系统结构图

闭环系统的传递函数为

其闭环特征方程式为 s3 + 3s2 + 2s+ K =0

列劳斯表为：

s3 1 2 s2 3 K s1 (6-K )/3 s0 K

为使系统稳定，必须使劳斯表中第一列系数全大于零，即0>K 和06>-K ，因此，K 的取值范围为60<

（1）)15.0)(11.0(10

)(++=

s s s s G （2）)

5.0()

5)(1()(10)(2

=+++=a s s s a s s G

试求：1．静态位置误差系数

p

K 、静态速度误差系数v K 和静态加速度误差系数a K ；

2．求当输入信号为2

4)(1)(t t t t r ++=时的系统的稳态误差。

解：（1）首先判断系统的稳定性。

系统的闭环传递函数为

2002012200

)(1)()(23

+++=+=

s s s s G s G s Φ

其闭环特征方程为020020122

3=+++s s s 。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为Ⅰ

型，可以求得静态误差为：

∞

=++==→→)

15.0)(11.0(10

lim

)(lim 00

s s s s G K s s p

所以给定输入信号的稳态误差计算如下： (2) 判断系统稳定性。

系统的闭环传递函数为

51056)

5.0(10)(1)()(234

+++++=+=

s s s s s s G s G s Φ

其闭环特征方程为0510562

34=++++s s s s 。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为Ⅱ

型，可以求得静态误差为：

∞

=+++==→→)

5)(1()

5.0(10lim

)(lim 200

s s s s s G K s s p

所以给定输入信号的稳态误差计算如下：

注意：该例中若取2=a ，则由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈不上求稳态误差。

第四章

4-1．单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解：按下述步骤绘制概略根轨迹

（1） 系统开环有限零点为11z =-，开环有限极点为1230,2,3p p p ==-=-。 （2） 实轴上的根轨迹区间为[3,2],[1,0]---。

（3） 根轨迹的渐近线条数为2n m -=，渐近线的倾角为1290,90??==-，渐近线与实

轴的交点为1

1

2n m

i i

i i P z

n m

ασ==-=

=--∑∑

（4） 确定分离点。分离点方程为1111

231

d d d d ++=

+++，用试探法求得 2.47d =-。 闭环系统概略根轨迹如下图1

图1

4-2．设某负反馈系统的开环传递函数为2

(1)

()()(0.12)

K s G s H s s s +=+，试绘制该系统的根轨迹图。

解：渐近线与实轴的交点101

4.52

ασ-+=

=- 渐近线与实轴正方向的夹角为2

π±

。 分离点与汇合点：由222

(10)(21320)

01(1)d s s s s s ds s s ??+++== ?++?? 得2213200s s ++=

所以，1,2 2.54s =--或。根轨迹如下图2

图2

4-3．以知系统开环传递函数2

()()(4)(420)

K

G s H s s s s s =

+++试绘制闭环系统的根轨迹。 解：（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，-4，24j -± （2）实轴上的根轨迹区间为[4,0]-。

（3）渐近线有四条2,45,135,225,315a a σ????=-=。

（4）根轨迹的起始角。复数开环极点343,42490,90p p p j θθ=-±=-=处 （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程

1111042424

d d d j d j +++=++++-

解得12,32,2d d ==-±K=100，12d d d ３，，皆为根轨迹的分离点。 （6） 系统闭环特征方程为432()836800D s s s s s K =++++= 列写劳斯表，可以求出当K=260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为

2()262600A s s =+=。解得根轨迹与虚轴的交点ω= 3

图3

4-4．单位反馈控制系统的开环传递函数为(1)

()(2)

K s G s s s -=+，k 的变换范围为0→∞，试

绘制系统根轨迹。

解：分析知道，应绘制零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数：（1）系统开环有限零点为1，开环有限极点为0，-2。 （2）实轴上的根轨迹区间为[2,0],[1,]-+∞。 （3）渐近线有一条0a ??=

（4）确定根轨迹的分离点，由分离点的方程

222

(2)(1)(22)()0(2)d K s s K s s G s ds s s +--+==+，解得122.732,0.732d d ==-

（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为2()20D S s s Ks K =++-=。当

k=-2

时，闭环特征方程的根为1,2s =±4：

图4

4-5．以知单位反馈系统的开环传递函数为21

()

4()(1)

s a G s s s +=+，a 的变化范围为[0,]+∞，试

绘制系统的闭环根轨迹。

解：系统闭环特征方程为3211

()044

D S s s s a =+++=

即有32141014a

s s s

+=++。等效开环传递函数为132()14K G s s s s =

++，14K a =，变化范围为[0,]+∞。

（1） 等效系统无开环有限零点，开环极点为1231

0,2p p p ===-

（2） 实轴上的根轨迹区间为(,0]-∞

（3） 根轨迹有三条渐近线1

,60,180,1203

a a σ???=-=-

（4） 根轨迹的分离点方程22

41

(32)

4()01()

2K s s d G s ds s s -++==+，解得12

11,26d d =-=-。 （5） 确定根轨迹与虚轴的交点。由劳斯表，可以求出当a=1时，劳斯表出现全零行，

辅助方程为21()04A s s =+

=。解得1,21

2

s j =±。如下图5 图5

4-6. 设单位反馈控制系统开环传递函数)

15.0)(12.0()(++=s s s K

s G ，试概略绘出系统根轨

迹图（要求确定分离点坐标d ）。

解)

2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=

s s s K

s s s K s G

系统有三个开环极点：01=p ,22-=p ,53-=p ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-, []0,2-

② 渐近线： ???

????±=+=-=--=πππ?σ,33)12(3

73520k a a

③ 分离点：

解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(23=+++=k s s s s D

令 ???=+-==+-=0

10)](Im[0

107)](Re[3

2ωωωωωj D k j D 解得???==7

10

k ω

与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图6所示。

图6

4-7．设系统开环传递函数

试作出b 从0→∞变化时的根轨迹。

解：做等效开环传递函数

G *(s)20

4)

4(2

+++=

s s s b ① 实轴上的根轨迹：]4,(--∞ ② 分离点：

4

1

421421+=-++++d j d j d

解得：472.01-=d (舍去)，472.82=d

如图解4－14所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。

图7 根轨迹图

第五章

5-1 试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：

解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节K s G =)(1、两个一阶惯性环节s s G +=11)(2和s

s G 1.011)(3+=。这三个环节的幅、相频率特性分别为

因而开环系统的幅频特性为 相频特性为

取不同的频率ω值，可得到对应的

幅值和相角，根据这些值可得图1所示的开环系统的奈氏图。

MATLAB 中有专门的函数Nyquist 用于绘制开环系统的极坐标图。

g=tf(10,conv([1,1],[,

1]))

Transfer function ：

10

------------------- s^2 + s + 1 Nyquist(g)

图1 开环系统的奈氏图

图2 开环系统的频率特性 5-2 已知一反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制开环系统的伯德图。

解 1）系统的开环频率特性为

由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为 系统的相频特性为

2）系统的转折频率分别为2和10。

3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段，1=v ，则渐近线的斜率为

dB /dec 20-。在1=ω处，其幅值为dB 2010lg 20=；当2≥ω时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由dB /dec 20-变为dB /dec 40-；同理，当10≥ω时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升dB/dec 20，即由

dB /dec 40-变为dB /dec 20-。

4）对幅频特性曲线进行修正。

所以，该闭环系统是稳定的。

图3