二次函数专题——含参二次函数

含参的二次函数

二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。 例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。 解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。 这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧

这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。 那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，

（3）就会在2的地方取得最大值。那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤?=?=->?

也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。3a =放在哪边都行，代入上面的16816838a -=-?=-，代入下面的444438a -=-?=-，所以3a =放在上面下面都是可以的。

接下来最小值，还是围绕对称轴的变化，我们对于这种对称轴在动，区间定，进行分类讨论，在分类讨论的时候一般会让对称轴从左到右移动，这样子讨论起来比较不容易乱。

（1） 对称轴在区间左侧，2a ≤的时候，在2取得最小值，min ()(2)44f x f a ==-。

（2） 对称轴在2到4中间的时候，开口向上的二次函数在对称轴取得最小值，当24a <≤时，

2min ()()f x f a a ==-

（3） 对称轴在区间右侧，4a >的时候，在4处取得最小值，min ()(4)168f x f a ==-

所以，这道题根据对称轴，最大值分两种情况，最小值分三种情况，含参的二次函数分类讨论的问题是高中考察的重点，重点在于能否清晰的做一个分类讨论，得到一个分段函数的解析式。与之相类似的另一种题型： 例2．求2

()2f x x x =-在[,1]t t +上的最大值和最小值

这一类问题叫做定轴动区间的问题，二次函数摆在这里了，还是求最大值最小值，但是区间在变，思路还是一样的，还是要分类讨论，只是这次我们按照区间的变化，从左到右。

首先，可以先把函数画出来，现在给了一个区间，说在这个区间[,1]t t +上，函数的最大值最小值，那么就要去思考一个问题这个区间含不含对称轴呢？（1）最大值在t 的位置取到，最小值在1t +的位置取到（2）最小值在t 的位置取到，最大值在1t +的位置取到（3）也有可能正好这个区间把对称轴包含上了，最小值在对称轴的位置取到，最大值就要看，t 和1t +，谁离对称轴远，就在谁上面取到。

那我们先看这个函数的最大值，一样的，t 和1t +谁离对称轴远，谁对应的函数值就比较大，如（3），如果把2 4 （1） 2 4 （2） 2 4 （3） t t+1 2 （1） t t+1 2 （2） t t+1 2 （3）

t 和1t +正好放在他两边对称的位置上，大家一样远，对称轴是1，那么12t =，312t +=。所以如果12t >，整个区间往右走一点点，那么1t +离对称轴远，那么(1)f t +大，如果12t <，整个区间往左走一点点，那么就()f t 大了，所以这个最大值可以写成这样的函数，

2max 22(12)()2()12(1)(1)2(1)1t f t t t f x t f t t t t ≤?=-=?>+=+-+=-?

（） 一样的，等号放在上面或者下面都可以。

接下来，最小值，我们分三种情况来讨论

（1）整个区间都在对称轴的左侧，也就是11t +≤，也就是0t ≤的时候，最小值在1t +处取到，2(1)=1f t t +-

（2）整个区间包含了对称轴，也就是0,12t t >+≤，也就是01t <≤的时候，在对称轴处取得最小值，(1)1f =-

（3）整个区间都在对称轴的右边，也就是+12t >，也就是1t >的时候，在t 处取得最小值，2()2f t t t =-

这种含参的动态问题，不管是轴动还是区间动，重点就是分类讨论，强调数形结合，结合图像来看，就能把题做的比较清楚。

例3. 1）2

0x x a ++>在区间[2,3]上恒成立，则a 的取值范围是

解析：如果把2x x a ++看成一个二次函数，则2()f x x x a =++。那么什么叫“恒成立”，就是永远成立，永远比0大，那么也就是不管x 取什么值2x x a ++都比0大，也就是即使x 取了一个值2x x a ++特别特别小也要比0大，所以这道题恒成立的意思也就是min ()0f x >。同理，如果把这道题改成()0f x <恒成立，也就是不管x 取什

么值2x x a ++都比0小，也就是即使x 取了一个值2x x a ++特别特别大也要比0小，所以要求max ()0f x <。 恒成立?大于最大，小于最小（0小于()f x 的最小值，大于()f x 的最大值）（记①）

回到这道题，min ()0f x >，那么这个函数，二次项一次项都是定的，只有常数项a 不定，那么a 决定了什么？常数项a 的变化会使函数发生上下平移，也就是说他可能是这样的一组函数：

在[2,3]上的最小值，很明显能看出在2的位置取得，所以(2)0f >，60a +>，

6a >-

这道题也可以把a 看成参数求参数的取值范围，2a x x >--，令2()g x x x =--，()

g x 这个函数图像如右图，由恒成立?大于最大，2max max (),()a x x a g x >--> 在[2,3]这个区间内，()g x 的最大值在2上取到，所以(2)6a g >=- 第二种方法?分离参数，这道题的难点在于，a 和x 都是变量，所以我们采用

这种分离参数的方法，把参数，变的东西提出来。这样一边只和a 有关，一边只和x 有关。两边单独去看的时候都不含参数，就会简单一些。单独研究x 那边的时候，这边就是一个固定的不含变量的函数图像了，这就避免了像刚才要进行复杂的分类讨论的情形，能把题做的简单一点。

2）210x ax ++>在区间[2,3]上恒成立，则a 的取值范围是

<法一>2()1f x x ax =++在[2,3]上的最小值0>，对称轴是2

a x =-，有区间[2,3]，动轴定区间分类讨论的问题，让对称轴从左到右移动

<法二>分离参数 21ax x >--，211x a x x x

-->=--，这里面有一个很危险的操作，除x 的时候，要考虑x 的正负，因为[2,3]x ∈，x 是正的，可以除。根据记①，设1()g x x x =--，max ()a g x >，11()=()g x x x x x

=---+，括号里面是学过的nike 函数，图像如图，在[2,3]之间，x 取正，括号外面加负号，上下翻转。

()g x 在[2,3]上是减函数，那么最大值在2处取得，max 5()(2)2g x g ==-，52a >- 这道题，主要强调分离参数的方法来处理，讨论一个不含参的函数，就会稍微简单一点。

3）210ax x ++>在区间[2,3]上恒成立，则a 的取值范围是

仍然可以考虑分离参数。

21ax x >--，2x 一定是正的，22111=x a x x x -->--，同样的，令2

11()g x x x =--，max ()a g x >当[2,3]x ∈。 -1/2 2 3

-1/2 2 3 1 2 3

对于求max ()g x ，可以采用换元，令1t x =（只要换元，一定要考虑新元的定义域， 11[,]32t ∈），a 大于2t t --在1

1

[,]32t ∈的时候的最大值，最大值在1

3处取得，max 114

()399a g t >=--=-

什么样的题目适合用分离变量？1）参数要好分2）分了之后得到的函数要好算

例如，2210ax a x ++>，这样的变量就不好分，如果分了之后不是常见的nike 函数，二次函数等等，就不好算。 例4．函数2()23f x x ax =-+的零点满足下列条件，分别求a 的取值范围：

1） 在(1,4)有唯一的零点

2） 在(1,4)有零点

3） 在(,2)-∞和(2,)+∞各有一个零点

4） 在(0,)+∞上没有零点

解析：零点（根）的分布问题：零点和根出现的位置，对参数有怎样的影响

1） 这个函数开口向上，对称轴x a =，恒过(0,3)，在(1,4)上有唯一的零点，大概

就有两种情况，接下来把这两个图像转化为式子，对于这两种情况对称轴在哪里都可以，

都可以使得在(1,4)之间有零点。但是，要想在1和4之间有一个根，就要求函数图像 必须与1到4中间那段线段相交，也就是(1)f 和(4)f 异号(1)(4)0f f ??<， 代入函数(42)(198)0a a --<，19

28a <<

2） 在(1,4)之间有零点，有零点和有唯一零点的区别就是有可能有两个零点， 就需要在第一问的基础上，加上在(1,4)之间有两个零点的情况，如图。 要求，对称轴必须在1到4中间，14a <<，不然不可能在1到4之间有两个零点。

可是如果只要求对称轴在1到4之间，又有可能出现图（2）的情况，所以要求 (1)0f >，(4)0f >。但是满足上述两个要求还不够，还有可能整个函数对称轴在1到4之间了，(1)f 和(4)f 都是正的，但是整个函数都在x 轴上方，也就是根本没有根，所以还要加一个条件，0?≥（取等号是因为这个时候恰好有两个相等的实根，相当于两个根都在1到4之间）。综上，共有四个条件，14a <<，(1)0f >，(4)0f >，0?≥。这四个条件取交集和第一问的只有一个零点的情况取并集。答案：19

[3,)8

3）还是要数形结合，分析一下，零点在这个位置的时候函数图像只能长成什么样子，然后在根据图像把图形翻译成式子。在(,2)-∞和(2,)+∞各有一个零点，函数图像只能长成右图的样子，对称轴在2的

左边右边无所谓，反正零点在2的左边右边各一个，怎么样能保证零点左右各一个呢，只需要

(2)0f <就够了。作为一个开口向上的二次函数，只要(2)0f <就一定有两个根，0?≥都可以 省略。答案：7

4a >

4）在0+∞（，）上没有零点，不代表零点都在[,0)-∞上，有可能一个零点都没有，所以这道题的关键是要分类讨论。第一种情况，没有零点，0?<。第二种情况，0?≥，两个根都是负的， 首先对称轴必须在负半轴，0a <；但是对称轴是负的，能保证两个根都是负的

么？就这道题而言是可以的。因为对称轴是负的，小的根比对称轴小一定是负的， 只需要保证大根是负的，也就是(0)0f >，这道题中(0)30f =>。

综上， (,3)a ∈-∞

含参的二次函数，动轴动区间?分类讨论

恒成立?分离参数

零点分布问题?画图，数形结合，把图形表示成式子

-1/2 1/3 1/2 3

1 4

3 1

4 (1) 3 1 4 (2)

3

2

3 (1) 3 (2)