中考数学专题复习 全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结

一、角平分线模型应用

1.角平分性质模型：

辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC

（1）.例题应用：

①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.

②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.

图1 图2

①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）

(2).模型巩固：

练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.

.求证：?=∠+∠180C A

图3

练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，

图4

练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F.

(1)求证：CE=CF.

(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ?的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6

练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ．

求证：CP 平分∠DCB ．

图7

练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

图8

练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。

练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB

（1）.例题应用：

①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-

证明：延长BE交AC于点F。

F

E

D

C

B

A

图9

A D

E

C B

P

2

1

4

3

②．已知：如图2，在中ABC ?， ,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线 分析：此题很多同学可能想到延长线段CM ，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此

题突破口就在于AB=AD ，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形.

证明：过点C 作CE ∥AB 交AM 的延长线于点E.

例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥

求证：①;2BM EF = ②).(2

1FN FM FB += (3).模型巩固：

练习一、 如图3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，

CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。

图3

练习一变形：如图4，在△ODC 中，，

090=∠D CE OE DCO EC ⊥∠的角平分线，且是， 过点E 作..之间的关系，并证明

与猜想：线段于点交OD EF F OC OC EF ⊥ 图4

练习二、如图5，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求

证：DE ∥BC

图5

练习三、如图6，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：

点E 是DC 中点。

图6

练习四、①、如图7（a ），A A B C CE BD 的外角平分线，过点分别是、?、作BD AD ⊥

图7（a ） 图7（b ） 图7（c ）

②、如图7（b ），件不变；的内角平分线，其他条分别是、A B C CE BD ?

③、如图7（c ），的外角平分线，为的内角平分线，为ABC CE ABC BD ??其他条件不变. 则

在图7（b ）、图6（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与ABC ?三边又有怎样的数量

关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)

A C D E B

A B C D

E

练习五、如图8，在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB

⊥交AD 于E ，交AB 于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．

图8

练习六、如图9所示，在ABC ?中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，

若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12

MF AC AB =-．

图9

练习六变形一：如图10所示，AD 是ABC ?中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC

的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．

图10

练习六变形二：如图11所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，

求证2AB AC AM +=．

图11

练习七、如图12，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．则有

AB BD AC +=．那么如图13，已知在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

图12 图13

练习八、在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，

求证：AD DE =．

练习九、AD 是ABC ?的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．

求证：AF FB =．

3.角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ?≌△OBC.

（1）.例题应用：

①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC

于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ 。形势较为复杂，我们可以通过转化的

思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O 作BC 的平行线。得

△ADO ≌△AQO 。得到OD=OQ ，AD=AQ ，只要再证出BD=OD 就可以了。

④如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，则△ABP ≌△ADP 从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。

而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转

移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对

三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

②、如图所示，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，

试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．

PB PC AB AC +>+，理由如下． 在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ?≌ACP ?，∴PE PC =，AE AC =

又BEP ?中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-

（2）、模型巩固：

练习一、.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CD ＝AB ＋BD ，∠B 的平分线交AC 于点E ，求

证：点E 恰好在BC 的垂直平分线上。

练习二、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ， 求证：AD ＋BD ＝BC

练习三、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ， 求证：AC ＋CD ＝AB

练习四、已知：在△ABC 中，B ∠的平分线和外角ACM ∠的平分线相交于,,D DF BC 交AC

于,,E AB F 交于求证：EF BF CE -= 练习五、在△ABC 中，,2AB AC AD =平分BAC ∠，E 是AD 中点，连结CE ，

求证：2BD CE = 变式：已知：在△ABC 中，,2B C BD ∠∠=平分ABC ∠，,AD BQ D ⊥于

求证：12

BD AC = 练习六、 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,BC=DC,CF 平分∠BCD,DF ∥AB,BF 的延

长线交DC 于点E.

E

A

D B C

A C

B D A

C B D

求证：（1） BF=DF ； (2) AD=DE.

练习七、已知如图，在四边形ABCD 中，AB+BC=CD+DA ，∠ABC 的外角平分线与∠CDA 的外

角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPD

练习八、如图，在平行四边形ABCD （两组对边分别平行的四边形）中，E ，F 分别是AD ，

AB 边上的点，且BE 、DF 交于G 点，BE=DF ，求证：GC 是∠BGD 的平分线。

练习九、如图，在△ABC 中，∠ACB 为直角，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC

于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

练习十、如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，

EF AC =． 求证：EF ∥AB

【补充】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线

于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．

4.中考巡礼：

（1）.如图1，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用图形画一对以OP 为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。 ①、如图2，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=600，AD 、CE 是∠BAC 、∠BCA 的角平分线， 相交于点F ，请你判断并写出EF 与DF 之间的数量的关系。

②、如图3，在△ABC 中，∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）.如图，在平面直角坐标系中，B （-1，0），C （1，0）D 为y 轴上的一点，点A 为第

二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO ，过点D 作DM ⊥AC 于M ，

①、求证：∠ABD=∠ACD ；

②、若点E 在BA 的延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；

③、当点A 运动时，（AC-AB ）/AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明

理由。

二、等腰直角三角形模型

1.在斜边上任取一点的旋转全等：

A B C

D F E

A O M N E

F 图1 A B C D E F 图2 A B C D

E

F 图3

操作过程：

（1）.将△ABD逆时针旋转0

90，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）

MC⊥，连AM导出上述结论.

（2）.过点C作BC

2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连AD.

（1）. 使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.

（2）.使∠EDF+∠BAC=0

180，导出△BDF≌△ADE.

（1）、例题应用：

解析：方法一：过点C作，方法二：

证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.

方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.

（2）、练习巩固：

①已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC，

∠BAC，O为BC中点，若M、N分

90

=

别

在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.

①、是判断△OMN的形状，并证明你的结论.

②、当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

思路：两种方法：

② 在正方形ABCD 中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求∠BAE=∠DCF 为多少度.

提示如右图：

3.构造等腰直角三角形

（1）、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；

（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.

如下图：

图3-1 图3-2

操作过程：在图3-2中，先将△ABD 以BD 所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三

角形沿

水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A 与M ，D 与E 重合.

例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，()()()3,01201C B A ，，，，

-，求∠OCA+∠OCB 的

度数.

4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

图4-1 图4-2

例题应用：

思路：构造正方形ACBM ，可以构造出等边△APM ，从而造出，又根据

，可得，再由于，故而得到从

而得 证.例题拓展：若△ABC 不是等腰直角三角形，即

，而是

，

其他条件不变，求证：∠2=2∠1.

练习巩固：在平面直角坐标系中，A （0 , 3），点B 的纵坐标为2，点C 的纵坐标为0，当

A 、

B 、C

三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.

（1）、当点B为直角顶点：

图1 图2

（2）、当点A为直角顶点：

图3 图4

（3）、当点C为直角顶点：

图5 图6

三、三垂直模型（弦图模型）

由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导由△ABE≌△BCD导出

ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD

1.例题应用：

例1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，

∠BAC，D为AC中点，AF⊥BD于E，交

90

=

BC于F，连接DF.

求证：∠ADB=∠CDF.

思路：

方法一: 过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM，

再证△CDF ≌△CMF即可.

方法二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF，再证△CDF ≌△ADH即可.

方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF ≌Rt△BMH，得出

HF∥AC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB，又由于

∠BAC，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为

=

90

线段HF的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2 ，则

∠ADB=∠CDF .

例1拓展（1）：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.

求证：①∠ADB=∠CDF. ② BM=AF+FN

思路：同上题的方法一和方法二一样.

拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：①PM=PN,

②

PB ＝

PF+AF.

思路：同上题的方法一和方法二一样. 例2.如图2-1，已知AD ∥BC ，△ABE 和△CDF 是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF= 90，

AD=2，BC=5，求四边形AEDF 的面积.

图2-1

解析：如图2-2，过点E 、B 分别作EN ⊥DA ，BM ⊥DA 交DA 延长线于点N 、M.

过点F 、C 分别作 FP ⊥AD ，CQ ⊥AD 交AD 及AD 延长线于点

P 、Q.

∵△ABE 和△CDF 是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF= 90，AE=AB ， DF=CD.

∵EN ⊥DA ，BM ⊥DA ，FP ⊥AD ，CQ ⊥AD ，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC= 90.

∴∠ENA=∠MBA ，∠FDP=∠QCD. ∴△ENA ≌△ABM ，△FPD ≌△DQC.

∴NE=AM ， PF=DQ . ∴NE+PF=DQ+AM=MQ-AD .

∵AD ∥BC ，CQ ∥BM ，∠BMN= 90， ∴四边形BMQC 是矩形. ∴BC=MQ

∵AD=2，BC=5 ∴NE+PF=5-2=3 ∴.3322

1=??=EAFD S 四边形 图2-2

2.练习巩固：

（1）、如图（1）-1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC= 90，l 是AD 的垂直平分线，

交AD 于点M ，以腰AB 为边做正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P.

求证：2EP+AD=2CD.

（1）-1 （1）-2

（2）、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC= 90，AD ∥BC ，AB=AC ，E 是AB 的中点，

CE ⊥BD.

①求证：BE=AD ；

②求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；

③△BCD 是等腰三角形吗？请说明理由.

四、手拉手模型

1.△ABE 和△ACF 均为等边三角形

结论：（1）. △ABF ≌△AEC

（2）.∠BOE=BAE=060（“八字模型证明”）

（3）.OA 平分∠EOF 拓展：

条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形

结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形

（4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC

（8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）

2.△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE ⊥CD

3.ABEF 和ACHD 均为正方形

结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD=CF

变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，

求证：①M 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ??=

方法一： 方法二： 方法三：

变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，T 为FD 的中点，

求证：AS ⊥BC

4．当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n

360180-. 五、双垂直+角平分线模型

结论：AE=AF

拓展：若AP 平分∠BAD ，其他条件不变，求证：AP ⊥CF

六、半角模型

条件：.1802

10=+=γθβα且 思路：（1）、延长其中一个补角的线段

（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ） 结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=? ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM

（2）、对称（翻折）

思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明

M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D=0180且AB=AD ）

例题应用：例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满

足MN=BM +DN ，求证：①.∠MAN= 45

③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.

思路同上略.

例1拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN= 45，若M 、N 分别在边CB 、DC

的延长线上移动，

①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

提示如图：

例2.在四边形ABCD 中，∠B+∠D= 180，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且

上，满足EF=BE +DF.求证：.2

1BAD EAF ∠=∠

提示： 练习巩固：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D= 90，AB=AD ，若E 、F 分别

在边BC 、CD 上的点，且.2

1BAD EAF ∠=∠. 求证：EF=BE +DF.

提示：