专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)

专题73 一次函数在实际应用中的最值问题

【专题说明】

1、通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．

【注】函数图象中的特殊点

观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．

2、一次函数图象的应用

一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式

在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．

1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.

(2)请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；

②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．

(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．

解：(1)210

(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.

(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．

故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．

2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：

(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？

(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？

分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.

解：观察图象，得：

(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；

(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；

(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．

析规律函数图象交点规律

两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．

3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.

分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．

解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，

∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．

由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.

把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－4

25.

∴直线的解析式为y＝－4

25x＋100.

当y＝100时，x＝0；

当y＝84时，x＝100.

由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.

解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.

由图象可知：A 型汽车耗油80 L 所行驶的路程为500 km.

可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，

则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.

∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.

∴它的速度为100 km/h.

点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．

3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.

（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？

（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.

【答案】（1）焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）当60x =时，y 取最大值25800度.

【详解】

（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则

4030201800a b b a -=??-=?，解得：300260a b =??=?

答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.

（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则

300260(90)4023400y x x x =+-=+

∵2(90)x x ≤-

∵60x ≤

∵y 随x 的增大而增大

∵当60x =时，y 取最大值25800度.

4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．

（1）求A ，B 两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的

13

．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少

【详解】

解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，

根据题意，得

3212054210

x y x y +=??+=?， 3015x y =?∴?=?

， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；

（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3

z z ≥-， 152

z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，

当=8z 时，W 有最小值为570元，

即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；

5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．

（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？

（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于

乙种口罩的4

5

，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几

种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？

【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．

【详解】

解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：

5 23110 x y

x y

-=

?

?

+=

?

，

解这个方程组得：

25

20

x

y

=

?

?

=

?

，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；

（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得

4

(500)

5

22.418(500)10000 m m

m m

?

>-

?

?

?+-≤

?

，

解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；

购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；

购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；

购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；

购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；

设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w

最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．

6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．

（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．

（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．

【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．

【详解】

1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．

（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：

方案一：购买30件文化衫、15本相册；

方案二：购买31件文化衫、14本相册；

方案三：购买32件文化衫、13本相册．

∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．

7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收

割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．

（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？

（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．

【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．

【详解】

（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．

答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．

（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．

∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．

∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．

答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．

8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：

（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？

（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？

【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．

【详解】

解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：

60

80504200

m n

m n

+=

?

?

+=

?

，解得：

40

20

m

n

=

?

?

=

?

．

答：购进篮球40个，排球20个．

（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∵y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．

（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 x

x x

+≥

?

?

+-≤?，解得：40≤x≤

130

3

．

∵x取整数，∵x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．

∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∵y随x的增大而增大，∵当x=43时，可获得最大利润，最大利润为

5×43+1200=1415元．

9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用

（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：

（1）∵当x≤10时，y与x的关系式为：；

∵当x＞10时，y与x的关系式为：；

（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；

（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？

【答案】（1）∵y=300x﹣600；∵y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．【详解】

(1)∵由题意得：y=300x﹣600；

∵由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；

(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．

故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；

(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；

当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，

∵当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∵x取17或18．

显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．

由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．

10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．

（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？

（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．

【答案】（1）A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元；（2）购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；其中购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．

【详解】

解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：

23450

{

2275

x y

x y

+=

+=

，解得：

75

{

100

x

y

=

=

.

答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．

（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∵ 18

5

≤n≤6，

∵n非负整数，∵n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；

∵购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；

∵所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∵购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．