专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展

专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段

AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ?和ABD ?的面积分别为1S 与2S ．

（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为1

3

y x =，求椭圆的离心率； （2）当点M 在线段AB 上运动时，求

1

2

S S 的最大值． 解：（1）23

2

=

e ； （2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）

ab

ay bx ab

ab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-

=++-+=----+=000000000021

21

令00ay bx t += 1：三角换元：??? ??+=

4sin 2πθt ??

?

??∈2,0(πθ)，

当且仅当2=

t 时（此时4

π

θ=

时等号成立），

2

1

S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：2

2

2

2

02

02

1)()(t b a ay bx ≥

=+,同理可得结果 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时21,S S ,2

1

S S 都是最大的.

探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>

x 轴被曲线2

2:C y x b =- 截得的线段

长等于C 1的长半轴长 （1）求C 1，C 2的方程；

（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E ．

（I ）证明：MD ⊥ME;

（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得

1217

32

S S =？请说明理由.

解：（1）由题意知.1,2,2,2,2

3======

b a a b b a a

c e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14

222

-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.

由?????-==1

2

x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是

.1,2121-==+x x k x x

又点M 的坐标为（0，—1），所以

2

121212

212122111

)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB

MA +++=

++=+?+=? .11

1

22-=-++-=

k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.

（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为??

???-=-=-=1,

1,12

11x y x k y x k y 由解得 ???-==???-==1

,102

1k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(2

11-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11

,1(21

1--

k k

于是211111111|||||||22||

k S MA MB k k k +=?=-=

由?????=-+-=0

44,

12

21y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得1212

12

1

8,140,141

14k x k x y k y k ?

=?+=????=--??=?+?或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1

-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2

121211k k k k +-+-

于是)

4)(1(||)1(32||||212

1211212++?+=?=k k k k ME MD S .因此2

1122114(417).64S k S k =++ 由题意知，

2221112114171

(417),4,.64324

k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111

1

13,.12k k k k k k k k -

=

=-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2

323x y x y -==

和 探究3：如图，已知椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．

（1）若点G 的横坐标为1

4

-

，求直线AB 的斜率； （2）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面 积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =

解：（1）2

1

±

=k （2）不存在，计算可得8

92

-=k

探究4：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率

e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切 线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． （1）求直线OP 的方程；（2）求

1

PQ

QA 的值；

解：（1）连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =，又122A A a =，所以1260A A P ∠=. 所以260POA ∠=，所以直线OP 的方程为y =.

⑵由⑴知，直线2A P 的方程为)y x a =-，1A P 的方程为)y x a =

+，解得2

P a

x =. 因为2e =，即2c a =，所以2234c a =，2

214

b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.

由222

2),41,

y x a x y a a ?=+????=??+解得7Q a x =-，所以

1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，

x

联立方程组2

222,

41,y kx x y a a =???=??+

解得B

，所以OB = 用1

k -代替上面的k

，得OC =

．同理可得，OM =

，ON =．

所以41214S S OB OC OM ON a ?=

????=．因为

1

5

，

当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ?的最大值为4

5

a

探究5：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>过点A (1,1)-

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设点B 是点A 关于原点O 的对称点，P 是椭圆C

上的动点（不同于A ，B ），直线AP ，BP 分别与直线x =，N ，问：是

否存在点P 使得PAB ?和PMN ?

的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说

明理由． 解

：

（

1

）

由

题

22222

11

1,,a b a b c c e a ?+=???=+??

?==??

………………… 2分 解得224

4,3

a b ==

． ………………… 4分 ∴椭圆C 的方程为22

3144

x y +=． ………………… 5分 （2）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 00(,)x y ，

则直线AP 的方程为001

1(1)1

y y x x --=

++，

探究6：已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =，NP DM ?=0，动点N 的轨迹为曲线E 。 （1）求曲线E 的方程；

（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值。

探究7. 在平面直角坐标系xOy 中，过定点T （t ，0）（t 为已知常数）作一条直线与椭圆22221(0)

x y a b a b

+=>>相交于A ，B 两个不同点，求△AOB 面积S 的最大值．

探究8. 已知椭圆G ：22

221(0)x y a b a b

+=>>过点A （0，5），

B （-8，-3），

C ，

D 在椭圆G 上，直线CD 过坐标原点O ，且在

线段AB 的右下侧．求： （1）椭圆G 的方程；

（2）四边形ABCD 的面积的最大值．

探究9：如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分 别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大 到小依次为A ,B ,C ,D .记m

n

λ=

,BDM ?和ABN ?的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;

（2）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.

解:(I)12S S λ=()m n m n λ?+=-,1

111

m n m n λλλ++∴==

--

解得

:1λ=

+(舍去小于1的根)

(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22

222:1x y C a n +=,直线l :ky x =

2

222

1ky x x y a m =???+=??222

2221a m k y a m +?

=A y ?= 同理可得, 又

BDM ?和ABN ?的的高相等

12B D B A

A B A B

S BD y y y y S AB y y y y -+∴

===

-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,

即:()()22

222222

22

11a n k a n k

λλλλ-+=++,解得()()2222

232114a k n λλλλ--+= ∴

当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;

当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .

探究10：平面直角坐标系xOy 中,过椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>的右焦点F 作直

0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为

12

. （1）求M 的方程;

（2）,C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.

探究11：（2014湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆22

122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，

离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b

-=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知12e e =且

24|| 1.F F =

（1）求

12,C C 的方程；

（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB

的中点．当直线

OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．

【解析】（1）

因为12e e =

=

即4443

4

a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b

，4,0)F ，

24||1b F F -==，所以1b =，2

2a =．

故12,C C 的方程分别为22

12x y +=，2212

x y -= （2）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =- 由22

1

12

x my x y =-???+=??得，22

(2)210m y my +--= 易知此方程的判别式大于0，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12,y y 是上述方程的两个实根，所以

12222m y y m +=

+，12

21

2

y y m -=+ 因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为224(,)22

m M m m -++，

故直线PQ 的斜率为2m

-，PQ 的方程为2

m

y x =-，即20mx y +=．

由2221

2m y x x y ?=-????-=??得，22(2)4m x -=，所以220m ->，且222

2

24,22m x y m m ==--，从

而

||PQ ==

设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为PQ ，所以

2d =

因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是

11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--

从而 2

2d =

又因为12||2

y y m -=+

2d =

故四边形APBQ 的面积

1||22S PQ d =?==而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2． 综上所述，四边形APBQ 在面积的最小值为2．

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