立体几何题型总结

立体几何——点线面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。 1、公理的理解与应用

例1 已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误

的是 （ ）

A. ,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈??

B. ,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?=I

C. ,,A A A αβαβ∈∈?=I

D. ,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合

例2 下列条件中，能得到平面α∥平面β的是（ ） A. 存在一条直线a a ααβ，∥，∥

B. 存在一条直线a a a αβ?，，∥

C. 存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥

D. 存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥

例3 对于直线,m n 和平面α，下列命题中的真命题是（） A. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么//n α B. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么n 和α相交 C. 如果,//,,m n m n αα?共面，那么//m n D. 如果//,//,,m n m n αα共面，那么//m n

例4 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则

AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）

A ．13

B

．

3

C

．

3

D ．23

2、 共线、共面、共点问题

例5 如图所示，四边形ABCD 中，已知,,,,AB CD AB BC DC AD ∥(或延长线)分

别与平面α交于E 、F 、G 、H 必在同一直线上。

3、 直线与直线之间的关系

例6 给出下列四个命题： ① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 平行于同一直线的两条直线平行； ③ 若直线c b a ,,满足a ⊥∥b,b c,则⊥a c ；

④ 若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

立体几何--空间中的平行问题

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。 定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

证明平行的方法：

线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）

线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（面线线线////?）；面面平行的性质定理（面线面面////?）

面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。 1、平行关系的概念

例1 若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是

A ．相交

B ．异面

C ．平行

D ． 异面或相交 例2 垂直于同一平面的两条直线一定

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．以上都有可能

2、 线面平行

例3 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ：EB=CF ：FB =1：3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、相交 C 、在内 D 、不能确定

例4 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、11C D 的中点。 求证：EF ∥平面11BDD B .

F

E

B 1

1

A D

D 1

例5 如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别在PA 、BD 上，且

PE ：EA=BF ：FD. 求证：EF ∥平面PBC

A

例6 有下列几个命题

① 平面α内有无数个点到平面β的距离相等，且αβ∥； ②

,a b αγαβ==I I ，且a b ∥（,,αβγ为平面；a,b 为直线）

，则γβ∥； ③ 平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三边，则αβ∥； ④ 平面α内一个平行四边形的两边分别与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则

αβ∥。其中正确的有

例7 如图所示，B 为ACD ?所在平面外一点，M,N,G 分别为ABC ?，ABD ?，

BCD ?的重心。

（1） 求证平面MNG ∥平面ACD ； （2） 求:MNG ADC S S ??.

A

例8 ABCD 是平行四边形，点P 事平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一

点G ，过G 做AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH

M

D A

C

G

H

立体几何第四讲--空间中的垂直问题

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。

三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。

最小角定理：斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并满足

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直

线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

OAB

BAC

OAB

BAC

OAC∠

∠

∠

?

∠

=

∠cos

(cos

cos

cos

cos和只能是

锐角，通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影

与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角

定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．

证明垂直的方法：

线线垂直：三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等 线面垂直：判断定理；面面垂直的性质 面面垂直：判断定理

题型一：对空间中垂直的概念的理解

例1：对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 和l （ ） A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 例2、用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

题型二：线线垂直

例3：如图，四面体ABCD 中，BD AC CD AB ⊥⊥,，求证：BC AD ⊥（三垂线逆定理）

B

D

题型三：线面垂直

例4：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别是

1CC CD CB 、、 的中点。

（1）求证：平面//11D AB 平面EFG ； （2）求证：⊥EF 平面C AA 1。

B

A 11

例5：如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC o

,点D 是棱11B C 的中点.

（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；

（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；

题型四：面面垂直

例6：如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：BC1AE 、EF 、FA 为折痕，折叠这个正方形，使点B 、C 、D 重合于一点P ，得到一个四面体，如图(2)所示．

(1)求证：AP ⊥EF ；

(2)求证：平面APE ⊥平面APF .

A

B

C

C 1

B 1

A 1

D

知识梳理

空间平面与平面的位置关系

1、空间两平面的位置关系：平行、相交

位置关系定义图示符号语言交点个数

两个平面相交斜交

有一条公共直线(不垂

直)

a

=

?β

α无数个

垂直

相交

如果两个相交平面所成

二面角为直二面角，那

么两个平面互相垂直

β

α⊥a

=

?β

α无数个

两个平面平行

如果两个平面没有公共

点，则这两个平面平行

β

α//没有

2、空间两平面平行

名称文字语言符号语言图形面面平行的定

义没有公共点β

α//

面面平行的判定定理

如果一个平面内

有两条相交直线

都平行于另一个

平面,那么这两个

平面平行

β

β

α

α

//

,

//

,

b

a

O

b

a

b

a

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?β

α//

垂直于同一直线

的两平面平行

?

⊥

⊥l

lβ

α,β

α//

补充

平行于同一平面

的两平面平行

β

α//,γ

α//?β

γ//

两个平面平行的性质定理：

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行。

3、空间两平面垂直

名称文字语言符号语言图形

面面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角为直二面角

面面垂直的判定

定理

如果一个平面经过另一个

平面的一条垂线，那么这两

个平面互相垂直

β

α

α

β⊥

?

?

⊥a

a,

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。

4、空间角的概念

二面角作法图形示例及步骤：

方法定义法垂面法三垂线定理及逆定理

步骤

在棱上取一特殊

点，分别两个面内

找棱的垂线。（通

常两面是等腰三

角行，或对称的全

等三角形）

找一个垂直于二面

角的棱的垂面，那

么它于二面角的面

的交线所成的角是

二面角的平面角

1、从二面角的一个面内的一点作

另一个面的垂线PF，

2、从垂足作棱的垂线FE，

3、连接PE，由三垂线定理得∠PEF

是二面角的平面角

图形

综合练习

1、过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA = AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是 （ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°

2、四面体A —BCD 中，

2=BD ，其余棱长均为1，则二面角A —BC —D 的大小是___________

3、正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C BD A --的大小是______________

4、Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则

平面ABC 与α所成角为

5、 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知

ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（1）证明⊥AD 平面PAB ；

（1）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角A BD P --的大小．

C

B

D

C

A

A

B

B

C

C 1

D 1

D

A

B

C

D S

6、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，

SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a ,点E 是线段SD 上任意一点。 （1）求证：AC ⊥BE ；

（2）若二面角C-AE-D 的大小为0

60，求线段ED 的长。

7、已知S 是正方形ABCD 所在平面外一点，ABCD SA 平面⊥，3=AB ，

5=SC .

（1）求二面角D SC B --的大小； （2）求SA 与平面SBD 所成的角。

8、四面体ABCD 中，AB ＝3，AC ＝AD ＝2，且ο

60=∠=∠=∠DAB CAD BAC 。 （1）求二面角A-CD-B 的大小；

（2）求异面直线AC 与BD 所成角的大小。

9、在长方体1111ABCD A B C D -中，112,1,AB BC BB B C ===与1BC 交于O 点.

A 1

C B 1

C 1

D 1

B A

D O D

C

（1）求证：1B O ⊥平面11ABC D

（2）求二面角11B AD O --的大小(结果用反三角函数值表示) ；

10 、如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA １＝1，AB ＝2，点E 是AB 上的动点。 （1）若直线D １E 与EC 垂直，试确定点E 的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下求出异面直线AD １与EC 所成的角； （3）在（1）的条件下求二面角D １－EC －D 的大小。

立体几何--距离问题

空间中的距离：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离；异面直线的距离（公垂线）。 题型一：点面距离

例1：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的地面边长为1，则棱场为2，点E 为1CC 的中点，求点1D 到平面BDE 的距离。

E

B 1

C 1

A 1

D

A B

C

D 1

例2：在ABC ?中,AB=15，120BCA ∠=?，若ABC ?所在平面α外一

点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是 （ ）

A 、13

B 、11

C 、9

D 、7

C

A

B

练习：1、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)A G λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）

Ａ．3

Ｂ．2

Ｃ．2λ

Ｄ．5

2、如图，αβ和为平面，,,,l A B α?β=∈α∈βAB =5,A ,B 在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，

1D

1C

C

B

A

E

1A

G

F 1B

D

AA ′＝3，BB ′＝2.若二面角l α--β的大小为

23

π

，求，点B 到平面α的距离为______________;

题型二：线面距离：

例3： 在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=2，1AD AA ==1,E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求直线AF 到平面1CD E 的距离。

F B 1

C 1

A 1

D A

B

C

D 1

题型三：面面距离：

例4： 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、E 、F 分别是11111111,,,A D A B C D B C 的中点，求平面AMN 与平面BDEF 间的距离。

F E N

M

B 1

C 1

A 1

D A

B

C D 1

题型三：综合类型：

例5：(2010北京)如图，正方体ABCD-1111

A B C D 的棱长为2，动点E 、

F 在棱

11

A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A

E=x ，DQ=y ，

D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体P

E ＦＱ的体积 ( )

A. 与ｘ，ｙ，ｚ都有关

B. 与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关

C. 与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关

D. 与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

例6：（2008 安徽理 18 本小题满分12分）

如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC （Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

例

7：在四面体ABCD 中，面和面BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD=。设M 、N 分别是棱AB 、CD 的中点。 求：M 、N 在四面体表面上的最短距离。

立体几何-夹角角问题

知识点：

夹角的分类：线线夹角 线面夹角 面面夹角

三者在计算或证明时的转换关系： 面面

线面

线线

计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤，①找角，②证明所找的角，③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）

题型一：异面直线的夹角问题

例1、在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，

a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90ο，

2,,AD a PA ABCD PD =⊥底面与底面成30°角.

（1）若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的正切值；

例2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，

NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点

求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值

D

C

A

M

N

E

例3、已知正四面体ABCD 中，各边长均为a ，如图所示，,E F 分别为,AD BC 的中点，连接,AF CE ，求异面直线,AF CE 所成角的余弦值。 练习：

1、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）

3 （B ）5 （C ）7

(D)

342、（12分）如图,在正方体''''D C B A ABCD -中，

F E ,分别是','BC AB 的中点。

（1）若M 为'BB 的中点，证明：平面EMF ∥平面ABCD （2）求异面直线EF 与'AD 所成的角

A

B

C

D

E

F

M

F

E

D

B

A A'

B'

题型二：线面夹角

例4、设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E （如图）。现将ADE ?沿DE 折起，使二面角A DE B --为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的两线与平面BCDE 所成角的大小等于

N

M D E B

C A

N

M

D

E

B C

A

例5、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC=22，PA=AD=2，E 是PC 上的一点， 设二面角A-PB-C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

例6、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为

ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．13

B ．

23

C 3

D ．

23

例7、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥,D 、E 分别是1AA ，1B C 的中点，

DE ⊥平面1BCC .

（1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C 为0

60，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小

1

1

练习：

1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为

ABC

△的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A

．13

B ．

3

C D ．

23

题型三：面面夹角：

例8、如图，在ABC V 中，B=90o

,AC =

15

2

,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AE

DB EC

==,DE=3.现将ABC V 沿DE 折成直二角角，求：二面角A-EC-B 的大小的余弦值。

例9：四边形ABCD 为等腰梯形,AB // CD ,60DAB ∠=o

,FC ⊥面ABCD,,.AE BD CB CD CF ⊥== (1) 求证: BD ⊥面AED;

(2) 求二面角F BD C --的余弦值. 例

10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面

ABCD

是矩形，已知

AB=3,AD=2,PD=22PAB ∠=0

60

(1) 证明：AD ⊥平面PAB

(2) 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小 (3) 求二面角P-BD-A 的大小

A

B

C