用向量法证明空间中的平行垂直关系-讲义
用向量法证明空间中的平行垂直关系
新知新讲
点、直线和平面位置的向量表示
用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
金题精讲
题一：设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系：
(1)a=(2，-1，-2)，b=(6，-3，-6)
(2)a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2)
题二：设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：
(1)u=(-2，2，5)，v=(6，-4，4)
(2)u=(1，2，-2)，v=(-2，-4，4)
题三：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
用向量法证明空间中的平行垂直关系
讲义参考答案
题一：(1)平行 (2)垂直 题二：(1)垂直 (2)平行 题三：以C 1为原点，以11C A ，11C B ，1C C 为x 轴、y 轴、z 轴建系如图 设AC =BC =BB 1=1，则A (1，0，1)，B (0，1，1)， B 1(0，1，0)，C 1(0，0，0)
(1)∵BC 1→= (0，-1，-1)，AB 1→
= (-1，1，-1)
∴BC 1→·AB 1→
=0-1+1=0
∴BC 1→⊥AB 1→
∴BC 1⊥AB 1
(2)C (0，0，1)，A 1(1，0，0)，D (1
2，1
2，1)
设平面CA 1D 的法向量为m = (x ，y ，z )
1(1,0,1)CA =-，11
(,,0)22CD =
110
22x z x y -=???+=??
取(1,1,1)m =-，则10110BC m ?=+-=
∴1BC m ⊥
又BC 1?∥平面CA 1D
∴BC 1∥平面CA 1D
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
用法向量求二面角和证明两平面垂直
用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。 例1.如右图，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ， BD ∥CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点。 求证：（1）DE=DA ； （2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ； 分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2， 则CE=2，BD=1，C （0，0，0），A （3，1，0），B （0，2，0），E （0，0，2），D （0，2，1），( ) 2,1,3-= EA ，()2,0,0=CE ，()1,2,0-=ED ， 分 别假设面CEA 与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =，所以得 11111113203200x y z y x z z ??+-==???? ?==????，22222 2222 3203202x y z x y y z z y ??+-==?????-==???? 不妨取() 0,3,11-=n 、()2,1,32=n ，从而计算得02 1 =?n n ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与 2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 例2、如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=a ，AD=3a ，sin ∠ADC= 5 5 ，且PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值。 分析：依题意，先过C 点CE ⊥AD ，计算得ED=2a ，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P （0，0，a ）,D(0,3a,0)， C(a,a,0), () a a PD -=,3,0, () a a a PC -=,,, ()0,3,0a AD =,()0,,a a AC = 取平面ACD 的一个法向量()1,0,01=n ，设平面PCD 的法 z y x E A D B P C z y x M C B A E D
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂 直 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C > A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α 解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a?平面α也满足a·n＝0. 2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β. 其中正确的是( A > A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAP A．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2> C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw 解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d 所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT 4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA 5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 . 解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>， 所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4. 6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg 解读：由已知错误!，xHAQX74J0X 解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4. 7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，
用向量法证明直线与直线平行
用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、 平面与平面平行导学案 一、知识梳理 1、设直线l 1和l 2的方向向量分别是为1v 和2v ，由向量共线条件得l 1∥l 2或l 1与l 2重合?1 v ∥2v 。 2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量1v 、2v 与平面a 共面（图（2））， 一条直线l 的一个方向向量为1v ，则由共面向量定理， 可得l ∥a 或l 在平面a 内?存在两个实数x 、y ，使 1v ＝x 1v ＋y 2v 。 3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量1v 、2v 与平面a 共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a ∥β或a 与β重合?1v ∥β且2v ∥β 4、点M 在平面ABC 内的充要条件 由共面向量定理，我们还可得到：如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分 必要条件是，存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM x AB y AC =+ 成立。 对于空间任意一点O ，由上式可得(1)O M x y O A xO B yO C =--++ ，这也是点M 位于平 面ABC 面内的充要条件。 知识点睛 用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意： （1）若l 1、l 2的方向向量平行，则包括l 1与l 2平行和l 1与l 2重合两种情况。 （2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。 例1：如图3－28，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点。 求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12 AD ′。
向量讨论平行垂直及夹角
向量讨论平行垂直及夹角 1、如图所示：在三棱锥P-ABQ 中，ABQ PB 平面⊥,BA=BP=BQ,D 、C 、E 、F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点，AQ=2BD,PD 与EQ 交于点G,PC 与FQ 交于点H,连接GH.求证：AB//GH; 2、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥A A 1底面,5,2,1,,1=====⊥CD AD AA AC AB AC AB ABCD 且点M 和N 分别为C B 1和D D 1的中点，求证：//MN 平面ABCD .
3、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，.6,5,4,3,1,//1k DC k BC k AD k AB AA CD AB =====求证：⊥CD 平面11A ADD 4、如图所示：正方体1111D C B A ABCD -中，求 B A 1与平面CD B A 11所成角的大小。
5、如图所示：直三棱柱111C B A ABC -中底面ABC ?满足090,=∠==BCA a CB CA ,棱N M a AA ,,21=分别是11B A 、1AA 的中点。 （1）求BN 的长； （2）求异面直线1BA 与1CB ,所成角的余弦值； 6、在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，090=∠ABC ,⊥SA 平面21,1,====AD BC AB SA ABCD ,求平面SCD 与平面SBA 所成的二面角余弦值；
7、如图所示：在长方体1111D C B A ABCD -中，已知5,4,31===AA BC AB ,分别求点1A 到直线BD AC 、的距离; 8、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E ,,分别是AB A D C C ,,111的中点，求点A 到平面EFG 的距离；
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
江苏省淮阴中学高三数学一轮复习 第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题学案(无答案)
第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题 考点解说 利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题. 一、基础自测 1.已知向量),,3(),5,4,2(y x b a ==分别是直线12,l l 的方向向量,若1l ∥2l ,则=x =y . 2.已知)5,6,2(),,3,8(b n a m ==,若m //n ,则=+b a . 3.已知,,a b c r r r 分别为直线,,a b c 的方向向量且 (0),0,a b b c λλ=≠?=r r r r 则a 与c 的位置关系是 . 4.在空间四边形ABCD 中,E 、F 是分别是AB 、AD 上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G 分别是BC 、CD 的中点,则EFGH 是 形. 5.正三棱柱111ABC A B C -中,底面边长AB=1,且11AB BC ⊥,则侧棱1AA 的长为 . 6.已知平行六面体1111ABCD A B C D -底面为菱形, 0 1160,C CB BD CA ∠=⊥,则1C CD ∠的大小为 . 7.正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 、P 分别是棱1CC 、BC 、CD 的中点,则直线1A P 与平面MND 所成角为 . 8.空间四边形ABCD 中,,AB CD BC AD ⊥⊥,则AC 与BD 的位置关系为 . 二、例题讲解 例1.如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是AC 和BD 的交点,M 是CC 1的中点,求证:A 1O ⊥平面MBD. 例2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1,CD 的中点,求证:平面AED ⊥平面A 1FD 1. 例 3.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M,N,E,F 分别是所在棱的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD.
用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角
3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．
二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
向量方法(一)证明平行与垂直
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( ) 2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α D.l 与α相交 4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.??? ?－33，－33，－33 D.????33，33，－33 5.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的 中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系 知识点一：求平面的法向量 例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向 量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ＝(1，－2，－4)，AC → ＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·= 0， n ·AC → = 0. 即????? x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0 ，解得??? ? ? x ＝2y z ＝0 . 令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其 中一组解(非零向量)即可． 练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。 知识点二：利用向量方法证平行关系 （1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则l l λ=??////21 （2）线面平行： ①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； ②设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则0//=??⊥?μμαl ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行： “用向量法”求法向量的解题步骤： （1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组?????=?=?0 0b n a n ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 . 知 识 梳 理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???n · a ＝0，n· b ＝0. 2.空间位置关系的向量表示 [常用结论与微点提醒] 1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( ) 解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a ⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a ∥α或a α. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材练习改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直. 答案 C 3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l α D.l 与α斜交 解析 ∵a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，0，－4)， ∴n ＝－2a ，即a ∥n .∴l ⊥α. 答案 B 4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.? ????－33 ，－33，－33 D.? ???? 33 ，33，－33 解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则?????n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得???－x ＋y ＝0， －x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z . 答案 C
用向量法证明空间中的平行垂直关系-讲义
用向量法证明空间中的平行垂直关系 新知新讲 点、直线和平面位置的向量表示 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 金题精讲 题一：设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系： (1)a=(2，-1，-2)，b=(6，-3，-6) (2)a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2) 题二：设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系： (1)u=(-2，2，5)，v=(6，-4，4) (2)u=(1，2，-2)，v=(-2，-4，4) 题三：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1. (1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D. 用向量法证明空间中的平行垂直关系
讲义参考答案 题一：(1)平行 (2)垂直 题二：(1)垂直 (2)平行 题三：以C 1为原点，以11C A ，11C B ，1C C 为x 轴、y 轴、z 轴建系如图 设AC =BC =BB 1=1，则A (1，0，1)，B (0，1，1)， B 1(0，1，0)，C 1(0，0，0) (1)∵BC 1→= (0，-1，-1)，AB 1→ = (-1，1，-1) ∴BC 1→·AB 1→ =0-1+1=0 ∴BC 1→⊥AB 1→ ∴BC 1⊥AB 1 (2)C (0，0，1)，A 1(1，0，0)，D (1 2，1 2，1) 设平面CA 1D 的法向量为m = (x ，y ，z ) 1(1,0,1)CA =-，11 (,,0)22CD = 110 22x z x y -=???+=?? 取(1,1,1)m =-，则10110BC m ?=+-= ∴1BC m ⊥ 又BC 1?∥平面CA 1D ∴BC 1∥平面CA 1D
用向量法证明垂直
Z 用向量法证明垂直 学习目标: 1、掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系 2、认识到向量方法是解决立体几何的基本方法 重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题 新知探索 一、方向向量与法向量 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1) 直线OA 的一个方向向量坐标为___________ (2) 平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (3) 平面C AB 1 的一个法向量坐标为___________ 例2 .在空间直角坐标系中,已知)2,0,0(,040(),0,0,3(C B A ），， ,,试求平面ABC 的一个法向量. 小结：求平面法向量的步骤： （1） （2） （3） （4）
二、用向量证明空间中的垂直关系 1、设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 （1）线线垂直 _______ ________??⊥m l （2）线面垂直 ________ _______??⊥αl （3）面面垂直 ________________??⊥βα 例3、正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是CD BB ,1的中点 证明：ADE F D 平面⊥1 例4、四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，ABCD PD 平面⊥,F E 、分别是棱 PB AD 、的中点，AD PD = 求证：PBC CEF 平面平面⊥
小结：1、空间问题如何转化为向量问题 2、运用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 作业：习题2-4 A 组 3、4 拓展：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱BC AB 和DE 中点， 试在棱1BB 上找一点M ，使得11EFB M D 平面⊥
3.2.1用向量证明平行,垂直
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 一、课标点击 峡山中学 高二数学组 2010-12-22 (一)学习目标： 1．掌握空间直线的向量方程；⒉会求直线上点的坐标.3.掌握空间中平行、垂直的证明方法。 (二)教学重、难点： 空间中平行关系、垂直关系的证明方法。 二、教学过程: （一）知识连接 复习空间中平行关系、垂直关系的常规证明方法： （1）线面平行与面面平行（2）线面垂直与面面垂直 （二）问题引入： 如何用坐标表示平行？如何用坐标表示垂直？ （三）自主探究： 自主学习课本95页至99页部分． 1.直线的参数方程： 设直线经过一个点A 且与一个向量a 平行则直线的参数方程为： t 为参数，P 为直线上的任意点，叫做直线的 2.平行关系 （1）直线与直线平行： （2）直线与平面平行： （3）平面与平面平行： 3.垂直关系： （1）直线与直线垂直： （2）直线与平面垂直： 3.两条直线所成的角： （四）典例示范: 例1．已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P,Q 为轴上的两点，且分别满足条件：（1）AP:PB=1:2; (2)AQ:QB=-2求点P 和点Q 的坐标。 例2．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,点M,N 分别是面对角线A 1B 与面对角线A 1C 1的中点。 求证：MN //侧面AD 1;MN //AD 1,并且MN=2 1 AD 1. 例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M,N 分别是棱BB 1与对角线CA 1的中点. 求证：MN ⊥BB 1; MN ⊥A 1C. 例4.已知三棱锥O-ABC,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60O , ∠COA=90O , M,N 分别是棱OA,BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成的角的余弦值.
专题08利用空间向量证明平行、垂直(原卷版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练 08利用空间向量证明平行、垂直 一、考点传真： 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理： 证明平行、垂直问题的思路 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题： 例1.（2020年浙江卷，19）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=?， 2DC BC =。 （1）证明：EF DB ⊥； （2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值. 例2.（2020年全国1卷理数，18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO =.
(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值. 例3. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 例4.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，， ，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD = =PD ⊥PAB PB PCD
3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用
能力拓展提升 一、选择题 9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 [答案] C [解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2 k ， ∴k ＝4，故选C. 10．如果直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1)，且直线l 上有一点P 不在平面α内，平面α的法向量是b ＝(2,0,4)，那么( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ?α D ．l 与α斜交 [答案] B [解析] ∵a ·b ＝－4＋4＝0， ∴a ⊥b ，又∵l ?α，∴l ∥α. 二、解答题 11．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PE ED ＝2，求证：BF ∥平面AEC . [证明] ∵BF →＝BC →＋12CP → ＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE →
＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →， ∴BF →、AE →、AC → 共面． 又BF ?平面AEC ，从而BF ∥平面AEC . 12．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG ∥平面HMN . [证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为
2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG → ＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN → ＝(－1,0，－1)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量， 由??? m ·EF →＝0 m ·EG →＝0?? ???? －y 1＋z 1＝0 x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)． 由??? n ·HM →＝0 n ·HN →＝0 ?????? y 2－z 2＝0－x 2－z 2 ＝0. 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN . 13. 如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?