培优辅导专题6： 圆锥曲线中的轨迹问题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题

轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．

模块1 整理方法 提升能力

曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：

1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．

2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．

3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．

例1

已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

（1）求M 的轨迹方程；

（2）当OP OM =时，求l 的方程及△POM 的面积．

【解析】（1）法1（定义法）：圆心()0,4C ，由垂径定理可知CM PM ⊥，于是点M 在以CP 为直径的圆上，所以M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即

()()

22

132x y -+-=．

法2（直接法）：设M 的坐标为(),x y ，由CM PM ⊥可得0CM PM ?=u u u u r u u u u r

．(),4CM x y =-u u u u r ，()2,2PM x y =--u u u u r ，于是()()()2420x x y y -+--=，即()()22

132x y -+-=．

法3（参数法）：当l 的斜率不存在时，其直线方程为2x =，于是2840y y -+=，所以点

M 的坐标为()2,4．

当l 的斜率存在时，设直线方程为()22y k x -=-，(),M x y ．联立()22

2280

y k x x y y ?-=-??+-=??消去y 可得()()()2

2

2

2

1448120k x k k x k k +-+++-=，于是()22

21

k k x k +=

+，将2

2

y k x -=

-代入，消去参数k ，可得2222222212y y x x x y x ??--????+??

? ?--????????=-??+ ?-??

，整理可得()()22132x y -+-=（2x ≠）． 综上所述，M 的轨迹方程为()()2

2

132x y -+-=．

（2）法1：由OP OM =可知点M 在以原点为圆心，OP 为半径的圆上．联立

()()2

2

221328

x y x y ?-+-=??+=??，解得25

145x y ?=-????=??

，于是点M 的坐标为214,55??- ???，于是直线l 的方程为()1

223

y x -=-

-，即380x y +-=．△POM

的面积为11625=． 法2：由OP OM =可知点O 在PM 的垂直平分线上，而PM 的垂直平分线过圆心()1,3，

所以直线l 的斜率为13-，直线方程为()1

223

y x -=--，即380x y +-=

．因为OP =点O 到直线l

的距离为d =

，所以PM ==POM

的面积为116

25

=． 【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为1-，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．

求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得

到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．

例2

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：()2

259x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．

（1）求曲线1C 的方程；

（2）设()00,P x y （03y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A 、B 和C 、D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值．

【解析】（1）法1：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆2C 的圆心()5,0的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以()5,0为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，所以方程为220y x =．

法2：设M 的坐标为(),x y ，由已知得()

2

2253x x y +=-+，且点M 位于直线2

x =-的右侧，于是20x +>()

2

255x y x -+=+，化简得曲线1C 的方程为220y x =．

【证明】（2）当点P 在直线4x =-上运动时，设P 的坐标为()04,y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

()04y y k x -=+，即040kx y y k -++=02

5431

k y k

k ++=+，整理得

2200721890k y k y ++-=…①．设过P 所作的两条切线PA 、PC 的斜率分别为1k 、2k ，则1k 、

2k 是方程①的两个实根，所以001218724

y y

k k +=-

=-…②． 由1012

40

20k x y y k y x

-++=???

=??可得21014020k y y y k -++=…③．设四点A 、B 、C 、D 的纵坐标分别为1y 、2y 、3y 、4y ，则1y 、2y 是方程③的两个实根，所以()

01121

204y k y y k +?=

，

同理可得()

02342

204y k y y k +?=

．于是()()

010*******

40044y k y k y y y y k k ++=

=

()()

2

22

012012001212

12

400416400166400y k k y k k y y k k k k k k ??+++-+??

=

=．所以当P 在直线4x =-上运

动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值6400．

【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：1k 、2k 、1y 、2y 、3y 、4y ，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．

例3

已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l 、2l 分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．

（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；

（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．

【证明】（1）焦点坐标为1,02F ??

???．不妨设直线1l ：y a =，直线2l ：y b =，则2,2a A a ?? ???，

2,2b B b ?? ???

，1,2P a ??- ???，1,2Q b ??- ???，于是1,22a b R +??

- ???．

当线段AB 垂直于x 轴时，不妨设a b >，则有1,12A ?? ???，1,02R ??- ???，1,12Q ??

-- ???，于是

1FQ k =，1AR k =，所以AR ∥FQ ．

当线段AB 不垂直于x 轴时，直线AB 的斜率为22

2

22

a b k a b a b -=

=+-，方程为2

22a y a x a b ??

-=-

?+??

，即()20x a b y ab -++=，因为F 在线段AB 上，所以1ab =-．于是

1122

FQ b

k b =

=---，22

212111122AR

a b

b

a a

b b k b a a b +---

-====-+??+-+ ???，所以AR ∥FQ ．

【解析】（2）△PQF 的面积为

2

a b -．直线AB 与x 轴的交点为,02ab ??

- ???

，所以△ABF

的面积为11222

ab

a b ?+

-．由1222a b ab a b -=+-，可得11ab +=，于是0ab =（舍去）或2ab =-…①．

设AB 中点为(),M x y ，则224a b x +=…②，2

a b

y +=…③．③式平方，可得

222

24

a b ab y ++=

，将①②代入，可得21y x =-．

方程消去2个参数，从而得到x 与y 之间的关系．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，一般需要找1N -个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、

模块2 练习巩固 整合提升

练习1：已知圆M ：()2

211x y ++=，圆N ：()2

219x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．

（1）求C 的方程；

（2）l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求

AB ．

【解析】（1）设动圆P 的半径为r ，则1PM r =+，3PN r =-，两式相加，可得

4PM PN +=，所以圆心P 是以M 、N 为焦点，24a =的椭圆（左顶点除外）．2a =，1c =，

b ，所以C 的方程为22143

x y +=（2x ≠-）．

（2）由（1）可知1PM r =+，3PN r =-，所以22PM PN r MN -=-≤，于是2r ≤，当且仅当点P 为()2,0时，等号成立，所以当圆P 的半径最长时，圆P 的方程为

()

2

224x y -+=．

①当l 的斜率不存在的时候，此时显然l 就是y

轴，AB =

②当l 的斜率存在的时候，显然l 的斜率不为0，设l 与x 轴交于点Q ，则有

1

2

QM QP

=

，即

11

22

Q Q

x x --=

-，由此解得4Q x =-

，且k ==

)4y x =+

．联立)22

41

4

3y x x y ?=+????+=??，消去y ，可得27880x x +-=

．由弦长公式，有

187AB ===． 练习2：已知椭圆C ：22

142

x y +=，()00,P x y 为椭圆C 外一点，过点P 作椭圆C 的两条

切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．

（1）当点()00,P x y 为定点时，求直线AB 的方程； （2）若PA 、PB 相互垂直，求点P 的轨迹方程． 【解析】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 方程为11142

x x y y

+=，

点P 在切线PA 上，所以

1010142x x y y +=…①．同理，切线PB 方程为22142x x y y

+=，点P 在切线PB 上，所以2020142x x y y +=…②．由①②可得直线AB 的方程为00142

x x y y

+=，即00240x x y y +-=． （2）①若直线PA 、PB 的斜率都存在，不妨设其斜率分别为1k 、2k ，则121k k =-．设

过点()00,P x y 的直线方程为()00y y k x x -=-．由()

002214

2y y k x x x y ?-=-?

?+=??消去y 可得

()()()2

2

20000214220k

x k kx y x kx y +--+--=．因为直线与椭圆相切，所以

()()()2222000016421220k kx y k kx y ???=--+--=??

，即()

222

00004220x k x y k y -+-+=．由

PA 、PB 与椭圆相切可知1k 、2k 是该方程的两个实数根，所以2

122

214y k k x -==--，即22006x y +=．

②若直线PA 、PB 中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P 的坐标为

(2,2±±，满足2

2006x

y +=．

综上所述，点P 的轨迹方程为226x y +=．

【点评】给定圆锥曲线C 和点()00,P x y ，用0x x 、0y y 、

02x x +、02

y y

+分别替换2x 、2y 、x 、y ，得到直线l ，我们称点P 和直线l 为圆锥曲线C 的一对极点和极线．其结论如下：当P

在圆锥曲线C 上的时候，其极线l 是曲线C 在点P 处的切线；当P 在圆锥曲线C 外的时候，其极线l 是曲线C 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当P 在圆锥曲线C 内的时候，其极线l 是曲线C 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：

椭圆22

221x y a b +=（0a b >>），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b

+=．

双曲线22

221x y a b -=（0a >，0b >），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b

-=．

抛物线22y px =（0p >），与点()00,P x y 对应的极线方程为()00y y p x x =+．

在椭圆22221x y a b +=（0a b >>）中，点(),0P c 对应的极线方程为2

a x c

=，这就是椭圆的

右准线．

本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进()11,A x y 、

()22,B x y 、()00,P x y ，共2个未知数x 、y 和4个参数：1x 、1y 、2x 、2y ，利用以下5个方

程进行消参：1010142x x y y +=、2020142

x x y y +=、2211142x y +

=，22

22

142x y +=、121214x x y y =-． 练习3：如图，抛物线1C ：24x y =和2C ：22x py =-（0p >）． 点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点分别为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ）．当012x =时，切线MA 的

斜率为1

2

-．

（1）求p 的值；

（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O 时，

中点为O ）．

【解析】（1）因为抛物线1C ：

24x y =上任意一点(),x y 的切线的斜率为2

x

y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以点A 的坐标为11,4?

?- ??

?，故切线MA 的方程为()11124y x =-++．因为点

()

01M y 在切线MA 及抛物线2C 上，所以有(0113

2244

y =-

+=

和(2

012py =-，由此可得2p =．

（2）设(),N x y ，2

11,

4x A x ?? ???，2

22,

4x B x ??

??

?

． 当12x x ≠时，因为N 是线段AB 的中点，所以有12

2

x x x +=…①，22

128x x y +=…②．切线

MA 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x x y =

-，同理MB 的方程为2

22

24

x x x y =-．解此方程组，得MA 、MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204

x x

y =，由此及点M 在抛物

线2C 上，得2

004x y =-，即22

12126x x x x +=-…③．由①②③可得243

x y =，0x ≠．

当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，此时线段AB 的中点N 为原点O ，坐标也满足上述方程．因此，线段AB 的中点N 的轨迹方程为24

3

x y =

．