圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)
专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题
一、临阵磨枪
1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀
1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥
2.已知圆O 的方程为22
2
=+y x ，圆O '的方程为01082
2
=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =
3.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1
MF 的中点P 的轨迹方程为
析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：
0000
22
22
x c x x x c y y y y -?
=?=+????
?=??=?? 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上
∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为
22
22(2)41x c y a b
++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+
=-,0),2
1
(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
析：设点D 为BC 的中点，显然有OP OA AP -=u u u r u u u r u u u r
12AB BC AB BD AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
[),0,AP AD λλ=∈+∞u u u r u u u r
故点P 的轨迹是射线AD ， 所以，轨
迹一定过三角形的重心。
三、大显身手
1、直接法
例1、设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，若,2PA BP =且1=?AB OQ ,则P 点的轨迹方程为
解：设(,0),(0,)A a B b 又(,)P x y 所以(,),(,)BP x y b PA a x y =-=--u u u r u u u r
又,2PA BP = 所以32()223x a x a x
y b y b y
?
=-=?????-=-??=?
33
(,0),(0,3)(,3)22
A x
B y AB x y ∴∴=-u u u r
而Q 点与P 点关于y 轴对称，∴点Q 的坐标为(,)x y - 即(,)OQ x y =-u u u r
又1=?AB OQ 所以
2
23312
x y += 这个方程即为所求轨迹方程。 变式1、已知两点M （-2,0），N （2,0），点P 满足0=?+?NP MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为
解:设(,)P x y 则：2
2
4,(2),(4,0),(2,).MN MP x y MN NP x y ==++==-u u u u r u u u r
又0=?+?NP MN MP MN
224(2)4(2)0x y x ∴+++-= 化简得所求轨迹方程为：28y x =-
2、定义法
例2、已知圆
A 的方程为
100)3(2
2
=+-y x ，点B （-3,0），M 为圆O
上任意一点，BM 的中垂线交AM 于点P ，求点P 的轨迹方程。
解：由题意知：BP MP =
AM PA MP PA PB =+=+∴
又圆A 的半径为10，所以 10=AM
10=+∴PB PA
即点P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴
的两交点除外）其轨迹方程为
)5(116252
2±≠=+x y x 变式2、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的焦点为
21,F F ，P 是椭圆上的任意一点，如果M 是线段P F 1的
中点，则动点M 的轨迹方程是
解：因为M 是线段P F 1的中点，连接OM ，则
221PF OM =
112
1
PF MF = 由椭圆的定义知：
a PF PF 221=+
a PF PF MO MF =+=
+)(2
1
211 即点M 到定点O 、定点1F 的距离和为定值a ，故动点M 的轨迹是以O 、1F 为焦点，
以a 为长轴的椭圆，其方程为14)2(4222
2
=++b
y a c x （说明：此题也可以用代入法解决）
3、坐标转移法（代入法）
例3、从双曲线12
2
=-y x 上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
O
P
x
y
A
B
M
x
y
P
F1
F2
M
解：设Q ),(00y x 则由
??
?=-+=+--0
20
00y x y x y x 可得 N 点坐标 ??
???++-=
+-=22220000y x y y x x 设),(y x P 由中点坐标公式可得：
???-+=-+=???
???
++-=
+-=23223222322232000000y x y y x x y x y y x x 又点Q ),(00y x 在双曲线122=-y x 上， 所以 4442020=-y x 代入得4)23()23(2
2=-+--+y x y x
化简得 2
1
)2
1()2
1(2
2
=
---y x 即为所求轨迹方程。 变式3、自抛物线x y 22
=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R ，求点R 的轨迹方程。
解：设),(),,(00y x P y x R ∵抛物线的方程是x y 22=
∴),2
1
(),0,21(0y Q F -
所以 直线OP 的方程是000=-x x x y 直线QF 的方程是 02
1
00=-
+y y x y 联立两方程得：??
???--=
--=12212200x y y x x x 又 02
02x y =
所以 )1
22(2)122(2--=--x x
x y 化简得：0222=-+x y x 即为所求轨迹方程。
4、参数法
例4、设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M （0,1）的直线l 交椭圆于A 、B ，点P 满足)(21OB OA OP +=,点)2
1
,21(N ，当直线l 绕点M 旋转时，求：
（1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最大、最小值。
解：（1）设直线l 的方程为1+=kx y 代入椭圆方程得
032)4(22=-++kx x k
设),(),,(2211y x B y x A 则 2
2142k
k
x x +-=
+ 2422)(2
2
2121++-=++=+∴k
k x x k y y 设动点P 的坐标为),(y x ，由)(2
1
OB OA OP +=
可得 ??
???+=
+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x 消去参数k 即得所求轨迹方程为：0422=-+y y x 当斜率k 不存在时，点P 的坐标为（0,0）显然在轨迹上，
故动点P 的轨迹方程为042
2
=-+y y x 。
（2）P 点的轨迹方程可以化为1)2
1
(41622=-+y x
所以可设点P 的坐标为)sin 2
1
21,cos 41(αα+ 则
21cos 41cos 163)sin 21()21cos 41(2222
+--=+-=ααααPN
12
7
)32(cos 1632++-=α
所以 当3
2
cos -
=α时 621max
=
PN 当1cos =α时 4
1min =PN 变式4、过抛物线x y 22
=的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB.
(1) 求弦AB 的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB 与x 轴的交点为定点。
解：（1）由题意知OA 的斜率存在且不为零，设为k
则直线OA 的方程为kx y =与抛物线x y 22=联立可得
点A 的坐标为)2
,2(
2
k
k 同理可得点B 的坐标为)2,2(2k k - 设弦AB 的中点为M （x,y ）则
??
???-=+=k
k y k k x 1122
消去k 得弦AB 的中点的轨迹方程为
22-=x y
（2）直线AB 的斜率为2
1k k
k AB -= 所以，其方程为)2(122
2
k x k
k k y --=+ 令0=y 得2=x 故直线AB 与x 轴的焦点为定点（2,0）
5、交轨法
例5、垂直于x 轴的直线交双曲线122
2=-b y a x 于M 、N 两点，
21,A A 为双曲线的顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，
并指出轨迹的形状。
解：.解：(1)设M 点的坐标为(x 1,y 1)，则N 点坐标为(x 1,－y 1),又有)0,(),0,(21a A a A -
则A 1M 的方程为：y =
)(11
a x a
x y ++ ① A 2N 的方程为：y =－
)(11
a x a
x y -- ② ①×②得：y 2
=－
)(222
2
12
1
a x a
x y --
③
又因点M 在双曲线上，故).(,122
1222122
122
1a x a
b y b y a x -==-即
代入③并整理得22
22b
y a x +=1.此即为P 的轨迹方程.
变式5、设点A 、B 为抛物线)0(22
>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知O A ⊥OB, OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
解:设OA=y=kx, 则x k
y OB 1
:-=，
?????==px
y kx y 22 得)2,2(2k p k p A 同理 B(2pk 2, -2pk)
22
2
22111112222k k k
k k k k
k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= AB:2322
2121)2(12k pk x k k pk x k k pk y ---=--=+ )2(112112212
22232p x k
k
k pk x k k k pk pk x k k y --=---=----=....① 而op: x k
k y 2
1-=.....② ∵ M 为AB 与OM 的交点，联立①②???
?
???--=--=)2......(..........1)1).......(2(12
2x k k y p x k k y
(1)×(2)消去k, y 2=-(x-2p)x, ∴ x 2+y 2
-2px=0(x ≠0)
即为所求.
四、享受战果
1、已知4),0,2(),0,2(=+-PN PM N M ，则动点P 的轨迹方程为 析:满足条件的点在线段MN 上，故轨迹方程是0(22)y x =-≤≤
2、经过抛物线px y 22=焦点的弦的中点的轨迹方程为
析：设过焦点的弦AB 所在的直线方程为()2
p
y k x =-
代入抛物线方程消去y 的 222
2222
()2(2)024
p k p k x px k x p k x -=?-++
= 设1122(,),(,)A x y B x y AB 的中点为(,)M x y
则 []2122
1212
(2)
22()22x x p k x k y y k p
y x x p k ?++==???+?==+-=??
消去参数k 得 2()2
p
y p x =- 这就是所求轨迹方程。
3、与圆042
2
=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 析：若与圆042
2
=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的左侧，
则所求轨迹方程为0(0)y x =<
若与圆0422=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的右侧
则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到y 轴的距离， 故所求轨迹方程为28.y x =
4、设21,A A 是椭圆14
92
2=+y x 的左右顶点，21,P P 是垂直于长轴的弦的端点，则直线11P A 与22P A 的交点的轨迹方程为
解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴
300+=
--x y
x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴
3
00-=
-+x y
x x y y 解得x 0=14
9,149,3,92
22
02
00=-=-=y x y x x y y x 即代入得
5、已知椭圆13
422=+y x 的焦点为21,F F ，A 是椭圆上任意一点，过点1F 向∠21AF F 的外角平分线作垂线于D ，则点D 的轨迹方程为
解：设D F 1的延长线交直线A F 2于P ，
),(),,(11y x P y x D 由椭圆的定义知：
a AF AF PF 2212=+==8 ∴8)1(2121=+-y x ①
又???=+=??????
=
-=y y x x y y x x 2122211111 代入①得 )0(222≠=+y y x 即为点D 的轨迹方程。
6、过原点的双曲线以F （4,0）为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方 程为
析：设双曲线的中心为(,)P x y ，则双曲线的另一个焦点为(24,2)F x y '-
又双曲线过原点，且实轴长为2，
所以 4OF OF '-= 即224(24)44x y --+=
化简得： 22(2)16
6).x y x -+=≠（ 7、在ABC ?中，已知B （-3,0），C(3,0),A D ⊥BC 于D, ABC ?的垂心H 分AD 所成的比为
8
1
。（1）求点H 和点A 的轨迹方程；（2）设P （-1,0），Q （1,0）那么
HQ
PQ HP 1,1,1能成等差数列吗？ 解 (1)设H 点的坐标为),(y x ,对应的A 的坐标为
),(11y x , 则D 的坐标为)0,(1x , 由H 分有向线段
此即点H 的轨迹方程.
(2)由(1)可知, P , Q 分别为椭圆的左右焦点, 设H (x , y ), 且
数列, 则
知所成的比为81???
??==1
1
98y y x x AC
BH ⊥Θ又13
311-=-?+∴x y x y ,13
893-=-?-x y x y 故),0(18922≠=+y y x 即得代入上式再将,981
1?????==y y x x ,188********=+y x ,18189212
1=+y x 即的轨迹方程为故点A ).0(181892
2≠=+y y x 能成等差QH
PQ HP 1,1,1但,112HQ HP PQ +=故
,3
13,313,2x HQ x HP PQ -=+==27,3
13131312
22=-++=x x x 化简得!
,0319
182
2矛盾但此时<-=-=x y .1,1,1不可能成等差数列故QH PQ HP
8、 已知直线l 与椭圆 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别
交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.
解： 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为 代入椭圆方程 得
化简后，得关于的一元二次方程
于是其判别式
由已知，得△=0．即 ①
在直线方程y=kx +m 中，分别令y =0，x =0，求得 令顶点P 的坐标为(x ，y )，由已知，得
代入①式并整理，得
即为所求顶点P 的轨迹方程.
9、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4,0）的距离之比为2，则点P 的轨迹方程 是
略解：由题意知：点P 到点A （4,0）与它到直线x=1的距离之比为
2
1 设P(x,y)则
2
1
1)4(22=-+-x y x 化简得：06330432
2
=+-+x y x
10、已知A （0,7），B （0，-7）C （12,2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的
另一焦点F 的轨迹方程。
解：由题意得：BF BC AF AC +=+ 而15,13==BC AC
所以 2=-BF AF 故动点F 的轨迹是分别以A 、B 为焦点，实轴为2的双曲线的下半
支，其方程是 )1(148
2
2
-≤=-y x y 11、已知圆O 的方程42
2=+y x ，若抛物线过点A(0，-1),B(0,1)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点的轨迹方程。
)0(122
22>>=+b a b y a x ).
0(≠+=k m kx y ，222
222b a y a x b =+.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a ).
(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=?.2222m b k a =+).
,0(),0,(m S k
m
R -?????
=-=?????=-=.
,.,y m x y k m y k m x 解得,122
22
=+y b x a
解： 首先 设焦点为F （x,y ）,准线（即圆的切线）为 L
A 到L 的距离为a ，
B 到L 的距离为b
那么 根据抛物线的性质 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b
而a+b 恰是圆的直径(画个示意图 想想为什么) 既有 |AF|+|BF|=4
故 动焦点F 的轨迹是分别以A,B 为焦点的椭圆，而且半长轴是2
故所求轨迹方程是13
42
2=+x y 。 12、已知圆O 的方程22
2
=+y x ，圆O '的方程01082
2
=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。
解:设由动点P 向圆O 和圆O '所引的的切线的切点分别为A 、B ，则由题意有： ,PA PB = 即 2222
PO OA PO O B ''-=- 设(,)P x y 则 2222
3
2(4)62
x y x y x +-=-+-?=
即为动点P 的轨迹方程。 13、已知抛物线px y 22
=，过顶点的两弦OA 、OB 互相垂直，以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹方程。
解：设22
12
12(,),(,).22y y A y B y p p
由OA ⊥OB 可得 21212
221,4.OA OB p p
k k y y p y y ?=
?=-∴=-…………..① 可以求得，以OA 为直径的圆的方程为：11()()0.x x x y y y -+-=
即 2
11()()02y x x y y y p
-+-=. 同理，以OB 为直径的圆的方程为22
2()()0.2y x x y y y p
-+-= 设00(,)P x y ，点P 为两圆交点，则
22
12
0000100002()()0,()()0.22y y x x y y y x x y y y p p
-+-=-+-=
所以，12,y y 可以看作是关于z 的方程2
0000()()02z x x y y z p
-+-=的两根 整理得222
000022()0.x z py z p x y +-+=
由根与系数的关系，可知 22
00120
2()
.p x y y y x +=-
结合①式，有 220002x y px += 即 222
00()x p y p -+=
所以 P 的轨迹方程为 222
()(0).x p y p x -+=≠
故 点P 的轨迹是以(,0)p 为圆心，p 为半径的圆（去掉原点）.
(另法)；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为y kx b =+（显然0b ≠） ∴
1y kx b -= 则 2212y kx
y px px b -=?=?
2222by pxy pkx ?=-（两边同时除以2x ） 2()2()20y y
b p pk x x
?-+= ∵OA ⊥OB 则
1212212.y y pk
b pk x x b
==-?=- 代入直线AB 的方程：(2)y k x p =-………..① ∵OP ⊥AB ∴OP 的方程为： 1
y x k
=-
………….② ①、②式联立消去k ，得到P 的轨迹方程2
(2),(0)y x x p x =--≠
当AB ⊥x 轴时，斜率k 不存在，此时P 点为AB 中点，且在x 轴上，坐标为(2,0)p 满足上面的方程，因此P 点的轨迹方程为2
(2),(0)y x x p x =--≠.
14、已知三点N (0，)2a --,P (),0(),2,a F a t --,其中0>a ，动点M 满足0=?PM NP 且.2+=MF PM
(1) 求动点M 的轨迹方程；
(2) 过点F 作直线与动点M 的轨迹交于A 、B 两点，求AOB ?的面积的最小值。 解：（1）∵动点M 满足0=?PM NP ，且.2+=MF PM ∴动点M 的轨迹是以(0,)F a 为焦点，以y a =-为准线的抛物线。
所以点M 的轨迹方程是2
4x ay =.
（2）显然直线AB 的斜率存在设为k ，则直线AB 的方程为y kx a =+与抛物线方程联立消去y 得：22
440x akx a --= 设1122(,),(,)A x y B x y
则 212124,4x x ak x x a +==-
而
1211
222
AOB S a x x a ?=
-== 所以 当0k =时，AOB ?面积的最小值为2
2.a
15、已知点Q 位于直线3-=x 右侧，且到点F （-1,0）与直线3-=x 的距离之和为4.
（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；
（2）直线l 过点M （1,0）且交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足)(2
1
+=,且 0=?AB EP ,求点E 0(,0)x 的横坐标0x 的取值范围。 解：（1）设(,)(3)Q x y x >-由题意有
(]2344,3,0x y x x ++=?=-∈-
∴动点Q 的轨迹C 为以(1,0)F -为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线3x =-右侧 的部分.
（2）由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-
设1122(,),(,)A x y B x y 由24(1)
y x
y k x ?=-?=-?可得
22
2
2
2
12122
24
(42)0,, 1.k k x k x k x x x x k
-+-+=∴+== 由题意224121
2(42)40
(3)(3)0(3)(3)0
k k x x x x ?-->?++>??+++>? 解之得 2
3 1.4k <<
由 1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r 可知：点P 为线段AB 的中点， 22
22
(,)k P k k -∴- 由0EP AB ?=u u u r u u u r
可知 EP ⊥AB
202
12k k k x k
∴?=---
整理得02
2 1.x k =-- ∴0x 的取值范围是11
(,3)3
--
16、设双曲线C 1的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，
A 、
B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线
C 1上的任意一
点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q.
（Ⅰ）求Q 点的轨迹方程;
（Ⅱ）设（I ）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2 的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围.
（I ）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )
4
2222422222
2
2
2222222
222220000
)3(,1)
3(1:)2()1()2(1)
1(1,),0,(),0,(00
0000
a y
b x a a a x y b a b a x y b y a x a x y a x y a
x y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A =--==-∴=-=-?-???????
?-=-?--=+?+∴⊥⊥-即得代入得由ΘK K K K K K Θ 经检验点)0,(),0,(a a -不合
因此Q 点的轨迹方程为a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）
（I ）解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵A(－a , 0), B(a , 0), QB ⊥PB, QA ⊥PA
)
)0,(),0,((0,,1
)(:1)4)(3()
4())(())((:)2()3()
3(22)2()1()2()()
1()(11422224
2222222
222222
2202202200002
002000000
外除点点轨迹方程为不合题意时当得代入把解得代入把得由a a a y b x a Q a y b x a a x a x b
y a x a x b y a x y
a x y a x a x y a x a x y x x ax ax a ax yy x a x a ax yy x a x a
x y a x y a x y a x y -=-∴=-∴≠-∴±==--=--=-+=---=-=∴-=-?????-=+---=++∴???????-=-?--=+?+∴ΘK K K K K K K K
（I ）解法三：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴
100-=-?-a
x y a x y (1)
连接PQ ，取PQ 中点R
2
12
1
)2(112
1
11111
)(:)())0,(),0,((:0,,1)(,1)3)(2()
3(1
:)1()2()2(,02
|,|||||2
1
|||,|21||,,2
22122222222
42
22
42
22
2422224
2222222
22
22222202202
20022000≤<∴=-+
≤∴≥-+
=-+=+=+==--=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴
∴=∴==∴⊥⊥e e e e a c a b a a b a a e b a
y a x C I II a a a y b x a Q a y b x a a x a x b
y a x a x b y a x y a x y x
a y
y x x x
x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA ΘΘK K K K Θ的方程为得由解外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上
点在
17、如右图，给出定点A(a ，0)(a ＞0)和直线l ：x ＝－1．B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．
依题意，记B(－1，b)(b ∈R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=－bx ．设点C(x ，y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得
|y||y bx|1b
2
＝
．
①++
依题设，点C 在直线AB 上，故有
y =b
1a
(x a)x a 0 b (1a)y
x a
－
－．由－≠得＝－．
②
++-
将②式代入①式得
y [1+(1+a)y (x a)]=[y (1a)xy x a ] 2
222
2
-+-－，
整理得 y 2[(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2]＝0， 若y ≠0，则(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2=0(0＜x ＜a)；
若y ＝0，则b=0，∠AOB ＝π，点C 的坐标为(0，0)，满足上式．
综上得点C 的轨迹方程为
(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2=0(0≤x ＜a)．
(i)当a ＝1时，轨迹方程化为 y 2＝x(0≤x ＜1)．③ 此时，方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1时，轨迹方程为
(x a 1a )(a 1a )+y a 1a =1(0x a)2
22
22
----≤＜．④
所以，当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．
18、已知椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，
∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .
当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；
.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|
又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).
|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.
又???
???
?=+=221
010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.
∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)
19、已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，
（1）如果3
2
4||=
AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
解:（1）设)0,(a Q 由3
2
4||=
AB ，可得 ,3
1
)322(1)2||(
||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，
523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是
;0525205252=+-=-+y x y x 或
（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得
(*),22x
y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2 ).2(16 1 )47(22≠=-+y y x 20、 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程. 解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |， 故 |PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18 ＞6=|BC |， 故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程 为728122y x =1(y ≠0) 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2 6 ＝1. 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2， 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2 ，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2 ＋y 2 ＝1 4 和圆 (x －4)2＋y 2＝1 4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率； 招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =- 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一．知识要点 1．曲线方程 （1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 化” （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐 标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 （1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、 B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。 （2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 （3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在. 圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ． 32 D ．1 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 二、填空题 4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 三、解答题 6．圆C 过点()60A ， ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程； （2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1 ||2 PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程； 8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3 l x = 的距离之比是常数3 5，求点 M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在 圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程； 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；. （2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率. 一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D) 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题 说题”是近年来涌现出的一种新型教学研究模式 简单地讲：说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上，阐述对习题解答时所采用的思维方式，解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. “说题”使教研活动更入微了，可以说是教研活动的一次创新 般说来，说题应从以下几个方面进行分析：数学思想 与数学方法，命题变化的自然思维，小结、归纳与应用，题多解、发散思维，常规变式，多种变式、融会贯通，从特殊到一般寻找规律.要求数学教师不但对题目进行深层次的 挖掘，说出题目的本质、新意、特色，还要说出题目的编制、演变过程以及该题目的潜在价值 面是本人的一次说题研究，在此抛砖引玉供各位参考、说问题 背景 问题来源于2005 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷第22 题： 1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-2）的 椭圆的标准方程； (2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1 (a>b>0), 设 斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证 明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找 出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 二、说问题立意 1.考查椭圆的标准方程和性质；中心对称等； 2.考查数 学思想有：从特殊到一般思想；数形结合思想；分类讨论思 想；数学方法：判别式法；函数与方程转化等；引导将双 曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法.3.通 过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解；这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求. 、说问题解法 解法1（1）略（2）设直线I的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A（x1, y1 )、B (x2, y2),则有y=kx+m, x2a2+y2b2=1，解得( b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. ???△ >0，二m2vb2+a2k2，即-b2+a2k2vmvb2+a2k2.则 x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2. ??? AB 中点M 的坐标为(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ). 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） , 神奇的圆锥曲线动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 17．焦弦直线，中轴分比 四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题 37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题）高考圆锥曲线典型例题(必考)
圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题
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