鲁教版七年级上册数学知识

第一章生活中的轴对称

一．轴对称现象

1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴。

[例]：下列各图形哪些是轴对称图形，哪些是成轴对称？

[跟踪训练]1：（1）长方形是轴对称轴图形，它的对称轴有________条

（2）正方形是轴对称图形吗？答：_____，它共有______条对称轴。

（3）圆是轴对称图形，它的对称轴有__________条。

（4）轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形。

二．简章的轴对称图形

1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴。

[注]：角平分线的画法。

OC是∠AOB的角平分线，D是OC上任意

一点，则DM=DN

[跟踪训练]2：（1）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,

BC=10,BD=6,则D点到AB的距离是_______ （2）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,DE⊥AB,若

∠BAD=30，则∠B=_____,DE=____.

(3)如图，在△ABC中，AB

AD上任意一点，求证：AC-AB>PC-PB.

[提示]：在AC上截出一点E，使AE=AB.

（4）如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F,AB=10,AC=8, △ABC的面积为27，则DE的长为多少？

2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

线段是轴对称图形，对称轴是它的中垂线和这条线段所在的直线。

[例]：线段AB，l垂直平分线段AB，C是l 上任意一点

则AC=BC

[跟踪训练]3：

（1）如图，∠ABC=700, ∠A=500,AB的垂直平分线交AC

则∠DBC=_________

(2)如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE=3, △ABD的周长为13，那么

△ABC的周长为______。

(3)如图，公路l同帝有两工厂，现要求在公路上建一仓库。

①若要使仓库到A,B两工厂的距离相等，仓库应建在何处？

②若要使仓库到A,B两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？

3.等腰三角形是轴对称图形。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上高重合（也称“三线合一”），它们所

在的直线都是等腰三角形的对称轴。

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角，等角对等边）。

[跟踪训练]4：（1）已知等腰三角形一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于______。

H

H H

C

A

A B

B

l

A

B

（2）等腰三角形的一个内角为1500

，则它的底角为__________。

等腰三角形的一个内角为500

，则它的底角为___________。

（3）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=360

,BD 平分∠ABC,求∠1的度数。 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

等边三角形除等腰三角形的性质外，它的边都相等，三内角都相等。 [跟踪训练]5：（1）等腰三角形有______条对称轴；等边三角形有____条对称轴；矩形有____条对称轴；正方形有_____条对称轴；圆有_____条对称轴。

（2）如图，已知AB=AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，

那么△ADF 是等腰三角形吗？为什么？

5.直角三角形中，如果一个锐角等于300

，那么它所对的直角边 等于斜边的一半。

如图：在Rt △ABC 中，∠BAC=300

,则BC=

2

1

AB. （可用右图进行证明：右图是两个全等的直角三角形，其中∠BAC=300， ∠ACB=900。）

三．探索轴对称的性质 1.轴对称的性质

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂平分。 （3）成轴对称图形的两个图形的对应线段相等，对应角相等。 2.轴对称图形的性质

（1）轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分。 （2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。

[跟踪训练]6：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 点在AD 上，利用轴对称的性质说明BE=CE.

如右图所示。

[跟踪训练]7：画出下面各图的镜面对称图形。 [跟踪训练

]8：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑。如图（1）（2）

观察图（1），（2）中涂黑部分构成的图案。它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑部分都是三个小正三角形。 请在图（3），（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。

[跟踪训练]9：如图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC

于D ，交AC 于E ，BE=5cm ，△BCE 的周长是18cm ，求BC 的长。

B

B

B

B

B

第二章勾股定理

一．探索勾股定理

1.[探索]：

(1)观察上图（图中每个小方格代表一个单位面

积）

正方形I中含有_______个小方格，即I的面积是

________个单位面积。

正方形II中含有______个小方格，即II的面积

是________个单位面积。

正方形III中含有______个小方格，即III的面积

是________个单位面积。

（2）[思考]：根据上面的信息，我们能得到I、II、

III图形面积有怎样的关系？

（3）仔细观察上面的图形，三个图形分别是什么图形？即图I、II、III的面积可用字母ɑ,b,c

怎样表示？

（4）根据（2）（3）中的信息，我们能得到关于ɑ,b,c怎样的等量关系？

（5）观察上图中由ɑ,b,c为三边的三角形是什么三角形？

2.[教师总结]：勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为ɑ,b,斜边为c，那么ɑ2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方

和等于斜边的平方。

[跟踪训练]1：求出下列直角三角形中未知边的长度

[跟踪训练]2：探索大正方形的面积的表示方法，从而验证一个定理。

如图所求：（1）把右图看成一个大正方形，则大正方形的面积可用__________=___________,

又可以把大正方形的面积看成由四个直角三角形和一个内

部正方形组成，则面积可表示为____________________。

（2）则由（1）可验证出一个什么定理？

____________________________。

二．勾股数

1.如果三角形的三边长ɑ,b,c满足ɑ2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足ɑ2+b2=c2的三个整数ɑ,b,c，称为勾股数。

[跟踪训练]3：判别下列各组数是否为直角三角形。

（1）5，12，13；（2）7，24，25；（3）8，15，17. （4）9，12，15

三．勾股定理的应用举例

有一个棱柱，它的底面是边长为厘米的正方形，侧面

都是长为12厘米的长方形。在棱柱下底面的A点处有一只蚂

蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬

行的最短路是多少？

[分析]：将棱柱沿侧棱剪开，展成一个长方形，从A点到B点

的最短路线是什么？

6

8

x

5

x

13

第二章 [勾股定理练习题]

1.如图1所求，在△ABC 中，∠C=900。

（1）若b=12,ɑ=16，则c =___________； （2）若ɑ=40，c=41，则b=___________;

（3）若ɑ:b=12:5,c=39,则ɑ=______，b=_______。

2.如图2，一根旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在 离旗杆12m 处，旗杆折断之前有多高？

3.一个零件如图3所示，已知AC=3cm ，AB=4cm,BD=12cm, ∠A=∠CBD=900

,求CD 的长。

4.如图4，在四边形ABCD 中，∠BAD=900, ∠CBD=900

,且AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF

的面积。

5.一艘船从小岛出发，向正南方向航行了80千米，然后向正西航

行到离小岛170千米的地方，这艘船向正西方向航行了多远？ 6．矩形纸片ABCD 中，AD=4cm,AB=10cm,如图5方式 折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，

则DE=_______cm 。

6．如图6，长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子 从A 出发，沿长方体表面到达C 处，则绳子最短是________。

7.一架梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，且测得墙与梯子底端相距

米，那么此时墙高为___________米。 8.在Rt △ABC 的斜边AB 上另作Rt △ABD ，并以AB 为斜边，若BC=1,AC=b,AD=2,则BD 2

=______ 9.如图7，在Rt △ABC 中，∠ACB=900,AC=12,BC=5,

AM=AC,BN=BC,则MN=_________

10.一辆装满贷物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形 状如图8的某工厂，则这辆车能否通过厂门，并说明理由。

11．在直线l 上依次摆放着七个正方形，如图9所求，已知 倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=__________.

12.如图10,四边形ABCD 中,AC ⊥BD,请你判断AB 2+CD 2与AD 2+BC 2之间的关系,并说明理由.

图1B

图2

A

图3A

图4

D

A

图7

A

米图8

A C l 图9

S4S3S2S1

3

21 图10

B

第三章 实 数

一．无理数

1.有理数总可以用有限小数或无限循球小数表示，反过来，任何有限小数或无限循球小数也都是有理数（有理数是由整数和分数组成的）。

2.像……，1.……这样的数既不是有限小数也不是无限循球小数，但它们也是确实存在的数，那么我们把这样的无限不循球．．．小数叫做无理数。 [跟踪训练]1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

，-3

4，，0.……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。

[跟踪训练]2：在-71，，2π，……（两个1之间依次多1个2），1312，-3

2

中，

正数集合{ ……}

负数集合{ ……} 有理数集合{ ……} 无理数集合{ ……}

二．平方根

1.概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。 [跟踪训练]3：求下列各数的算术平方根： （1）900 （2）1 （3）64

49

（4）14 [分析]：因为

302=900，所以

900的算术平方根是30，即900=30。

[跟踪训练]4：（1）一个数的算术平方根是4，这个数是____________。 （2）求下列各式的值：

144= 81.0= (56)2=

2

56=

(4)一个自然数的算术平方根为，则比这个自然数小1的数的算术平方根是什么？

2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。

[例]64的平方根是±8.因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±

64=±8。

（1）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 （2）正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ”，另一个是“-a ”，它们是互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±

a ，读作“正负根号a ”。

求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

[跟踪训练]5：求下列各数的平方根

（1）36 （2） （3）(-25)2 (4)11

[想一想]：（1）(64)2等于多少？ （2）(2.7)2等于多少？

（3）对于正数a ，(a )2等于多少？ [跟踪训练]6：求下列各式的值

（1）16，-44.1，1，-2)7(-，(-3.0)2,(a )2,2)(a

（2）已知2m-1的算术平方根是3，18-n 的算术平方根是4，求m+2n 的算术平方根。

（3）求下列各式中的x

x 2-36=0 =1

（4）已知一个正数x 的两个平方根分别是a +4, a -2，求a 与x 的值。

三．立方根

1.概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根

[例]：2是8的立方根；-2是-8的立方根。

[探索]：4的立方等于多少？还能找到这样的一个数使它的立方等于64吗？

2.每个数都只有一个立方根；正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

3.数a 的立方根，记为“3a ”，读作“三次根号a ”。

求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

[例]x 3=7,x 是7的立方根，即x=37;而(-2)3=-8，-2是-8的立方根，即38-=-2 [跟踪训练]7：求下列各数的立方根 （1）-64

125

8

-5

[跟踪训练]8：求下列各式的值 （1）327

3

64

1-

3

3

（2）求下列各式中的未知数x 的值

(x+5)3=27 27(x+1)3=-1000

（3

y ≠0）互为相反数，求21

x y

+的值。

四．方根的估算 1.平方根的估算

思想：首先观察所求数是在哪两个整数之间，然后取两整数的中间值，先平方与所求数比

较大小，以确定其进一步的范围，其次可再进一步取中间值进行依次比较来更精确的确定所求数的大小。

[例]

的大小

[分析]：因为32=9，42=16，所以

<4

的值应在3也4之间，那么我们取，求=>11，所以

可进一步确定

，然后可再取，并求=<11,则

<，还可以进一步求下去……

[跟踪训练]9：（1）比较下列各数的大小

12与1

2

+

（2

与

（3

2.立方根的估算：方法同“平方根的估算”。

五．实数

1．[概念]：有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 2.实数也可分为正实数、零、负实数。

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

第四章概率的初步认识

一．可能性的大小

[巩固知识]：不确定事件：不能确定是否发生的事件。也叫随机事件。

必然事件：一定能发生的事件。

不可能事件：一定不能发生的事件。

1.事件发生的可能性是有大小的。人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。而不确定事件的发生可能性则在0~1之间.

2.用下图表示事件发生的可能性：

3.判别一游戏对双方是否公正，就是看双方获胜的可能性是否相同。

[跟踪训练]1：（1）一个口袋中有1个红球，1个黄球，8个蓝球，小李从口袋中摸出3个球，他会摸出哪3种球呢？请说出不可能事件、必然事件、不确定事件各一个。

（2）甲乙两人做如下游戏：一个均匀的小立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.任意掷出小正方体后，若朝上的数字小于4，则甲获胜；若朝上的数字大于3，则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？并说明理由。

二．事件发生的概率及概率大小的简单计算

1.一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A发生的概率：

2.必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0；如果A为不确定事件，那么P(A)在0和1之间.

[例]书架上放有5本中文书，3本英文书，2本俄文书，从中任意抽出一本是外文书的概率是多少？

[分析]任意抽出一本书，所有可能出现的结果共有10种，每种结果的概率都相等，其中外文书结果有5种。因此P（外文书）=

2

1

10

5

。

[跟踪训练]2：（1）一盒中有3个白球，9个黑球，从中任取一球，取得白球的概率是______，取得黑球的概率是__________。

（2）如果在10万张福利彩票中，有4张一等奖，6张二等奖，10张三等奖，那么买一张彩票中奖的概率有多大？中一等奖的概率是有多大？

（3）从40本已编号的书（从1号到40号）中，任取一本，取得书号是10的概率是_____；取得书号是偶数的概率是________。

（4）如图所示，转盘被等分成16

指针落在红色区域的概率为

8

3

，你还能举出一个不确定

事件，它发生的概率也是

8

3

吗？

（5）如图所示，转盘被等分10个扇形，每一个扇形标有1，

2，3，4，5中的某一个数字，自由转动这个转盘，计算下列事件发生的概率。

①指针指到数字3；

②指针指到数字1；

③指针指的数字是偶数；

④指针指的数字不是4；

⑤指针批的数字小于6.

（6）一个事件发生的概率不可能等于（）

A 0 B

2

1 C 1 D

2

3

（7）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意拨号，第一次接通电话的概率是___。（8）小明同学玩一种飞镖游戏，随意向右边的圆盘上抛飞镖，惹冰镖都扎在圆盘上，则飞镖扎在图中阴影部分的概率是多大？

2

11（100%）不可能可能发生必然

发生发生

P(A)=事件A可能发生的结果数所有等可能结果的总数

第五章 平面直角坐标系

一．确定位置

1确定物体位置的方法：

（1）在平面直角坐标系中利用坐标确定点。 （2）利用“方位角”和距离（极坐标）确定点。（象限角和距离法） （3）有时也利用大致区域槿相邻区域找物体所在位置（区域定位法）。 各种定位方式，基本都需要两个数据。

2象限角：目标方向线与南北方向之间的夹角也称为象限角。 3.表示点的数据是有顺序的，顺序不同则表示的点不同。 [跟踪训练]1：(1)

① 正东方向上有哪些设施（或单位）？要明确这些设施相对 于学校的位置，还需要哪些数据？

② 离学校最近的设施是什么？在学校的哪个方向？这一方向

上还有其它设施吗？怎么区分？

③要确定文化馆相对于学校的位置，需要哪些数据？

（2）如图，以灯塔A 为观测点，小岛B 在灯塔A 的北偏东

300，距灯塔10km 处，则以B 为观测点，灯塔A 在小岛B 的

_______方向，中小岛B_____处。

（3）如图，点A 表示3街与5大道的十字路口，点B 表示5街 与3大道的十字路口，如果用(3,5)

→(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)表示由A 到B 的一条路径，那么你能用同样的方式写出由A 到B 的其他几条路径吗？

二．平面直角坐标系

1.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平放置的数轴叫做x 轴或横轴，竖直放置的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴，其公共的

原点O 称为平面直角坐标系的原点，坐标为(0,0)。

注：直角坐标系内的点的坐标表示为：(横坐标，纵坐标)。

2.

象限内，横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.

注：(1)一到四象限内的点的坐标符号：(+,+),(-,+),(-,-),(+,-)。 (2)坐标轴上的点不在任何一个象限内。

[探索]：找出一至四象限关于轴对称，原点对称的情况

[跟踪训练]2：（1）写出右图中五边形ABCDE 的各个顶点的坐标。 点A 的坐标与点B 线段AB 的位置有什么特点？

(2)设m 是实数，若点A(-3,2m+1)关于原点对称的点在第四象限，求m 的取值范围。

(3)若点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x 轴上，则

P 点的坐标是____________。 (4)若点P 满足|x+1|+

3 y =0,则点P 的坐标为______________。

3.[跟踪训练]3：(1)在右图的直角坐标系中描出下列各点， 并将各组内的点用线段依次连接起来。 ①(-5,0),(1,4),(1,-4)(-5,0); ②(1,1),(2,2),(2,-2),(1,-1). 观察所得图形，你觉得它像什么？

1街543216

(2)若点A(m+1,3m-5)到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m

(3)在直角坐标系中，画出以点A(0,0),B(3,4),C(3,-4)

为顶点的△ABC,判断三角形的形状，并求此三角形的面积。

4.建立适当的坐标系表示图形各点。

(1)长方形、正方形在直角坐标系中一般以其中的一个顶点为原点，其他两点中的一点在纵轴上，另一点在横轴上，而最后一点则放在第一象限内的表示法。

(2)三角形一般以底边的垂线为纵轴，则其顶点在纵轴上，其它两点则分别在横轴上。[跟踪训练]4：如图，矩形ABCD的长宽分别为6和5，建立适

当的坐标系，并写出各点的坐标。

(2)对于边长为2的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写

出各顶点的坐标。

三．直角坐标系中的图形

[知识点]：对已知图形的纵横坐标进行相应长度的变化后观察与原图形的的变化。

1.(1)图形的伸缩(2)图形的平移(3)图形的翻转

2.图形的变化与图形上点的坐标变化：

若两个图案关于y轴对称，则两幅图案上各个对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个图案关于x轴对称，则两幅图案上各个对应点的横坐标相同，纵坐标分别变为原来的相反数。

[跟踪训练]5：(1)如图，在同一直角坐标系中，左右两幅图案关于

y轴对称，在右图案中，左右眼睛的坐标分别是(2,3),(4,3),

嘴角左右端点的坐标分别是(2,1)(4,1). ①试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；

②你是怎样得到的？

(2)如图，作字母M关于y轴的轴对称图形，并写出所

得图形相应各端点的坐标。

(3)如图，三角形ABC的顶点分别为A(1,1),B(3,1),C(2,3)。

①在同一直角坐标系中，将三角形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标；

②将三角形向下平移2

③在①②中，你发现各点横、纵坐标发生了哪些变化？

第六章 一次函数

一．函数

1.像我们在六年级下学期数学第十二章中学的变量之间的关系中关系式：

y=10x+60,300

2

v s =，都有两个变量，给定其中某一个变量（自变量）的值，相应地就确定

了另一个变量（因变量）的值。

2.一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y,如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量,y 是因变量。 [概念理解]：对x 的每一个值，y 都有确定的值与它是对应的关系。（这也是判别变量之间的关系是否是函数的关键）

[跟踪训练]1：(1)下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？ ①矩形的面积确定时，它的长与宽；②任意三角形的高与底； ③矩形的周长与面积；④正方形的周长与面积。

(2)举出生活中存在的函数关系的几个例子。

二．一次函数

1.[例]某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1千克，弹簧长度y 增加厘米。

(1)计算所挂物体的质量分别为1千克，2千克，3千克，4千克，5千克时弹簧的长度，并填入下表：

(2)你能写出y 与x 之间的关系式吗？（运用六年级下第十二章知识）

2.[概念]

(1)若两个变量x,y 间的关系式可以表示成b kx y +=(k ,b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数。

[注]：(1)一次函数的关系式即为一次函数的解析式。(2)x 的次数是1，b 为任意实数。 (3) k ≠0

(2)特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。

[跟踪训练]2：(1)写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？

① 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； ②圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系。

(2)已知函数3)

3(2

||+-=-m m y 是一次函数，求一次函数的解析式。

(3)等腰三角形的顶角度数y 与底角度数x 之间的关系式为______________________。

三．一次函数的图象 1.图象：把一个函数的自变量x

与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

[注]：图象的横坐标与纵坐标是一一对应的，且都在函数图象上，即函数图象通过该点。 2.图象的绘制：

(1)图象的绘制一般取x=0,y=0时，所对应的两点，另外x=-1，1等数求出相应y 的值，然后用坐标表示，并在坐标系绘制上面各点，最后连线。

(2)步骤：首先列表求出x,y 的对应值，其次在直角坐标系中绘制上面各点，最后连接各点。

[跟踪训练]3:(1)作出一次函数y=2x+1的图象。

(2)已知某个一次函数如图所示，求该函数的解析式。

(3)已知点(a+2,1-a)在函数y=2x+1的图象上，求a 的值。

3. 一次函数的图象和性质

(1)一次函数y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(k

b

-

，0)的直线；正比例函数图象y=kx 经过原点(0,0)的直线。

(2)当k>0时，y 随着x 的增大而增大，图象过第一、三象限，b>0过第二象限；b<0过第四象限。且k 越小越接近于x 轴，反之越接近于y 轴。

当k<0时，y 随着x 的增大而减少，图象过第二、四象限，b>0过第一象限；b<0过第三象限。且k 越大越接近于y 轴，反之越接近于x 轴。

4. 1122

y k x b y k x b =+??=+?

(1)当k 1=k 2，且b 1≠b 2,表示两条一次函数的图象即两条直线平行； (2)当k 1×k 2=-1，两条直线垂直。(3)k 1≠k 2时，两直线相交。

[例]已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A(-6,0),与y 轴交于点B ，若△AOB 面积为12，且y 随x 增大而减小，求一次函数的解析式。

解： 一次函数交于y 轴于B 点，∴点B 的坐标为(0,b)

A 点在函数图象上，∴有0=-6k+b 即b=6k

△AOB 面积为12，∴有6×|b|=24即b=4±,则k=3

2

±

y 随x 的增大而减小，∴k<0，即k=-3

2

，则b=-4

∴一次函数的解析式为y=-3

2

x-4

[跟踪训练]4：(1)直线y=kx+b 与x 轴交于A,与y 轴交于B ，且线段OA=1,OB=2,求这条直线的解析式。

(2)为缓解用电紧张矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准。 每用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示，根据图象， 请分别当0≤x ≤50和x>50时，y 与x 的函数关系式。

(3)某医花研究所开发一种新蒶，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后：

①分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 的函数关系式（即为解析式）； ②如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾 病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

5.探索函数kx y =与b kx y +=的位置关系：b kx y +=是经kx y =图象向纵轴上方移动b 个单位得到的。若向下平移b 个单位，则函数解析式为b kx y -=。

[注]：当b>0时，向y 轴上方移动b 个单位；当b<0时，向y 轴下方移动b 个单位。 [跟踪训练]5：(1)把直线12+=x y 向下平移2单位得到新的函数图象，求新函数的解析式。

(2)在平面直角坐标系中画出x y 2=的图象，若将它的图象向下平移2个单位长度，得到的函数解析式是什么？

(3)设一次函数y=kx+b(k ≠)，当x=0时，y=-3,当x=-1时，y=4. ①求这个一次函数的解析式；

②求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

(4)正比例函数的图象经过(5,-2)点，那么这个函数的解析式为_____________________。 (5)一次函数y=kx-3,当x=4时，y 的值为-7，则k=___________。 (6)当b=_______时，直线y=2x+b 与直线y=3x-4的交点在x 轴上。

四．一次函数图象的应用(与六年级下册第十二章变量之间的关系联系)

1.能通过观察、理解函数的图象，获得有用的信息，发展学生的形象思维。

2.会找到实际问题中的一次函数关系，利用一次函数的图象与性质解决实际问题，研究事物的发展、变化规律。

[跟踪训练]6：(1)某气象研究中心观测一场沙尘暴以发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风速保持不变。当沙尘暴遇到绿色植

被区时，其风速平均每小时减少1千米/时，最终停止，

结合风速与时间的图象，回答下列问题：

①在y 轴（ ）内填入相应的数值；

②沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？

③求出当x ≥25时，风速y （千米/时）与时间x(小时) 之间的函数关系式。

(2)王教授和孙子小强经常一起爬山,有一天小强让爷 爷先上,然后追赶爷爷.图中的两条线段分别表示小强 和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关

系(从小强开始爬山时计时).

①小强让爷爷先上多少米?

②山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?

③小强经过多少时间追上爷爷?

(3)已知一次函数y=kx+b 的图象与另一个一次函数y=3x+2的图象相交于y 轴上的点A ，且x 轴下方的一点B(3,n)在一次函数y=kx+b 的图象上，n 满足关系式|a|=-n

16

,求这个一次函数的解析式。

x/(小时)

（ （

第七章 二元一次方程组

一．二元一次方程组

有时我们在解决应用题时，常会遇到需要设两个未知数的情况，如 暑假里，我们8个人去红山公园玩，每张成人票5元，儿童票3元，买门票花了34元。问我们当中有几个成人和几个儿童？

设他们中有x 个成人，y 个儿童，则题意得到以下两个方程 由人数和得：x+y=8 和 由购门票款得：5x+3y=34

1. 含有两个未知数，并且含未知数的项都是一次的方程叫做二元一次方程。 注：(1)满足二元一次方程的解有若干个。(2)方程的最高次数是1.

上面的两个方程中x,y 的含义相同，所以x,y 的值必须同时满足以上两个方程，则必须把它们联合起来，得

??

?=+=+34

358

y x y x 2.像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。有若干个。 3.同时满足二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。只有一组。 [跟踪训练]1：(1)判断下列各方程是否是二元一次方程或二元一次方程组，并说明理由。 4x+3y-9=0 2x+3y-2z=3 63

=+y

x 3x-xy=5 ??

?-==68

y x ??

?=-=+3

235

4y x y x

(2)下列四组数中，哪一组是二元一次方程组?

??=+=-1435

y x y x 的解？（ ）

A ??

?-=-=23

y x B

??

?-==23

y x C ??

?=-=23

y x D ??

?==2

3

y x (3)根据题意，列方程或方程组

甲，乙两数之和是15，它们的差等于3，求这两个数

二．解二元一次方程组 1.代入消元法（代入法）：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数，例如y ，用含x 的代数式表示出来，也就是写成y=ax+b 的形式； ②将y=ax+b 代入另一方程中，消去y ,得到关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；

④把求得的x 的值代入y=ax+b 中，求出y 的值，进而得出方程组的解。 [例1]解方程组??

?=+=+13

416

32y x y x

解：由②，得 x=13-4y ③ 将③代入①，得 2(13-4y)+3y=16 y=2

将y=2代入③，得 x=5 所以原方程组的解是???==2

5

y x

[跟踪训练]2：解下列方程组

(1)???=++=++07650432y x y x (2)???=-+=+5)(27x y x y x (3)?????

=+-=65

342

5y x y x (4)??

?=-=+711y x y x (5)???=--=+02463247y x y x (6)???-=-=-y

y x y x 1143615

36

(7)???-=-=-957591735y x y x (8)???=-+=+521)5(345y y x y x (9)?????-=-=-3

265

32y x y x

【试一试】已知点M(3a-b,5),N(9,2a+3b)关于x 轴对称，求b a

的值。 2.加减消元法（加减法）：①方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数互为相反数或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程;

④将求出的未知数的值代入到原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，即可得到原方程组的解。

① ②

[例2]解方程组???=+=+17

4312

32y x y x

解：①×3，得 6x+9y=36 ③

②×2，得 6x+8y=34 ④ ③-④，得 y=2

将y=2代入①，得 x=3 所以原方程组的解是??

?==2

3

y x

[跟踪训练]3：解下列方程组 (1)??

?-=+=-1929327y x y x (2)???-=-=+5

25

34t s t s (3)9351323=-=+y x y x

(4)???=+=+963732y x y x (4)???

????=--=+22313

4x y x

y x (6)???=-=+33651643y x y x

(7)???-=+-=-)2(24)1(31y x y x (8)???+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x (9)???=+=--2

20

13y x y x

【能力挑战】若1053121

2=---++b a b a y x 是关于x,y 的二元一次方程，求a,b 的值。

【试一试】：解三元一次方程组??

?

??=+-=-=++182126

z y x y x z y x

三．二元一次方程组的应用 1.一队敌军一队狗，两队并成一队走，脑袋共有八十个，却有二百条腿走，请君仔细算一算，有多少敌军多少狗？

2.“甲乙隔河放羊，两个互相问数量。甲说得乙羊九只，我羊是你二倍；乙说得甲羊八只，两人羊数正相当，请帮助算一算，甲乙各放多少羊？”

3.“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。问多少房间，多少客？”

4.某校购买教学用29寸、21寸彩色电视机共7台，用去15900元，已知两种型号的彩电价格分别为3000元和1300元，求该校两种彩电各买了多少台？

5.小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，求去年的收入与支出各是多少？

6.甲乙两人分别从相距30千米的A,B 两地同时相向而行，经历了3小时后两人没有相遇，只相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩的路程是乙到A 地所剩路程的2倍。求甲乙两人的速度分别是多少？

7.李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得到利息元，已知这两种储蓄年利率的和为%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息金额×20%）

8.车间有90名工人，每人平均每天加工轴杆15根或轴承12套，问应该分配多少工人加工轴杆，多少工人加工轴承，才能使轴杆和轴承配套。

9．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，若把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。

10.某校体育部买进10副围棋和16副象棋，共用410元，若一副围棋比一副象棋贵15元，求每副围棋和象棋的价格。

11.有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。

① ②

12．三角形的周长为18cm ，第一条边与第二条边的长度的和等于第三条边长的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的

3

1

，求这个三角形的各边长。

四．二元一次方程和一次函数

[知识点]：二元一次方程的解有无数个，以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线，而且x+y=a 与y=-x+a 的图象是同一条直线，因此，可以利用一次函数的知识解二元一次方程以及二元一次方程组有关的问题。

[跟踪训练]4：(1)若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x 和y=2x-1的交点，求a 的值。

(2)如图，已知一次函数m x y +=23和n x y +-=2

1

的图象

都经过A(-2,0)点，则A 点可看成是哪个方程组的解？

(3)一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分钟元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外再以每分钟元的价格按上网时间计算，如何选择收费方式能使上网者更合算？

(4)已知四条直线5x+by=1,3x+y=1,ax+5y=4,2x-3y=8相交于一点，求a,b 的值。