第二章 天球与天球坐标系

第二章天球与天球坐标系

传统天文航海以太阳、月亮、行星和恒星（统称为天体，详见第十二章）为导航信标，获取天体的准确位置是开展天文航海的前提条件。在天文航海、球面天文学等领域，通常基于天球的概念，通过建立天球坐标系定义天体的位置。

本章详细介绍天球、天球基准点线圆、天球坐标系、天体位置坐标和天文三角形等概念，同时介绍基本的天球作图方法。

第一节天球与天球基准点线圆

作为研究天文航海问题的平台和工具，天球及其基准点线圆是航海人员必备的基本知识。

一、天球

夜间仰观天空，总感到天

空好象一个巨大的空心半球笼

罩在头顶上，而且不论我们如

何移动，总处于这个巨大的空

心半球的球心。分布在无限广

阔的宇宙中的所有天体，虽然

距离我们远近各异，都好像散

布在这个空心球的内表面上。

在天文学中，将这一感觉

上的空心球体作为研究天体直

观位置和运动规律的一种辅助

工具，并定义为天球。也就是

说，天球是以地心为中心，以

无限长为半径的想象球体（图

2-1-1）。所有天体投影在天球

内表面上的位置，也因源于感

图2-1-1 天球

观，称为天体的视位置。

值得说明的是，天球的半径为无限长这一特性，使得地球表面不同位置点之间的距离、

地球的半径，甚至地球到太阳之间的距离等有限长的量可以被视为无穷小而忽略。因此，分别以地球表面不同位置点上的测者、地心和日心为中心的天球，可以被认为是同一个天球。

二、天球基准点线圆

天球上的基准点、线、圆，都是根据地球上的诸如地极、地轴、赤道、地平面、测者铅

如图2-1-2和2-1-3所示，天球基准点线圆及其定义如下： 1．天轴和天极

将地轴（n s P P ）向两端无限延长，与天球球面相交所得的天球直径（N S P P ）称为天轴。天轴的两个端点称为天极。其中，与地球北极相对应的天极称为天北极，符号N P ；与地球南极相对应的天极称为天南极，符号S P 。

2．天赤道

将地球赤道（?qq

'）平面向四周无限扩展，与天球球面相截所得的大圆（?QEQ W '）称为天赤道。显然，天赤道与天轴相垂直。

3．测者铅垂线、天顶和天底

将地球上的测者铅垂线（_____

AO ）向两端无限延长，与天球球面相交所得的天球直径（____

Zn ），称为测者铅垂线。测者铅垂线与天球球面相交的两点，在测者头顶正上方的点称为天顶，符号Z ；在测者正下方的点称为天底，符号n 。

4．测者子午圈、测者午圈和测者子圈

将地球上的测者子午圈（?n

s n P AP P ）平面向四周无限扩展，与天球球面相交所得的通过

天北极、天南极、天顶和天底的大圆（?N

S N P ZP nP ），称为测者子午圈。天轴将测者子午圈等分为两个半圆，其中包含测者天顶Z 的半个大圆（?N

S

P ZP ）称为测者午圈；包含测者天底n 的

半个大圆（?N

S P nP ）称为测者子圈。 显然，测者午圈和测者子圈的与测者直接关联，位于地球表面不同经线上的测者，其测

者午圈和测者子圈各不相同。对位于格林经线上的测者，由其所定义的测者午圈和测者子圈，称为格林午圈和格林子圈。

5．测者真地平圈

通过地球中心且垂直于测者铅垂线的平面，与天球球面相截所得的大圆（?NESW ），称

为测者地心真地平圈，简称测者真地平圈。显然，测者在地球表面上的位置不同，其测者真地平圈各异。

6．方位基点

在天球球面上，测者真地平圈与测者子午圈相交于两点。其中，靠近天北极的点称为正北点，符号N ；靠近天南极的点称为正南点，符号S 。测者真地平圈和天赤道相交于两点，测者面向正北，右手方向的点称为正东点，符号E ，左手方向的点称为正西点，符号W 。N 、E 、S 、W 称为方位基点，并将测者真地平圈划分为NE 、NW 、SE 和SW 四个象限。

7．测者东西圈

通过测者天顶Z 、天底n 、正东点E 和正西点W 所作的大圆（?ZEnW ），称为测者东西

圈，又称卯酉圈。

三、天球区域的划分

为便于阐述天文航海问题，如图2-1-3所示，常将天球作如下划分： 1．上天半球和下天半球

测者真地平圈将天球等分为两个半球，包含测者天顶Z 的半球称为上天半球，包含测者天底n 的半球称为下天半球。

2．南天半球和北天半球

天赤道将天球等分为两个半球，包含天北极N P 的半球称为北天半球；包含天南极S P 的半球称为南天半球。

3．东天半球和西天半球

测者子午圈将天球等分为两个半球，包含正东点E 的半球称为东天半球；包含正西点W 的半球称为西天半球。

4．天球的象限划分

与测者真地平圈上的四个象限NE 、NW 、SE 和SW 相对应，测者子午圈和测者东西圈将上天半球分为ZNE ?、ZNW ?、ZSE ?和ZSW ?四个球面象限。

四、仰极、俯极与仰极高度

南北两个天极之中，位于上天半球的天极称为仰极；位于下天半球的天极称为俯极。仰极到测者真地平圈的垂直球面距离称为仰极高度。仰极的命名与测者纬度的命名相同，即北半球的测者以天北极为仰极，南半球的测者以天南极为仰极。如图2-1-2和2-1-3所示，测者

位于北半球，则天北极N

P 为仰极，其到测者真地平圈的垂直球面距离?N

NP

即为仰极高度。 分析图2-1-2和2-1-3不难得出，??90N N NP ZP +=?，??90N QZ ZP +=?，故??N

NP QZ =。同时，因地球基准点线圆与天球基准点线圆之间一一对应关系的存在，测者天顶Z 与测者A 相

对应，天赤道?QEQ

W '与赤道?qq '相对应，则大圆弧oqA 与?QZ 对应相等。依据测者纬度?的定义，oqA

?=，则有?QZ ?=，亦即以下结论成立—：仰极高度等于测者纬度。 举大连地区测者（39N ?=?）为例，仰极与测者纬度同名，为天北极（N P ），仰极高度

等于测者纬度，则天北极的高度为39?。

仰极与测者纬度这一重要关系，是作天球基准点线圆图，建立天球坐标系的基础。

第二节 天球坐标系

天球坐标系是度量天体位置的基础，也是航海人员需要牢固掌握的知识。 一、天球坐标系的构建原理

天球坐标系按照球面坐标系的原理建立，其构建过程类似于构建典型的球面坐标系——地理坐标系。

地理坐标系以赤道和格林经线作为基准大圆（类同于平面直角坐标系的坐标轴），取二者的交点作为坐标系的原点，并用从原点起算的经度和纬度来度量地球上某点的位置。天球坐标系的构建遵循相同的原则，以两个相互垂直的大圆弧作为基准大圆，以其交点作为坐标原点，并以通过目标（天体）和基准大圆两极的半个大圆作为坐标值度量的辅助圆。

依据上述构建原则，在天球上选择不同的大圆作为基准大圆，即可获得不同的天球坐标系。在目前所使用的众多天球坐标系中，天球第一赤道坐标系、天球第二赤道坐标系和天球地平坐标系是天文航海中常用的三个坐标系。

二、第一赤道坐标系

1．坐标系的构成

如图2-2-1所示，在天球球面上，过天北极（N P ）、天南极（S P ）和天体（B ）的半个大圆（?N

S

P

BP ）称为该天体的时圈。以天赤道（?QEQ W '）和测者午圈（?N

S

P ZP ）为基准大圆，以天赤道与测者午圈的交点（Q ）为原点，以天体时圈为辅助圆，所构成的天球坐标系

称为天球第一赤道坐标系，简称第一赤道坐标系。

2．坐标值的度量方法

从测者午圈起算，沿着天赤道度量到天体时圈的弧距称为天体的地方时角；从天赤道(或从仰极)起算，沿着天体时圈度量到天体中心的弧距称为天体的赤纬(或极距)。

天体时角、天体赤纬和天体极距的具体度量方法如下：

（1）天体地方时角，符号t

天体地方时角的度量方法有两种：

① 半圆时角——从测者午圈起算，沿天赤道向东或向西度量到天体时圈的弧距，度量范围为0° ~ 180°。 当天体在东天半球时，向东度量，命名为东（E ）；当天体在西天半球时，向西度量，命名为西（W ）。

如图2-2-2所示，F 和G 分别为天体B 和天体C 的时圈与天赤道的交点，则有

天体B 的地方半圆时角 ?105B

t QF

E ==?； 天体C 的地方半圆时角 ?50C t QG

W ==?。 ② 西行时角——从测者午圈起算，沿天赤道恒向西度量到天体时圈的弧距，度量范围

为0° ~ 360°。由于度量方向唯一，因此无需命名。

Q 图１－２－１Z

O

n

P N

P S

Q

′

W E

Ｆ

t

δ

Ｂ

δ

t

Q Z

O n

P N

P S

Q

′

W

E

F

Ｂ

Ｇ

C

如图2-2-2所示，F 和G 定义同上，则有

天体B 的地方西行时角 ?255B

t QWQ

F '==?； 天体C 的地方西行时角 ?50C t QG

==?。 ③ 西行时角与半圆时角的换算

在天文航海的有关计算中，需要将西行时角换算为半圆时角，其换算方法如下： 当西行时角180t

半圆时角＝（西行时角）W （2-2-1）

以图2-2-2中的天体C 为例，其西行时角为50C t =?，则半圆时角50C t W =?。

当西行时角180360t ?<

半圆时角＝（360°－西行时角）E （2-2-2）

以图2-2-2中的天体B 为例，其西行时角255B t =?，则半圆时角(360255)105B t E E =?-?=?。

当西行时角360t >?时，先取360t t =-?，再按式（2-2-1）或（2-2-2）进行换算。 （2）天体赤纬和天体极距

① 天体赤纬，符号δ——从天赤道起算，沿着天体时圈，向北或向南度量到天体中心的弧距，度量范围为0° ~ 90°。当天体位于北天半球时，向北度量，命名为北（N ）；当天体位于南天半球时，向南度量，命名为南（S ）。

如图2-2-2所示，F 和G 定义同上，则有

天体B 的赤纬 ?50B

FB

N δ==?； 天体C 的赤纬 ?60C GC

S δ==?。 ② 天体极距，符号?——从仰极起算，沿着天体时圈度量到天体中心的弧距，度量范

围为0° ~ 180°，由于天体极距的起算点和度量方向唯一，因此无需命名。

如图2-2-2所示，设测者纬度为北，亦即N P 为仰极，F 和G 定义同上，则有

天体B 的极距 ?40B

N

P

B ?==?； 天体

C 的极距 ?150C N

P C ?==?。 ③ 天体赤纬与天体极距的关系——天体赤纬和天体极距的代数和等于90?，即

90δ+?=? （2-2-3）

式中：当天体赤纬δ与测者纬度?同名时，δ的符号取“＋”；

当天体赤纬δ与测者纬度?异名时，δ的符号取“－”。

如图2-2-2所示，测者纬度为北，则天体B 的赤纬与测者纬度同名，δ取“＋”，可得504090B B δ+?=?+?=?；天体C 的赤纬与测者纬度异名，δ取“－”，可得

6015090C C δ+?=-?+?=?。

（3）天体格林时角及其与天体地方时角的关系

由天体地方时角的定义可知，度量天体地方时角的起算点为测者午圈。由于位于不同经线上的测者，其测者午圈各不相同，因此在同一瞬间，位于不同经线上的测者所得同一天体的地方时角也各不相同。为了世界范围内的统一使用，采用天体的格林时角消除这一差异。

天体格林时角即从格林午圈起算的天体地方

时角，符号G t ，同样可采用半圆时角和西行时角两

种方法度量，度量结果分别称为天体格林半圆时角

和天体格林西行时角。 引入天赤道平面投影图的概念可以较好地说明天体格林时角与天体地方时角之间的关系。图2-2-3即为一个从天北极向天赤道面投影所得的天赤道平面投影图，图的中心为天北极，圆周为天赤道，测者子午圈和天体时圈在图中成为交汇于天北极的一簇射线，其中N G P Z Q 为格林午圈，N P Q '为格林子圈，N P B 为天体B 的时圈。

在天赤道平面投影图中，天体时角向东、 向西的度量方向常用右手法则来判别：右手握住天轴，姆指指向天北极，则四指所指的方向即为向东的方向，反之即为向西的方向。

在图2-2-3中，设1Z 为东经某一测者的天顶，1N P Z 为其测者午圈，则1G N Z P Z ∠即为测者经度，记作E λ。由图可知，天体B 的地方西行时角1t 与格林西行时角G t 的关系为

1G E t t λ=+ （2-2-4）

在图2-2-3中，设2Z 是西经某一测者的天顶，2N P Z 为其测者午圈，则2G N Z P Z ∠为测者经度，记作W λ。由图可知，天体B 的地方西行时角2t 与格林西行时角G t 的关系为

2G W t t λ=- （2-2-5）

综合上述两种情况，对位于东经和西经的不同测者，天体的地方西行时角与格林西行时角之间存在着如下换算关系：

E

G W t t λ=± （2-2-6）

由式（2-2-6），若已知天体格林西行时角和测者经度，即可求得天体地方西行时角，进

而又可利用式（2-2-1）或（2-2-2）计算出天体地方半圆时角。这是天文航海中常用换算之一。

例1：已知天体格林西行时角13051.0G t '=?，测者经度3006.0E λ'=?，试求天体的地方半圆时角。 解：

（1）由式（2-2-6）可得天体地方西行时角为

13151.03006.016157.0G t t λ'''=+=?+?=?

（2）天体地方西行时角180t

16157.0t W '=?

换个角度分析式（2-2-6），当天体格林西行时角固定不变时，稍稍调整测者经度的数值，

Ｑ′ 图2-2-3 天赤道平面投影图

将能获得一个整度数的天体地方西行时角。例如，对例1中的测者经度作3'的微调，令测者经度3009.0E λ'=?，则可得天体地方西行时角13151.03009.0162t ''=?+?=?，亦即天体地方半圆时角为162W ?。

这一通过微调测者经度从而获得整度数天体地方时角的做法，在实际的航海工作中，不但不会影响利用天体测定舰位的精度，而且能带来计算方面的极大便利，因此常为航海人员所运用。

三、第二赤道坐标系 1．坐标系的构成

如图2-2-4所示，在天赤道上有一点称为春分点（详见第四章），符号。通过两个天极和春分点的半个大圆称为春分点时圈。在天球球面上，以天赤道和春分点时圈为基准大圆，以春分点为原点，以天体时圈为辅助圆，所构成的球面坐标系称为天球第二赤道坐标系，简称第二赤道坐标系。对比第一、第二赤道坐标系，两者的共同之处，是都使用天赤道作为基准大圆之一，两者的差异，实质上仅体现于选取了不同的坐标原点。因此，通常合称两者为天球赤道坐标系，简称赤道坐标系。

2．坐标值的度量方法

（1）天体赤经和天体共轭赤经

① 天体赤经，符号α——从春分点起算，沿着天赤道恒向东度量到天体时圈的弧距，度量范围为0° ~ 360°。由于度量方向唯一，因此无需命名。

如图2-2-4所示，D 、K 分别为天体B 和天体C 的时圈与天赤道的交点，则有

天体B 的赤经 B α=? D 30=?；

天体C 的赤经 C α=?

Q K '200=?。 ② 天体共轭赤经，符号τ——从春分点起算，沿着天赤道恒向西度量到天体时圈的弧距，

度量范围为0° ~ 360°，同样无需命名。

如图2-2-4所示，D 、K 定义同上，则有

天体B 的共轭赤经 B τ=?

QKQ D '330=?； 天体C 的共轭赤经 C τ=?

QK 160=?。 ③ 天体赤经与天体共轭赤经的关系——从定义可知天体赤经与天体共轭赤经仅有度量

方向上的差别，因此两者之间存在如下关系：

360ατ+=? （2-2-7）

Q 图１－２－４

Z

O n

P N

P S

Q

′

W

E

Ｂ

K

C

N

S

D

图2-2-4 第二赤道坐标系

若已知天体的共轭赤经，利用式（2-2-7）即可求得天体的赤经。

（2）天体赤纬和天体极距

在第二赤道坐标系中，天体赤纬和天体极距的定义、度量及命名方法，与第一赤道坐标系相同，不再赘述。

如图2-2-4所示，D 、K 定义同上，则有

天体B 的赤纬 ?50B

DB

N δ==?； 天体C 的赤纬 ?60C KC

S δ==?。 四、地平坐标系 1．坐标系的构成

如图2-2-5所示，在天球球面上，经过

测者天顶（Z ）、测者天底（n ）和天体（B ）

的半个大圆（?ZBn

）称天体方位圈。以测者真地平圈?NESW 和测者子午圈?N

S N P ZP nP 为基准大圆，以测者真地平圈与测者子午圈的交点（正北点N 或正南点S ）为原点，以天体方位圈为辅助圆，所构成的天球坐标系称为天球地平坐标系，简称地平坐标系。

2．坐标值的度量方法

从坐标原点起算，沿着测者真地平圈度

量到天体方位圈的弧距称为天体方位；从测者真地平圈（或测者天顶）起算，沿着天体方位圈度量到天体的弧距称为天体的高度（或顶距）。具体方法如下：

（1）天体方位，符号A

天体方位的度量方法有三种：

① 圆周方位——从正北点（N ）起算，沿着测者真地平圈按顺时针方向度量到天体方位圈的弧距，度量范围为0° ~ 360°。由于度量起点和度量方向唯一，因此无需命名。

如图2-2-6所示，K 、M 分别为天体B 和天体C 的天体方位圈与测者真地平圈的交点，则有

天体B 的圆周方位 ?110B

A NEK

==?； 天体C 的圆周方位 ?320C A NESM

==?。

② 半圆方位——从与测者纬度同名的方向点（N 或S ）起算，沿着测者真地平圈度量到天体方位圈的弧距，度量范围为0° ~ 180°。由于度量起点因测者位于南半球或北半球而异（位于南半球取S ，位于北半球取N ），天体又有位于东天半球或西天半球两种情况，所以需要用两个方向字母加以命名：第一命名字母表示度量起点（N 或S ），写在方位值之前；第二命名字母表示天体所在半球（E 或W ），写在方位值之后。

如图2-2-6所示，K 、M 定义同上，则有

天体B 的半圆方位 ?110B

A NK

N E ==?； 天体C 的半圆方位 ?040C A NM

N W ==?。 ③ 象限方位——从正北（N ）或正南（S ）起算，沿着测者真地平圈，向东（E ）或向西（W ）度量到天体方位圈的弧距，度量范围为0° ~ 90°。由于度量起点因天体所在的天球象限不同而或南（S ）或北（N ），天体又有位于东天半球或西天半球两种情况，所以同样需要用两个方向字母加以命名：第一命名字母表示度量起点（N 或S ）；第二命名字母表示天体所在半球（E 或W ）。为区别于半圆方位的命名，将两个命名字母合并标注于方位值之前或之后，以表示天体所在的象限。

如图2-2-6所示，K 、M 定义同上，则有

天体B 的象限方位 ?70B

A SK

SE ==?； 天体C 的象限方位 ?40C A NM

NW ==?。 ④ 天体方位的换算

在天文航海中，上述三种方位度量方法皆被使用，因此常需将某一种方法度量的方位值换算为另一种方法度量的方位值。引入测者真地平圈平面投影图的概念，可以较为直观、便捷地实现这类换算。图2-2-7即为从天顶方向将北纬某一测者的天球图投影在测者真地平圈平面上的测者真地平圈平面投影图，图的中心为天顶点Z ，圆周为测者真地平圈，天体方位圈被投影成自天顶Z 射出的直线，ZB 、ZC 、ZD 分别为天体B 、C 、D 的方位圈。

测者真地平圈平面投影图直观地展现了天体的实际位置，以及三种天体方位度量方法之

S

E

W

图2-2-6 天体方位度量 图2-2-7 测者真地平圈平面投影图

间的异同，对照此图，即可迅速、便捷地进行三种方法度量的天体方位值之间的换算（如表2-2-1所列）。

天体 圆周方位 半圆方位 象限方位 B 120° N 120°E 60°SE C 210° N 150°W 30°SW D

320°

N 040°W

40°NW

（2）天体高度和天体顶距

① 天体高度，符号h ——从测者真地平圈起算，沿天体方位圈，向上或向下度量到天体中心的弧距，度量范围为0° ~ 90°。天体在上天半球时，高度为正（＋），天体在下天半球时，高度为负（－）。

如图2-2-6所示，K 、M 定义同上，则有

天体B 的高度 ?50B

h KB

==+?； 天体C 的高度 ?60C h MB

==-?。 ② 天体顶距，符号z ——从测者天顶（Z ）起算，沿天体方位圈，向下度量到天体的中

心的弧距，度量范围为0° ~ 180°，无需命名。

如图2-2-6所示，K 、M 定义同上，则有

天体B 的高度 ?40B

z ZB

==?； 天体C 的高度 ?150C z ZC

==?。 ③ 天体高度和天体顶距之间的关系——由天体高度和天体顶距的定义可知，两者具有互

为余角的关系，即

90h z +=? （2-2-8）

第三节 天球作图

天球作图是使用作图的方法，进行天体坐标的标注与转换，即将已知的天体坐标值标注在天球上并求出未知的天体坐标值。虽然用这一方法所得的结果并不精确，但藉此分析和研究天文航海的有关问题，不但可以加深对天球坐标系相关概念的理解，而且可以提高分析和解决问题的能力，有助于学习和掌握天文航海。

一、天球作图的基本步骤

天球作图常分为下述三个基本步骤。 1．作天球基准点线圆图

① 根据测者的纬度，确定仰极及其高度；

② 根据已知的天体坐标值，判断天体所在的半球（东天半球或西天半球）； ③ 画出天球基准点线圆图，并确保天体所在的半球呈现于图的正面。 2．标注天体的位置

根据已知的天体坐标值，在天球基准点线圆图上确定天体的位置并标注天体。 3．求未知的天体坐标值

① 根据求解要求，作出相应天球坐标系的辅助圆； ② 度量出未知的天体坐标值。 二、天球作图方法与示例

针对不同的需要，天球作图常使用测者子午圈平面立体天球作图法、天赤道平面投影作图法和测者真地平圈平面投影作图法等3种作图方法。不论采用何种方法，都按照上述3个基本步骤进行。

1．测者子午圈平面立体天球作图法

测者子午圈平面立体天球作图法具有立体感强、易于理解的优点，是天球作图最常用的方法。现结合两个实例介绍该法如下：

例2：已知测者纬度30N ?=?，天体地方半圆时角50t W =?，天体赤纬55N δ=?，试作图求解天体半圆方位A 和天体高度h 。 解：

参见图2-3-1。

① 由30N ?=?知仰极为天北极，仰极高度等于30?；由50t W =?知天体位于西天半球；根据以上两点结论作出正面为西天半球的天球基准点线圆图（图中大圆代表测者子午圈）。 ② 根据50t W =?作出天体时圈；根据55N δ=?在天体时圈上标定天体位置。

③ 通过已确定的天体位置，作出天体方位圈，量取天体半圆方位050A N W =?，天体高度55h =+?。

图求解天体半圆时角t 和天体赤纬δ。

解：

参见图2-3-2。

① 由25N ?=?知仰极为天北极，仰极高度等于25?；由040A N E =?知天体位于东天半球；根据以上两点结论作出正面为东天半球的天球基准点线圆图（图中大圆代表测者子午圈）。

② 根据040A N E =?，作出天体方位圈；根据50h =+?，在天体方位圈上标定天体位置。 ③ 通过已确定的天体位置，作出天体时圈，量取天体半圆时角45t E =?，天体赤纬60N δ=?。

2．天赤道平面投影作图法

如图2-3-3所示，以北半球测者为例，介绍天赤道平面投影作图法如下：

① 以适当半径作圆，表示天赤道，圆心即为仰极，此时测者子午圈和天体的时圈分别被投影为该圆的直径和半径；

② 过圆心作直线，表示测者子午圈，与圆交于Q 和Q '；

③ 在测者子午圈上，按“仰极高度等于测者纬度”，取N QZ P N ?==，确定测者天顶Z 和与测者纬度同名的方向点N ；

④ 过圆心作与QQ '相垂直的虚线，与天赤道相交得东（E ）和西（W ）两点， 通过E 、N 、W 三点作出表示测者真地平圈的半个大圆； ⑤ 按已知的天体坐标值，标出天体的位置；

⑥ 过天体作出所求坐标系的辅助圆，度量出未知的天体坐标值。

Q Z

n

N

S

P N

P S

Q

′

W

B

t

δ

h A

Q Z

n

S

N P N

P S

Q

′

E

B

t

δ

h

A

图2-3-1 例2求解示意图 图2-3-2 例3求解示意图

3．测者真地平圈平面投影作图法

如图2-3-4所示，以北半球测者为例，介绍测者真地平圈平面投影作图法如下：

① 以适当半径作圆，表示测者真地平圈，圆心即为测者天顶点，此时测者子午圈和天体方位圈被分别投影为该圆的直径和半径。

② 过圆心作直线，表示测者子午圈，与圆交于正北点N 和正南点S 。 ③ 在测者子午圈上，按“仰极高度等于测者纬度”，取N NP ZQ ?==，确定仰极和天赤道与午圈的交点Q 。

④ 过圆心作与测者子午圈NS 相垂直的虚线，与测者真地平圈相交得东（E ）和西（W ）两点，通过E 、Q 、W 三点作出表示天赤道的半个大圆。

⑤ 按已知的天体坐标值，标出天体的位置。

⑥ 过天体作出所求坐标系的辅助圆，度量出未知的天体坐标值

第四节 天文三角形及其解算方法

天球作图无法实现天体坐标的精确转换，为达成之一目的，需要借助天文三角形的概念，引入有关的球面三角公式进行计算求解。

一、天文三角形

以北半球测者为例，如图2-4-1所示，在天球球面上，由测者午圈（?N

S P ZP ）、天体时圈（?N

S

P

BP ）和天体方位圈（?ZBn ）所构成的球面三角形N

P ZB ?，称为天文三角形，又称位置三角形。显然，天文三角形的三个顶点分别为测者天顶、仰极和天体。

E

P N

Q

Z A t B δ

S

h

Q Q ′

E

Z

N

P N h

t A B

δ

图2-3-3 天赤道平面投影天球图 图2-3-4测者真地平圈平面投影天球图

天文三角形的三条边和三个角统称为天文三角形六要素。如图2-4-1和图2-4-2所示，天

文三角形的三条边分别为：?90N

ZP ?=?-，?90N

P B δ=?-，?90ZB z h ==?-；三个角分别为：

N P ZB A ∠=，N ZP B t ∠=，N ZBP x ∠=（称为天体位置角）

。可见，在天文三角形六要素中，包含有天体的赤道坐标值（t ，δ）和地平坐标值（A ，h ），以及测者的地理坐标值（?）。因此，天文三角形六要素之间的关系，反映了天体的赤道坐标和地平坐标，以及测者的地理坐标之间的关系。

其余三个要素。在天文航海中，最常用的是以测者纬度、天体时角和天体赤纬为已知条件，解算天体高度和天体方位。需要说明的是，求解过程中所使用的球面三角形属于边和角皆大于0?且小于180?的欧拉球面三角形，为使天文三角形满足这一条件，其六要素之中，N P ZB ∠用天体地方半圆时角度量，N ZP B ∠用天体半圆方位度量。

二、天体高度和天体方位的解算方法 1．天体高度的解算方法

如图2-4-2所示，若已知测者纬度?、天体地方半圆时角t 和天体赤纬δ，则天文三角形

的边?90N

ZP

?=?-，角N ZP B t ∠=和边?90N

P B δ=?-已知，由?90ZB h =?-和球面三角形边的余弦公式可得

cos(90)cos(90)cos(90)sin(90)sin(90)cos h t ?δ?δ?-=?-?-+?-?-

即

sin sin sin cos cos cos h t ?δ?δ=+ （2-4-1）

2．天体方位的解算方法

Z Q n

S

N

P N

P S

Q ′

B t δA

t

x

h

A

E

-B

Z P N

δ

φ

A= ?

90°-h

=?

t

x

90°

-90°

图2-4-1 天文三角形 图2-4-2 天体高度和方位的求解

如图2-4-2所示，根据不同的已知条件，解算天体方位A 可采用下述3种方法：

（1）若已知测者纬度?、天体地方半圆时角t 和天体赤纬δ，则天文三角形相邻的三个要素?90N

ZP

?=?-、N ZP B t ∠=和?90N P B δ=?-已知，因N

P ZB A ∠=与已知要素相邻，由球面三角形的余切公式可得

cot sin cot(90)sin(90)cos(90)cos A t t δ??=?-?--?-

即

cot tan cos csc sin cot A t t δ??=- （2-4-2）

（2）若已知测者纬度?、天体赤纬δ和天体高度h ，则天文三角形的三条边?90N

ZP

?=?-，?90N

P B δ=?-，?90ZB h =?-已知，由N

P ZB A ∠=和球面三角形边的余弦公式可得

cos(90)cos(90)cos(90)sin(90)sin(90)cos h h A δ???-=?-?-+?-?-

则有

sin sin sin cos cos cos h h A

δ??=+

即

sin sin sin cos cos cos h

A h

δ??-=

（2-4-3）

（3）若已知天体高度h 、天体地方半圆时角t 和天体赤纬δ，则天文三角形的两条边?90N

P

B δ=?-、?90ZB h =?-和两条边的一个对角N ZP B t ∠=已知，由N

P ZB A ∠=和球面三角形的正弦公式可得

)

90sin(sin )90sin(sin h t

A -?=

-?δ

即

sin sin cos sec A t h δ= （2-4-4）

思考题

1．根据已知条件，作天球基准点线圈图。 （1）60N ?=?，E 向外； （4）60S ?=?，E 向外； （2）45S ?=?，W 向外； （5）0?=?，E 向外； （3）45N ?=?，W 向外； （6）90?=?。

2．根据已知条件，首先作天球基准点线圈图，然后在图中标出天体的位置。（要求：天体必须标在图的正面）

（1）30N ?=?，天体B ：120t E =?，60N δ=?；

（2）45S ?=?，春分点西行时角90t =?，天体B ：120α=?，30S δ=?； （3）60S ?=?，天体B ：45A S W =?，60h =+?。

3．在图示的基础上完成下列问题： （1）作天球基准点线圈图；

（2）标出天体B 如下坐标值对应的圆弧：地方半圆时角t ，δ，半圆方位A ，h ，α；

（3）画出天体B 的天文三角形并注明六要素。

4．如图，标明天体B 的如下坐标：地方半圆时角t ，δ，半圆方位A ，h ，并注明测者纬度?及天文三角形。

5．30S ?=?，45E λ=?，春分点格林西行时角200G t =?，天体B ：260α=?，60S δ=?，求天体地方半圆时角

t 并画出天球图，概略求天体B 的半圆方位A 和高度h 。

思考题3 思考题4