光学原理的力学类比

光学原理的力学类比

摘要：系统地类比了光学原理与力学原理，并从这种类比关系出发对波动力学的建立进行了讨论 关键词：力学原理；光学原理；类比

为了解决光在连续变化的非均匀媒质中从一点传播到另一点所遵循的普遍规律，1679年费马（Fermat ）将此规律表述为：光线从一点P 传播到另一点Q 的实际路线上，光程取极值（可以是极小值、极大值、定值），即

?=?Q

P nds 0 (1) 或 0=??Q P u ds

(n=c/u) (2)

式（1）、(2) 即为几何光学中著名的费马原理的两种基本形式，式中△为全变分算符，n 为媒质折射率，L 为积分路径，ds 为路径线元，u 为光波速度，c 为真空中的光速．由费马原理能推出几何光学的全部定律。

为把力学包含在一个极值化的原理中，莫培丢（Maupertuis ）于1744年首先提出，拉格朗日（Lagrange ）于1760年严格论证并加以推广的适用于保守系统的力学原理——最小作用原理，表述为：对理想、完整的保守系统，通过相同起终位置的一切运动，其可能实现的运动是在其附近考虑到的相同能量的各种路径中，使拉格朗日作用量取极值的运动，即 ?=?2

102t t Tdt (3)

式（3）中T 为系统动能，dt 为时间元，t 1、t 2为粒子从P 点到Q 点的时刻．最小作用原理是力学及各种场论的基本原理、曾被雅可比（Jacobi ）称作“分析力学之母”，常常被奉为物理学的最高原理．由费马原理确定的光传播规律和由最小作用原理确立的粒子运动，两者类比如下．

1．原理形式的类比

对于单粒子保守系统，设粒子质量为m ，速度为υ，势能为U ，注意到能量E 积分 T ＋U=E ，有

ds u E m ds mT mvds dt mv Tdt )(2222-====

代人式（3）得

0)(2221=-?=???ds U E m Tdt t t Q P (4)

式（4）为最小作用原理的雅可比形式，它是确定真实运动轨线的变分原理．

比较式（1）、（4）可知，若使n （r ）∝))((2r U E m -，则单粒子力学问题可以当

作一条光线的几何光学问题来求解；反之，几何光学的路线问题，也可以当作质点力学问题来求解．即按最小作用原理运动的粒子轨线和按费马原理决定的光线是完全一致的。

对自由粒子，U=常量，因而T ＝E —U 也是常量，则式（3）可以写成

?=?210t t dt 或 ??Q P ds =0 (5)

式（5）表明：自由粒子由P 到Q 将沿花时（t 2-t 1）最少的路径运动，由于自由粒子的速度V 为常量，所以花时最少的运动就是所需路径最短的运动，故此跟短程线运动的结论一致． 显然，式（5）与几何光学中光线沿短时线传播的原理式（）是相似的．

2．斯涅耳（Snell ）定律与务能突变面处的粒子行为

光线从一种折射率的媒质进入到另一种折射率的媒质，遵从斯涅耳定律．该定律表明：

n 1sin θ1=n 2sin θ 2

其中山、n 。是两煤质折射率，氏、人是光线与两媒质界面法线所成角，如图1所示．应用该定律，可通过几何作图确定光线经过煤质的路线．

图1光的折射 图2粒子越过势能突变面的速度变化

粒子在保守力场中的运动，也存在着和斯涅耳定律相类似的规律．考察一粒子由一个区域进入另一个区域的界面时，设势能由U 1变为U 2（ U 2＜ U 1＝，粒子势能的变化，必然引起粒子动能T 的改变?'T=U 1－U 2，根据保守力性质：力F 处处和等势面垂直，并从势能较高处指向势能较低处．设?'r 为粒子位移，由?'U=－F ·?'r 可得

T t F r F U U ?'=?'?=?'?=-υ21

可见，粒子势能的改变仅仅导致速度的法向分量变化而引起速度变化，从而改变了粒子动能，但速度的切向分量是连续的（如图2所示）．即

2211sin sin θυθυ= (7)

其中θ1和θ2是两个区域内的速度矢量与界面法线间的夹角．将式（7）中两区域的速度用能量守恒原理表示为

211sin )(2sin )(2θθU E m U E m -=- (8)

比较式（6）、（8），显然，在那些折射率与函数)(2U E m -对位置有相同的函数关系的问题中，当光线与总能量为E 的粒子具有相同的初位置和传播方向时，光的传播路线与粒子的运动轨线遵从相似的规律，折射率n （r ）与函数)((2r U E m -的地位相当．这种形式上的相似，可以合理地设想为

)((2)(r U E m r n -∝

3．光与粒子路线

光在媒质中传播的路线，由矢量形式的光线微分方程

n n ds

dr ds d

?=)( (9) 所确定．式（9）中v 为哈密顿算符，r 表示某一光线上任一点的位置矢量，s 表示r 矢端离光线上某固定点的光线弧长．

对于光的路线，选用自然坐标法是方便的．设光线上某点的主法向单位矢量为v ，切向单位矢量为s ，曲率半径为ρ，则单位矢有如下关系：

ds dr

s = (10)

ds

v ρ

= (11)

由式（9）、（10）得

s n n ds dn ds ds -?= ( 12)

用v 标乘式（12）两边，利用式（11），整理可得

)(log 11n n n ??=??=υυρ (13)

因ρ＞0，式（12）表明光线弯向折射率大的一边，如图3所示．

对一个质量为m 的粒子在保守场中的运动，根据牛顿运动定律

U dt dp -?= (14)

图3非均匀煤质中光线的弯曲 图4粒子轨线向势能小的区域弯曲

式（14）中p =m υ是粒子动量，考虑粒子的运动轨线，对式（14）作如下处理：

因p =p s ，υ=υs ，故有

υυρpv dt dp ds ds dt dp dt ds dt dp dt dP

s p p s +=+=+= （15）

将F=－?U 在S 、v 方向上分解，有

])()[(v U v s U s v s pv dt dp

??+??-==ρ (16)

考察v 方向上的运动方程有：

-=ρυp υ·U ? υρp 1

1-=υ·U ?

利用U=E －p 2／2m ，υ=p ／m 代人上式，有：

)(log 11p U p

??=??=υυρ （17） 可见，式（17）与关于折射率n 与p 成正比的媒质中光线曲率方程式（13）完全一致，它表示粒子路线弯向势能小的一边（如图4所示），因此保守力场中的运动粒子具有会聚特性．顺便指出，设计会聚带电粒子的静电透镜正是基于这一原理．

由此看出，保守场中粒子的运动轨线与光线在折射率随位置缓慢变化的空间中所经过的路线，有着十分重要的相似性．

4．波前传播与相空间内“波前面函数”的传输

惠更斯（Huygens ）原理是几何光学中的另一著名原理．该原理通过一个“波前曲面”函数刻划光的传播，光线被定义为定相波面的正交轨线，把光的传播看成是“波前曲面”的运动，“波前曲面”的每个面元产生球面子波，“波前曲面”的未来位置是所有子波面的包络面．因此，“波前曲面”函数能完全决定光线的传播．

哈密顿（Hamilton ）建立了力学系统的“波前面函数”——哈密顿主函数S （q ，P ，t ），S 能完全

决定系统的运动，如果哈密顿函数不是时间t 的显函数，则S 的形式解为

S （q ，p ，t ）=W （q ，p ）－Et （18）

其中W （q ，P ）为哈密顿特征函数，不显合时间，所以各定值的W 曲面在位形空间有确定位置．在位形空间内，考察S 为定值的曲面运动，由式（18）可知，定值S 曲面在运动过程中，势必依次与有着确定位置的W 曲面族重合，如图5所示．定值S 随时间的传输类似于波前的传输，因此，定值S 曲面可视为在位形空间内传输的波前．

图5位形空间内定值S 曲面的

运动确定垂直曲面的粒子轨线

对保守场中的单粒子情况，S 曲面上某确定点的速度u （曲面的运动速度一般是不均匀的）定义为dt 时间内定值S 曲面移动的垂重距离dl ，即

u=dt

dl (19) 又上时间内定值S 曲面将从W 曲面处运动到W ＋ dW 的新曲面处．对式（18）取微分得

d W= Edt （20）

另一方面，单粒子位形空间可为寻常三维空间．

故

dW=? W ·dl=｜? W ｜dl （21）

联立上列3式得

W E dt dl

u ?== （22）

W 满足哈密顿—雅可比方程，对保守场中运动式（23）给出粒子的动量声垂直于W （q ，p ）的等值面，即粒子运动的可能路径垂直于等值面W ，因而位形空间中“波前”的速度为：

υm E p E

u == (24)

式（24）表明，等值S 曲面上一点的速度与用S 描述的粒子在空间内的运动速度保持着互为倒数的关系，粒子的轨线始终与等值S 曲面正交．所以，与等值S 曲面正交的粒子运动轨线相当于与波前垂直的光线．这就是为什么光的惠更斯波动说和牛顿微粒说都能说明光的反射和折射现象，因为两者的几何光学理论在形式上完全一致．

u 与υ互为倒数关系，还反映在基本原理的形式上，因为在单粒子情况下，式（3）可以写成 ???=?=?=?Q

P t t dt ds t t ds m dt m dt m 0)(22212

1υυ 或 ?=?Q

P ds 0υ (25)

比较式（2）和式(25)，若把光子视为粒子，则υ∝1／u ．通过这一反比关系，式（2）和式(25)成为同一原则．1924年法国物理学家德布罗意（de Broglie ）按照这一光子和粒子的平行关系，提出了物质波理论．该理论是1926年薛定谔(Schr ?dinger ）进一步建立波动力学的先导．

5．电子光学情况

对电荷为e 和静质量为m 的相对论电子，拉格朗日函数为

L=－m )()(122Φ-?+-A e c c

c υυ (26) 这里Φ是静电势，A 是磁场矢势，对单色光或单能电子，能量是常数，E ＝∑x p x －L ．因 x c e c x m x L

x A p +==-??2)/(1υ

故 A P c e c m +=-2

)/(1υυ

（27） 上3式中，x

是速度υ的分量，p x 、A x 分别是p 和A 的x 分量．将最小作用原理写成 ???

∑?∑=??=?=?=+?Q P t t t t Q P x x dr p dx P dt p x dl E L 0)(2

121 (28) 其中d r 为位移元矢量．式（28）给出，除任意常数因子外，一般的电子光学的折射率可表为 n=S A c e c m ?+-2)/(1υυ

（29）

c

式中，A ·s 是矢势在运动方向上的分量．它不是一个物理量，而是一个函数，其旋度等于磁感应强度．由此可见，一般的电子光学折射率本身不是一个物理量，而是一个拉格朗日函数，加上一个任意位置函数的梯度在运动方向上的分量，不会改变任何物理结果．因此，式（29）是具有给定总能量的电子位置的函数．如果把电子光学的折射率定义为动量在轨线方向上的分量，那么，式（28）表明，对电子运动的研究就化为一个光学问题．可见在电子光学情况下，再次揭示了最小作用原理与费马原理是完全相似的．

6．程函方程与哈密顿—雅可比方程的类比

程函方程是几何光学的基本方程，导出方法颇多，为简明起见，这里采用德拜（Debye ） 的建议，由入→0极限情况的标量波动方程导出．

设f 表示电磁场的某一分量，ω为波的角频率，λo 为自由空间的波长，k o =ω/c=2π/λo 表示自由空间的波数，光（电磁波）在各向同性媒质中的波动方程为

022222=-???t c f

n f (30)

对单色波f=Φ(r)exp （－i ωt ），代人式（30）得Φ（r ）满足

0)()(222=Φ+Φ?r n k r o (31)

n 为常数时，式（31）中Φ（r ）为平面波解，讨论在空间平缓变化情况，设式（31）的解接近平面波，取下面形式

Φ(r)= Φo exp[ikL(r)] （32）

上式中Φ。和L(r)是待定的空间位置实函数，并且假定与k 。无关．将式（32）代人式（31）得 0]2[])([2222=Φ?+?Φ+Φ???+Φ?-o o o o o o L L ik L n k （33）

由于Φo 和L 是实数，要方程（33）成立，其实部和虚部必同时为零．考虑实部有

o k o o n L Φ??+=?Φ21

222)( (34)

因为已假定Φ。和L 与κ。无关，所以在λ→0，即κ。→∞的极限条件下，有

2

2)(n L =? （33）

上式中L （r ）称为程函，方程（3）称为程函方程，由它决定常数L （r ）曲面是光的定向波面，因而也就决定了波前波面的正交曲线族就是几何光学中的“光线”．

可见，程函方程（35）在形式上与力学中的W 的哈密顿—雅可比方程（23）是一致的．特征函数W 起了与程函L 相同的作用，而)(2U E m -则可看成折射率．若把光线看作是某种微粒的轨线，则这种微粒的动量正比于｜L ?｜，即p ∝｜L ?｜=n ．

由此看出，几何光学是波动光学在波长λo →0的极限情况，因而几何光学的基本方程也就是波动方程在λo →0条件的近似，所以，哈密顿—雅可比方程揭示：经典力学相当于波动光学的几何光学极限．

7．从经典力学到波动力学

几何光学已被证明是波动光学规律在短波波长的极限．由上述相似性讨论，很自然地设想经典力学是不是更一般的波动力学的短波极限呢？而巨能推测出波动方程在某种极限下应该蜕化为哈密顿—雅可比方程．德布罗意根据这个启示，在 1924年提出了物质波动性假说，并把波动光学中的重要关系类推到粒子波，预测了动量广和能量E 的粒子，其波长入与频率。

有下列关系：

λ=h/p （36）

ν=E ／h （37）

h 为反映波动性的物理量λ、ν和

朗克(Planck)常量．

像几何光学基本方程（35）是波动光学的波动方程（31）的近似那样，可以设想哈密顿—雅可比方程（23）是下列波动方程的近似

022222=-Φ??Φ

?t c n (38)

把空间坐标r 与时间坐标t 分离，令

)ex p()(),(t i r t r ωψ-=Φ （39）

式（39）代人式（38）得ψ（r ）满足的方程为

0)(2

2=+?ψψωc n

（40） 根据波动理论：

k=2π/λ=n ω/c （41）

由德布罗意关系：

k 2)()(222

2222

2844U E m U E m h h h p -?=-?=πππ （42） 将式（41）、（42）代人式（40）得

)()()(2822

r E r U r h ψψψπ=+?- (43)

这就是量子力学中著名的定态薛定谔方程．

对式（39）求t 的偏微商：

)ex p()(t i r i t ωωψ--=?Φ

? (44)

式（43）代人式（44），并考虑到式（37）有

)exp()]()([)exp()(2822t i r U r t i r i m h h i h E t ωψψωψωπνων-+?--=--=?Φ?

即得到含时的薛定谔方程为

t ih m h t r U ?Φ?

?=Φ+?-ππ228),(][22 （45）

这正是量子力学中的波动方程．

可以证明，经典力学是波动力学在h （因而λ）→0的短波极限，微观意义下的波函数和薛定谔方程就蜕化为经典力学的哈密顿主函数和哈密顿—雅可比方程，有兴趣的读者可以参阅文献[7]． 德布罗意和薛定愕在建立波动力学过程中，对于力学和光学的相似性的深刻理解起了

重要作用，正是基于这一类比和原子物理学的大量实验事实所揭示的经典力学的局限

性，德布罗意提出了物质波理论，薛定愕建立了波动力学方程——薛定愕方程，逐渐发展成为今日量子力学．

参考文献：

［I ］加塔克 A K ，塞格雷健 K 现代光学［M ］蒙文林译呼和浩特：内蒙古人民出版社， 1986 2～ 8

［2］ Kleppner D ，Kolenkow R J 力学引论［M ］宁远源，刘爱晖泽 北京：高等教育出版社，1980257

［3］加塔克AK ，塞格雷健K ．现代光学［M ］蒙文林泽 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1986 10

［4］汪家华 分析力学「M 」北京：北京师范大学出版社，1989 176，178

［5］波恩M ，沃耳夫 E ．光学原理下册［M ］杨霞称等译 北京：科学出版社，1981．988～989

［6］波恩M ，沃耳夫E 光学原理L 册【M 】杨曹苏等译 北京：科学出版社，1978．150

［7］曾谨言 量子力学（卷11）［M ］第2版北京：科学出版社，199735～39

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［9］ de Broglie L ．On the Parallelism between the Dynamics of A Material Particle and Geometrlcal Optlcs ［J ］．Le Journal de Physique et ie Radium ，1926，7：1