椭圆典型题型归纳(学生版)

椭圆典型题型归纳

题型一 ?定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆 C:(x 4)2

寸100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心 M

的轨迹方程； _____________________________________

例2.方程3^(x 1)

2

(y 1)2

x J2y 2所表示的曲线是 _____________

3.方程.x 2

(y 3)2

x 2

(y 3)2

10成立的充要条件是(

)

2 2 2 2 2 2

A

x y x

y

x y

, A.

1 B.

1 C.

1 D.

25 16

25 9

16 25

4.如果方程 x 2

(y m)

2

x 2

(y m)2

m 1表示椭圆，则 m 的取值范围是 ____________

2 2

5. 过椭圆9x 4y 1的一个焦点F 1的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则A, B 两点与椭圆的

另一个焦点F 2构成的 ABF 2的周长等于 ______________ ； 6. 设圆(x 1)

2

y 2

25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段

AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程为 ______________ ； 题型二.椭圆

的方程

(一) 由方程研究曲线

点的轨迹；

(二) 分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴， 且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程;

1

.方程(x

3)2 y 2 .

(x 3)2 y 2 6对应的图形是(

)

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D.

圆

2.方程,(x

3)2 y 2

(x 3)2 y 2 10对应的图形是(

)

A.直线

B.

线段

C.

椭圆 D. 圆

2

y 25

x

2 例1.方程—

16 2

y

25 1的曲线是到定点 _________ 和 _________ 的距离之和等于 练

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 求椭圆的方程；

例4.求经过点（2, 3）且与椭圆9x

2

4y 2 36有共同焦点的椭圆方程;

（四）定义法求轨迹方程;

练习：

1.三角形ABC 中，B （-2,0），C （2，0），AB AC 边上的中线长之和为 30,求三角形 ABC 的 重心的轨

迹方程。

2.已知动圆 C 和定圆 O:（x-3）2 +y 2

= 64 相内切，且 A （ 3，0）在动圆 C 上，求动圆圆心 的轨迹方程。

（五）相关点代入法求轨迹方程；

2

X

2

例6.已知X 轴上一定点A （2，-3），Q 为椭圆 y

1上任一点，求 AQ 的中点M 的轨

4

迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x

2

2y 2

4交于A, B 两点，点P 是直线l 上满足

PAgPB 1的点，求点P 的轨迹方程；

PG/6,1）、P 2（品 返）

2

注：一般地，与椭圆笃 a

2 缶1

共焦点的椭圆可设其方程为

2

x a 2 k

b 2)；

例5.在

ABC 中，A,B,C 所对的三边分别为a,b,c ，且B （

1,0),C(1,0)，求满足 b

且 sinB ， sinA ， sinC 成等差数列时顶点 A 的轨迹;

(七)列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F(0, ...50)的椭圆被直线y 3x 2截得的弦的中点的横坐标1

为丄，求此椭圆的方程；

2

题型三?焦点三角形问题

2 2 5

例1.已知椭圆—匕1上一点P的纵坐标为一，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F l，

16 25 3

求PF1、PF2 及cos F1PF2 ；

题型四?椭圆的几何性质

2 2

例1.已知P是椭圆笃y2

a2 b21上的点，的纵坐标为5，F1、F2分别为椭圆的两个焦点,

3

椭圆的半焦距为c，贝V PF1gPF2的最大值与最小值之差为 ___________

2 2

例2.椭圆务每1 (a

a2 b2

b 0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为__________

例3.若椭圆

2

y_

4

1

1的离心率为一，则k

2

2 2

例4.若P为椭圆务占1(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2 150,

a b

PF2F1 750，则椭圆的离心率为__________

题型五.求范围

例1.方程

2

X

2

m

2

y

(m 1)2

1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围;

2

2

例2.若P 为椭圆X^占 1(a

a b

0)上一点，F 1、F 2为其两个焦点，且 PF 1F 2

PF 2F 1

2 ，则椭圆的离心率为 __________

例3. F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过 F 2的直线交椭圆于 P,Q 两点，PF 1 PQ ，且

PF 1 PQ ，则椭圆的离心率为 _____________

题型七?求离心率

2 2

X y

椭圆二 2 1 (a b 0)的左焦点为F 1( c,0) , A( a,0) , B(O,b)是两个顶点,

a b

题型六?椭圆的第二定义的应用 例1.方程2yj(x

1)2 (y 1)2 x y 2所表示的曲线是 _____________ 1 例2.求经过点M(1,2)，以y 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程； 2 2 2 5 例3.椭圆- —1上有一点P ，它到左准线的距离等于一，那么P 到右焦点的距离为 25 9 2 例4 .已知椭圆 x 2

2 1，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M ，使它到 3

左准线的距离为它到两焦点 F 1,F 2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找 到，请说明理由。 2 2

例5?已知椭圆—乞

9 5 1内有一点A(1,1) , F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点

椭圆上一点?求 PA

||PF 2的最小值及对应的点

P 的坐标.

如果F 1到直线

AB 的距离为

则椭圆的离心率

椭圆截得的弦长为

4 13

---- ，求点A 的坐标。

题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系 例1.当m 为何值时，直线丨：y x m 与椭圆9x

2

16y 2

144相切、相交、相离?

例2.曲线2x 2

y 2 2a 2（ a 0）与连结A （ 1,1），B （2,3）的线段没有公共点，求 a 的取

值范围。

例3.过点P （ 3, 0）作直线I 与椭圆3x

2

4y 2 12相交于 代B 两点，O 为坐标原点，求

OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

2 2

例4.求直线xcos ysin 2和椭圆x 3y 6有公共点时， 的取值范围

(0 )。 _________________________________________

（二）弦长问题 例1.已知椭圆x

2

2y 2 12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点 A ，斜率为1的直线被

题型八?椭圆参数方程的应用

2

椭圆—

4

1上的点P 到直线x 2y 7 0的距离最大时，点 P 的坐标 ______

例 2.方程 x 2

sin y 2

cos 1 ( 0

）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围;

A(2,0); 例2.椭圆ax2 by21与直线x y 1相交于代B两点，C是AB的中点,

[2

若| AB | 2、. 2 , O为坐标原点，0C的斜率为二，求a,b的值。

2

2 例3.椭圆—

45

2

工1的焦点分别是F1和F2，过中心0作直线与椭圆交于A,B两点，若20

ABF2的面积是20，求直线方程。

(三)弦所在直线方程

x2 y2

例1.已知椭圆1，过点P(2,0)能否作直线I与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；

16 4

例2.已知一直线与椭圆4x2 9y236相交于A, B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1),求

直线AB的方程；

圆E相交于A, B两点，且C分有向线段AB的比为2.

(1)用直线I的斜率k(k 0)表示OAB的面积；

(2)当OAB的面积最大时，求椭圆

2 2

解：(1)设椭圆E的方程为笃爲1,

a b

故椭圆方程x2 3y2 3b2；

设A(x1, y1), B(x2, y2)，由于点C( 1,0)分有向线段AB的比为2.

为2x2 1

，即X1 1 2(x2 1)

y1 2y2 0% 2y2

3

由直线l与椭圆E相交于A(x(, y1), B(x2, y2)两点

△ 36k44(3k21)(3k22b2) 0

6k2

1 2 3k2

XM23k23b2 3 2 “1

1

而S OAB ~ | y1

2

由①④得：x2 1

1 | 2

y2 y2| 2

2

学，代入⑥得: 3k21

例3.椭圆E中心在原点0，焦点在x轴上，其离心率e 2 ,过点C( 1,0)的直线l与椭

(2)因S OAB 3 k|

3k21

3|k| |k|

_3_

2」3 2

当且仅当k 3, S°AB取得最大值.

3 E的万程.

, C 12 ^ 2

由e , —a =3b

a V3

x23y2

k(x

3b2

1)

消去y整理并化简得 2 2 2 2 2

(3k +1)x +6kx+3k —3b =0 y2|

3 3 3

-|y2| -|k(x2 1)| -|k||x2 1|

2 2 2

S OAB弟*(k 0).

1，又???

X 2x 2

1 ,??? X i 1,X 2

3

1

—代入⑤得3b 2

=5,「.椭圆方程x

2

3y 2

3

x 2

v 2

例4.已知

A(x 1,y 1),B(1,y 0),C(x 2, y 2)是椭圆

1上的三点, 4

3

且AF , BF , CF 成等差数列，则 AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题

2 2

x y

例1.已知椭圆 1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线

4 3 y 4x m 对称;

2J2

例2.已知中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长等于 6，离心率e

，试问是否存在直

3

1

线I ，使I 与椭圆交于不同两点 代B ，且线段AB 恰被直线x -平分？若存在，求出直

2

线I 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十?最值问题

例 1?若 P( 2,、.3), F 2为椭圆

2

y

16

1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求|MP | |MF 2| 的最大值和最小值。

分析：欲求 MP

MF 2的最大值和最小值

可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

此时x 1 x 2

将 x-i , x 2 及

F 为椭圆的左焦点,

最大值和最小值。

则M 在M 处时MP MF 1取最大值PF 1 ; 二MP MF 2最大值是1O+J 37，最小值是 J41。

2 2

结论2设椭圆 笃 与 1的左右焦点分别为 F n F 2, P(X o ,y o )为椭圆外一点，M (x, y)为 a b 椭圆上任意一点，贝V MP MF 2的最大值为2a PF 1，最小值为PF 2； 2.二次函数法

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示 PA ，转化为x, y 的函数求最小值。

解：设P(x, y)为椭圆上任意一点,

PA 2 (x a)2 y 2 (x a)2 1 1 x 2

1 (x 2a)

2 1 a 2

由椭圆方程知x 的取值范围是[,2, ^.2]

MF 2 2a MF 1 , F 1为椭圆的左焦点。

解：MP MF 2 MP 2a MF 1 于点M 2由三角形三边关系知 PF i 当且仅当M 与M i 重合时取右等号、 因为 2a 10, PF i 2，所以(MP ，连接PF i ，延长PF i 交椭圆于点M,延长F i P 交椭圆 MP MF 1 PF 1 M 与M 2重合时取左等号。 MF 2 )max 12, (MP MF 2 )min 8 ； 2 结论1:设椭圆笃 a 2 y b 1

1的左右焦点分别为 F i ,F 2, P(X o ,y 。)为椭圆内一点,M(x,y)为 椭圆上任意一点，则 MP 例2. P( 2,6) , F 2为椭圆

MF 2的最大值为2a PF 1 ,最小值为2a PF 1 ；

2 2

x y 25 16

1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 MP MF 2的

分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 M ，此点使MP MF 2值最小，求最大值方法同例

1。 解：MP MF 2 MP 2a MF 1

，连接PF 1并延长交椭圆于点 M ,

例3?求定点A(a,0)到椭圆

2

x

~2 a

b 2

1上的点之间的最短距离。