2012年广州市一模数学(理科)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2012.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：锥体的体积公式Sh V
3
1
=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()
2222121n s x x x x x x n ??=-+-+???+-????，其中12n x x x x n
+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．已知复数()i i
1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位）
，则a b +的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．2
2．已知全集U
=R ，函数
y =
的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U
A B = e
A ．
()2,1-- B ．(]2,1-- C ．(),2-∞-
D ．
()1,-+∞
3．如果函数
()sin 6f x x ωπ?
?=+ ??
?()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
4．已知点()P
a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直
线l 与圆O 的位置关系是
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不确定
5．已知函数
()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．已知两个非零向量a 与b ，定义
sin θ?=a b a b ，
其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则
?a b 的值为
A ．8-
B ．6-
C ．8
D ．6
7．在△ABC 中，60ABC ∠=
，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的
概率为 A ．
1 B ．1 C ．1 D ．2
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的
坐标
(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为
A ．252
B ．216
C ．72
D ．42
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分
（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
10．已知()2
1
1d 4kx x +?2≤
≤，则实数k 的取值范围为 ．
11．已知幂函数()2
2657m y m m x -=
-+在区间()0,+∞上单调递增，
则实数m 的值为 ． 12．已知集合{}1A x x =
≤≤2，{}
1B x
x a =-≤，若A B A =I ，
则实数a 的取值范围为 ．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小
石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，
被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作2
5a =，第3个五角形数记作
312a =，
第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，
3OP =cm ，弦CD 过点P ，且
1
3
CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的
参数方程分别为l ：1,
1x s y s =+??=-?（s 为参数）和C ：2
2,x t y t =+??=?
（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．
5 12
1 2
2 图2 图3
图1
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数
()tan 34f x x π?
?=+ ??
?．
（1）求
9f π??
???的值； （2）设3,
2απ??∈π ???
，若
234f απ??+= ???，求cos 4απ?
?- ??
?的值．
17．（本小题满分12分）
如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中
的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．
已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． 18．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC =，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，
1AD =，3CD =
，PD ．
（1）证明△PBC 为直角三角形；
（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值． 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图
5 B
P
A
C
D
19．（本小题满分14分）
等比数列
{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()
25
2123n
n n b a n n +=
++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆2
2
14
y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：12
1x x ?=；
（3）设TAB ?与POB ?（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB u u r u u r g ≤15，求22
12
S S -的取值范围．
21．（本小题满分14分）
设函数()e x
f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!
n
n x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：
()f x 1()g x ≥；
（2）当0x >时，比较
()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；
（3）证明：()1
2
3
222211e 2341n
n g n ????????
+++++< ? ? ? ?+????????
≤L （*n ∈N ）．
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、
二、填空题：
本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
9 10．2,23??????
11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15
三、解答题：本大题共6小题，满分
80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：
9f π??
???
tan 34ππ??=+ ???……………………………………………………………………………1分
tan tan 341tan tan
34
ππ+=
ππ-…………………………………………………………………………3分 2=
=-………………………………………………………………………4分
（2）解：因为
3tan 3444f ααπππ???
?+=++ ? ????
?………………………………………………………………5分
()tan α=+π (6)
分 tan 2α==．……………………………………………………………………7分
所以
sin 2cos α
α
=，即sin 2cos αα=． ① 因为2
2sin cos 1αα+=，
②
由①、②解得2
1
cos 5
α=
．………………………………………………………………………………9分
因为3,
2
απ??∈π ???
，所以
cos 5α=，sin 5α=-．…………………………………………10分 所以cos 4απ?
?
-
??
?
cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分 525210?=?+-=- ??
．……………………………………12分
（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得
11
(87899696)(87909395)44
a ?+++=?++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分
所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()2222
2
1879293929392959294
s
??=-+-+-+-=??. ……………………………5分
（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416?=种可能的结果．……………6分
所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分
由表可得1(0)16P X
==
，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2
(9)16
P X ==.
所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为
121423012346161616161616EX =?
+?+?+?+?+?12
891616+?+?…………………………11分 6817
164
==.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ?平面PAC ，AC PD ⊥，
所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分
记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥． 因为AB BC =，4=AC ，所以BE ==
因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．
因为PD ，3CD =， ……………………10分
连接BD ，在Rt △BDE 中，因为BE ，1DE =，
所以BD =
5分
因为PD ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ，所以PD ⊥BD ．
在Rt △PBD 中，因为PD ，BD =，
所以PB =
=
6分
在PBC ?中，因为BC PB PC =，
所以2
22BC
PB PC +=．
所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ?平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．
因为AB BC =，4=AC ，所以BE ==
=3分
连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o
，BE =，1DE =，
所以BD =
4分
在△BCD 中，因为3CD =，BC BD ，
所以2
22BC
BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分
因为PD ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，
所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．
因为PB ?平面PBD ，所以BC PB ⊥．
所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分
（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，
则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分
由（1）知，△ABC 的面积1
2
ABC S AC BE ?=??=9分
因为PD ，所以13P ABC ABC V S PD -?=??133
=?=
10分
由（1）知PBC ?为直角三角形，BC =，PB
所以△PBC 的面积11
322
PBC
S BC PB ?=??==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即V V =，
即
1333AH ??=
，
所以3
AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD
中，因为PD ，1AD =，
所以
2AP =
=．………………………………………………………13分
因为3sin 23
AH APH AP ∠===
． 所以直线AP
与平面PBC 所成角的正弦值为
3
．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，
则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分
由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，
所以BC ⊥平面PBD ．
因为BC ?平面PBC ，
所以平面PBC ⊥平面PBD ．
过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，
则DN ⊥平面PBC ．
所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt △
PAD 中，因为PD ，1AD =
，
所以
2AP =
=．………………………………………………………11分
因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以3
2
DM =．………………………………12分
由（1）知BD
，PB
PD ，
所以2PD BD DN PB ?=
=
．……………………………………………………………13分
因为2sin 32
DN DMN DE ∠==， 所以直线AP
与平面PBC 所成角的正弦值为
3
． 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG
、PG ， 在△PCG 中，PB BG BC ==
所以90CPG ∠=o
，即CP PG ⊥．
P
A
C
D E
K B
P A C
D
M N
在△PAC
中，因为PC =，2PA =，4AC =，
所以2
22PA
PC AC +=，
所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，
所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ?平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，
所以AK ⊥平面PCG ．
所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥，
所以PG PC ==．
在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，
所以2AG BE ==12分
在△PAG 中，2PA =
，AG =
PG =，
所以2
22PA
AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分
因为sin 3
AG APK PG ∠=
=
． 所以直线AP 与平面PBC
所成角的正弦值为
3
．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系
E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分
则()0,2,0A
-
，)B ，()0,2,0C
，(0,P -．
于是(0,1AP =
，,PB =
，(
0,3,PC =
设平面PBC 的法向量为(),,x y z =
n ，
则0,0.PB PC ??=???=?? n n 即0,30.
y y +==?? A
所以平面PBC
的一个法向量为=
n．……………………………………………………12分
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则sin cos
3
AP
AP
AP
θ
?
=<>==
?
n
,n
n
．
所以直线AP与平面PBC
所成角的正弦值为
3
．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系
E xyz
-，…………………………………………………………………………………………………1分
则)
B，()
0,2,0
C
，(0,P-．
于是(1
BP=-
，()
BC=
．
因为(
()
10
BP BC=-=
，
所以BP BC
⊥
．
所以BP BC
⊥．
所以PBC
?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()
0,2,0
A-．
于是(0,1
AP=
，,
PB=
，(0,3,
PC=
．
设平面PBC的法向量为()
,,
x y z
=
n，
则
0,
0.
PB
PC
??=
?
?
?=
??
n
n
即
0,
30.
y
y
+=
=
??
取1
y=
，则z
x．
所以平面PBC
的一个法向量为=
n．……………………………………………………12分设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则sin cos
3
AP
AP
AP
θ
?
=<>==
?
n
,n
n
．
所以直线AP与平面PBC
所成角的正弦值为
3
．…………………………………………………14分19．（本小题满分14分）
力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列
{}n a 的公比为q ，依题意，有
45323224,22.
a a a a a +?
=???=?
即3452
322,2.a a a a a =+???=??……………………………………………………………………2分 所以234111222
112,2.
a q a q a q a q a q ?=+??=??………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2
a q ?=????=??或11,21.a q ?=???=-?……………………………………………………5分
又10,0a q >>，所以111
,22
a q =
=，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12n
n a ??= ???
（*
n ∈N ）．…………………………………………………7分
（2）解：由（1），得()()252123n
n n b a n n +=
?++()()251
21232
n n n n +=?++．………………………………8分
所以2
1121232n
n b n n ??=-? ?++?? 111
(21)2(23)2n n
n n -=
-++．…………………………………………………………………10分
所以12n n S b b b =+++L
(
)()21111
1113525272212232n n n n -??????=-+-++-?? ? ????++??????L ()113232
n n =-+． 故数列
{}n b 的前n 项和()1
1
3232n n
S n =-
+．………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分
设双曲线C 的方程为2
2
21y x b
-=()0b >，
1
2b =． 所以双曲线C 的方程为2
2
14
y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）
，直线AP 的斜率为k （0k >）， 则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分
联立方程组()22
1,
1.4
y k x y x ?=+?
?+=??………………………………………………………………………………5分 整理，得
()2
2
224240k x
k x k +++-=，
解得1x =-或2244k x k -=+．所以2
22
44k x k -=+．…………………………………………………………6分 同理可得，2
12
44k x k +=-．…………………………………………………………………………………7分
所以12
1x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分
证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）
， 则111AP
y k x =
+，2
21
AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为AP AT k k =，所以12
1211y y x x =++，即()()221222
1211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以22
11
14y x -=，22
2214
y x +=． 即()2
21141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分
所以
()
()()
()22122
2
12414111x x x x --=
++，即
12
121111
x x x x --=
++．……………………………………………………7分 所以12
1x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分
证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为1
1(1)1
y y x x =
++，………………………………………4分 联立方程组()112
21,11.4
y y x x y x ?=+?+?
??+=??…………………………………………………………………………5分
整理，得2
22222
111114(1)
24(1)0x y x y x y x ??++++-+=??
， 解得1x =-或22
1122
114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将2
21
1
44y x =-代入221122
114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即2
11
x x =． 所以12
1x x ?=．…………………………………………………………………………………………8分
（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i
x >，0i y >，1,2i =）
， 则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--
．
因为15PA PB ?≤ ，所以()()2
1111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分
因为点P 在双曲线上，则2
211
14
y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分
因为1221||||||2S AB y y ==，21111
||||||22
S OB y y ==， 所以()()22222222
122121121441544
S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分
由（2）知，12
1x x ?=，即21
1x x =
． 设2
1t x =，则14t <≤，
22124
5S S t t
-=--．
设
()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t
-+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，
因为
()21f =，()()140f f ==，
所以当4t =，即12x =时，()()221
2min 40S
S f -==．……………………………………………12分
当2t =，即1x ()()2212max 21S S f -==．………………………………………………13分
所以2
21
2S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分
说明：由()2
2221
2121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()
22
12max
1S S -=，给1分．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ?=
-=--，
所以1()1x
x e
?'=-．………………………………………………………………………………………1分
当0x <时，1()0x ?'<，当0x =时，1()0x ?'=，当0x >时，1()0x ?'>． 即函数1()x ?在(,0)-∞上单调递减，在(0,
)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分
因为1(0)0?=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ??=≥． 即
1()()0f x g x -≥，
所以
()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分
（2）解：当0x >时，
()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分
用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧 https://www.360docs.net/doc/8215818247.html, ） ①当1n =时，由（1）知
()f x 1()g x >．
②假设当n k =（*
k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分
令()()()k k x f x g x ?=
-，11()()()k k x f x g x ?++=-，
因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k
k x f x g x f x g x ?++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ?+'=->．…………………………………………………………6分
即11()()()k k x f x g x ?++=
-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ??++>，
因为1(0)0k ?+=，所以1()0k x ?+>． 从而对任意0x >，有
()()0f x g x ->．
即对任意0x >，有
1()()k f x g x +>．
这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．
由①、②知，当0x >时，都有
()f x >()n g x ．………………………………………………………8分
（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n
g <．
由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．
令1x =，得()()11=e n g f <．
所以()1e n
g <．
……………………………………………………………………………………………9分 再证对任意正整数n ，()1
2
3
2222112341n
n g n ????????+++++≤ ? ? ? ?+????????
111112!3!!n =+++++ ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式21
1!n
n n ??≤ ?+??
成立．
即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n
n n +??
≤ ?
??
（*）成立．……………………………………10分 以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：
①当1n =时，1
111!2+??≤ ?
??
成立，所以不等式（*）成立． ②假设当n k =（*
k ∈N ）时，不等式（*）成立，
即1!2k
k k +??≤ ???．………………………………………………………………………………………11分
则()()()1
111!1!1222k k k k k k k k +++????
+=+≤+= ? ?
????
． 因为1
1110111111
2211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++??
?+????????==+=+++≥ ? ? ?++++??????+??
???
，…12分 所以()1
1
121!222k k k k k ++++????
+≤≤ ?
?
??
??
．……………………………………………………………13分 这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．
综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n
n g n ????????
+++++≤< ? ? ? ?
+????????
成立． ……………………………………14分
方法2（基本不等式法）：
1
2
n +≤
，……………………………………………………………………………………11分 1
2
n +≤，
……，
1
2
n +≤
， 将以上n 个不等式相乘，得1!2n
n n +??
≤ ?
??
．……………………………………………………………13分 所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n
n g n ????????
+++++≤< ? ? ? ?+????????
成立．
……………………………………14分
2014年高考新课标1理科数学真题及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A A.]1,2[-- B.]1,1[- C.)2,1[- D.)2,1[ （2） =-+2 3 )1()1(i i A.1＋i B.－1＋i C.1－i D.－1－i （3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A.)()(x g x f 是偶函数 B.|)(|)(x g x f 是奇函数 C.)(|)(|x g x f 是奇函数 D.|)()(|x g x f 是奇函数 （4）已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A.3 B.m 3 C.3 D.m 3 （5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A.8 1 B.8 5 C.8 3 D.8 7
（6）如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为 （7）执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=
广东省广州市六年级数学上册期末测试卷(A)
广东省广州市六年级数学上册期末测试卷（A） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、填一填。 (共14题；共14分) 1. （1分） (2018六下·云南模拟) 1：________=0.25=25 ________=________％=________折 2. （1分） (2018六下·盐田期末) 在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径是________厘米。 3. （1分）一个圆的半径是6 cm，它的周长是________cm，面积是________ cm2。 4. （1分）用字母表示圆周长的公式是________或________。 5. （1分） (2019六上·新会月考) 一项工程，完成的时间由原来的10小时缩短到8小时，工作效率提高了________ %。 6. （1分）某地春季植树，活了980棵，死亡20棵，这个地区植树成活率是________。 7. （1分）(2018·泉州) 甲、乙两桶油，甲桶中的油相当于乙桶的50%，从乙桶倒3升油给甲桶，此时，甲桶中的油相当于乙桶的80%，那么原来甲桶中有________升油。 8. （1分） (2020六上·龙华期末) 毽球兴趣小组共有6名队员，在初次见面时，如果每两人握一次手，一共要握手________次。 9. （1分） (2020三上·唐县期末) 从一张长20厘米、宽16厘米长方形纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是________厘米；剩下的图形的周长是________厘米． 10. （1分）某城市一天的气温是-5℃~7℃，最高气温和最低气温相差________℃。 11. （1分） (2018六上·寻乌期中) 从A地到B地，小王要80分钟，小李要60分钟，小王和小李所用时间的比是________，小李和小王的速度比是________． 12. （1分）如图，它是由一根长60米的铁丝弯折连接而成的许多相同的小正方形组成．
2014年高考数学理科全国1卷
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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共9页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ?=（ ） A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.3 2(1)(1) i i +-=（ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A .3 B .3 C .3m D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） A .18 B .38 C .58 D .78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始 边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ， 将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的 图像大致为（ ） 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ） A .203 B .165 C .72 D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2 πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32π αβ-= B .22π αβ-= C .32π αβ+= D .22π αβ+= 9.不等式组124x y x y +≥??-≤? 的解集记为D .有下面四个命： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥,
广州10年二模理科数学试卷和答案
试卷类型：A 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数 学（理科） 2010．4 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()n P k =C ()1n k k k n p p --()0,1,2,,k n = . 两数立方差公式: ()() 3322 a b a b a ab b -=-++. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定 2. 已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空， 则A B I 的元素个数为 A ． mn B ．m n + C ．m n - D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 134. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, A. 若//,m n n α?,则//m α B. 若//,//m n n α, C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若,m n n α⊥⊥,5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()3 2,x f x g x x ==, 则()2h 的值为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：=”) A. 9 B. 8
【广州市】六年级数学上册知识点整理归纳
六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 例如：5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少？ 或表示：5 3的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 例如：5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？ （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） （2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘， 计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） 注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。