2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题23 数学归纳法与证明-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘
高考冲刺 提分必备
2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析
专题23 数学归纳法与证明
【真题感悟】
1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；
（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．
2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，
1
1(1),,(1)k k k k k ----644474448
L 个
，…，即当1122
k k k k n (-)(+)<≤
(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2
22
f f ππ
π
+
的值；
（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
都成立. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{
})(,,3,2,1*
N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=
}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.
【考纲要求】
1. 数学归纳法的原理 （考查要求为了解）
2. 数学归纳法的简单应用 （考查要求为理解）
【考向分析】
1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.
2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.
【高考预测】
近几年没有考查数学归纳法，高考对数学归纳法考查定位在能力，属难题.
【迎考策略】
1. 明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．
(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题
(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：
(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推
的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．
【强化演练】
1．已知数列{}n a 满足1230
12323222n n n n n
C C C a C +++=++++…*2
n n n
n C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 2．已知函数，记
，当
．
（1）求证：在
上为增函数； （2）对于任意
，判断
在
上的单调性，并证明． 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，
cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=
1sin 12122sin 2
n x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin
6
π
⋅⋅⋅+的值. 4．已知函数()()00,0cx d
f x a ac bd ax b
+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.
（1）求()()12,f x f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.
5．已知()()()()()()01
111n
k
n
n
n
n k m n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ，其中R x ∈，
*N n ∈， N k ∈， k n ≤.
（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；
（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论. 6．设
，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.
（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，
； （2）求证：对任何正整数，
.
7．数列{}n a 满足11a =且()1211
112n n
n
a a n n n +⎛⎫=+
+≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；
（2）已知不等式()ln 1x x +<对0x >成立，证明： ()3
4
21n a e n <≥（其中无理数
）.
8．记.
（1）求的值； （2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.
9．设个正数
满足
且
. （1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到 且
个正数
的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有1111
11
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 11．在数列E 中，已知F ，23-，2n n a b =(2n n
a b =
，
．
（1，13a =时，分别求
（2
12（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；
（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．
13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足 （
1）1n n x x +<； （2 14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：
()
2
2221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
]1n n a a -+．
江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式： 球体的体积公式：V＝3 3 4 R π，其中为球体的半径． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．全集12 {} 345 U＝，，，，，集合134 {}} 35 { A B ＝，，，＝，，则 U A B ? （） e═．2．已知i是虚数单位，若12 i a i a R +∈ （﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人． 4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是． 5．已知函数 2 2 353 log(1)3 x x f x x x - ?-< ? -+≥ ? （）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．
6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0 的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0 ，|φ|＜2 π ）的部分图象如图所示，则f （76π） 的值为 ． 8．已知A ，B 分别是双曲线22 12 x y C m ：-＝ 的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ． 9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2 ﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ． 10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ． 11．设A ，B 在圆x 2 +y 2 ＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则 |PA PB |+u u u r u u u r 的最小值是 ． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝ 23 π ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ． 13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r ，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11 414n n n n n E A E D E a B a += +u u u u r u u u u r u u u u r （﹣）﹣5 ，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则 111a -+211a -+311a -+…+1 1 n a -＝ ． 14．已知函数2910(1)e ,02 3x x x f x x x ?++
2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题23 数学归纳法与证明-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘
高考冲刺 提分必备 2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析 专题23 数学归纳法与证明 【真题感悟】 1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数； （2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数． 2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…， 1 1(1),,(1)k k k k k ----644474448 L 个 ，…，即当1122 k k k k n (-)(+)<≤ (k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2 22 f f ππ π + 的值； （2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4 442 n n nf f ππ π-+ = 都成立. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{ })(,,3,2,1* N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （1）写出(6)f 的值； （2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 【考纲要求】 1. 数学归纳法的原理 （考查要求为了解） 2. 数学归纳法的简单应用 （考查要求为理解）
专题20 数学归纳法及其证明(解析版)
专题20 数学归纳法及其证明 1、（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈* N ． 证明：当n ∈*N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1 122 n n n n x x x x ++-≤ ； （Ⅲ）1211 22 n n n x --≤≤． 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x > 当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >， 那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此0n x >()n ∈* N 所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++> 因此10n n x x +<<()n ∈* N （Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得 2 111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2 ()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥ 函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2 111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故1 12(N )2 n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为 11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤
所以112 n n x -≥得 由 1 122 n n n n x x x x ++-≥得 11111 2()022 n n x x +-->≥ 所以 1211111111 2()2()2222 n n n n x x x -----???-=≥≥≥ 故2 1 2n n x -≤ 综上，1211 (N )22 n n n x n *--∈≤≤ ． 2、（2016年江苏卷）. (1) 求7C 36－4C 47 的值； (2) 设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证： (m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋ 2 n ＋2. 规范解答 (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 解法1 当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时， (k ＋1)C m k ＝k ＋1·k ！m ！·k －m ！＝(m ＋1)·k ＋1！m ＋1！·[k ＋1－m ＋1]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又因为C m ＋ 1k ＋1＋C m ＋ 2k ＋1＝C m ＋ 2k ＋2， 所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋ 2k ＋2－C m ＋ 2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 因此， (m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ]＝(m ＋1)C m ＋ 2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋ 2m ＋3－C m ＋ 2m ＋2)＋(C m ＋ 2m ＋4－C m ＋ 2m ＋3)＋…＋(C m ＋ 2n ＋2－C m ＋ 2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋ 2 n ＋2. 解法2 对任意的m ∈N *， ①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋ 2 m ＋2＝m ＋1，等式成立， ②假设n ＝k (k ≥m )时命题成立， 即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋ 2k ＋2， 当n ＝k ＋1时，左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)·C m ＋ 2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1， 右边＝(m ＋1)C m ＋ 2 k ＋3， 而(m ＋1)C m ＋ 2k ＋3－(m ＋1)C m ＋ 2k ＋2＝(m ＋1)× k ＋3！ m ＋2！k －m ＋1！－ k ＋2！ m ＋2！k －m ！ ＝(m ＋
2020年高考数学一轮复习考点 数学归纳法必刷题含解析
考点34 数学归纳法 1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且2 11n n n a a a +=-+对任意n N * ∈恒成立． （1）求证：112 211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)； （2）求证：11n n a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）①当1n =时，22 21112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立. ②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立 下证：当1n k =+时，1 12211k k k k a a a a a a +-+=+成立。 因为()2 11211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+= ()()11221112 211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++- 即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立 由①、②可知，112 211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立。 （2）（ⅰ）当1n =时，2 21 221311a >=-=++成立， 当2n =时，()2 322222 172131112a a a a a =-+=-+=>?>++成立， （ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11k k a k +>+成立 下证：当1n k =+时，() 1 211k k a k ++>++成立. 因为()() 2211112 111111k k k k k k k k k a a a a a k k k k +++++-+==-+>++=++ 要证() 1 211k k a k ++>++， 只需证() 1 2111k k k k k k +++>++
考点 12 附加题训练(四)-2020年高考数学附加题专项训练 (江苏专用)(解析版)
考点 12 附加题训练（四）-2020年高考数学附加题专项训练 （江苏专用） （一） 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵 12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A . 【答案】1102-⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎦ 【解析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤ =⎢ ⎥⎣⎦ 对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上，所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩ ，故1102A -⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦. 【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t α α =+⎧⎨ =+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2 2 2 1cos ρθ =+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当4 π α = 时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程 【答案】（Ⅰ）1:2C x =，22 2:12y C x +=（Ⅱ）2 2 128339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）对于曲线1C 消去参数t 得； 当2 π α≠时，()1:1tan 2C y x α-=-； 当2 π α= 时，1:2C x =.
人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业40 数学归纳法(含答案)
课时作业40 数学归纳法 1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1 时左端应在n ＝k 的基础上加上( D ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22 D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2 解析：观察可知，等式的左端是n 2个连续自然数的和，当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 2．如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论中正确的是( D ) A ．P (n )对任意n ∈N *成立 B ．P (n )对n ＞4成立 C ．P (n )对n ＜4成立 D ．P (n )对n ≤4不成立 解析：由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立)，同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立，故选D. 3．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1 ＞127 64(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( B ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12 ＝2－1 2n －1 ，
右边＝12764＝2－164，故2－12n －1＞2－164， 即 1 2n －1＜164＝126，所以2n －1＞26，解得n ＞7. 所以初始值至少应取8. 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( A ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3 D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3 解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2 成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D ) A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立 B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立 C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A 错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)＜4矛盾，所以B 错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C 错误；若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，正确． 6．(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，则其一般结论为 f (2n )＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *) . 解析：观察规律可知f (22 )＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24 )＞4＋22，f (25)
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第20讲 数学归纳法-原卷版
第20讲 数学归纳法 归纳法是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的方向，它是一种由个别到一般、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的认识手段和模式. 归纳法分类： ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩ 不完全归纳法归纳法枚举归纳法完全归纳法数学归纳法 1.不完全归纳法 不完全归纳法是指通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考察而概括出该类事物的一般性结论的方法,前提和结论之间未必有必然的联系,由不完全归纳法得出的结论只有或然的性质,结论不一定正确,还需要经过严格的逻辑论证和实践的检验. 2.完全归纳法 完全归纳法是指通过对某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况的研究而概括出关于事物的一般性结论的方法,正确的前提必然能得出正确的结论,所以完全归纳法可以作为数学中严格证明的工具,在数学解题中有广泛的应用.完全归纳法包括枚举归纳法和数学归纳法等. （1）枚举归纳法:将所涉及的研究对象一一列举出来进行研究的方法.这种方法主要适用于研究对象的范畴较小的情况,如整数问题中只需按奇偶数两种情况研究,三角形问题中对形状只需分锐角、直角、钝角3种情况讨论. （2）数学归纳法:一种证明与正整数n 有关的数学命题的重要方法.华罗庚先生说:“把数学归纳法学好了,对进一步学好高等数学有帮助,甚至对认识数学的性质,也会有所裨益."数学归纳法可以用“多米诺骨牌现象”进行形象地说明:推倒头一块“骨牌”,它会带倒第二块,再带倒第三块…...直到所有“骨牌”全部倒下,把骨牌想象为一系列无穷多个编了$了号的命题:123,,,,P P P 假定能㶴证明： (奠基)最初的一个命题正确; （过渡)由每一个命题的正确性可以推出它的下一个命题的正确性,那么我们便证明了这一列命题的正确性.事实上,我们已会“推倒头一块骨牌",即证明最初的一个命题成立(所谓“奠基"),而“过渡”则意味着“每一块骨牌在倒下时都将带倒下一块骨牌”,这样一来,并不需要特别强调应推倒哪一块骨牌,事实上,只要头一块一旦倒下,那么这一列中的任何一块骨牌都或迟或早必然倒下. 因此可得数学归纳法的基本形式:
2022年江苏省无锡市第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2022年江苏省无锡市第三中学高二数学理上学期期末试卷含 解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。 【详解】当时，左边， 当时，左边 ， ∴从到，左边需要增乘的代数式为.选B. 【点睛】本题主要考查学生如何理解数学归纳法中递推关系。 2. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（） A． B．6 C． D．12 参考答案： C 略3. 若不等式的解集为则的值是（） A.－10 B.－14 C. 10 D. 14 参考答案： A 4. 若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是() A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5} 参考答案： B 略 5. 直线与曲线的交点的个数 A.1 B.2 C.3 D.4参考答案： C 略 6. 在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若则△ABC的形状为( ) A．直角三角形B．锐角三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形 参考答案： C 略 7. 圆与圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 参考答案： C 8. 设全集，集合A={1,4}，B={4,9}，则 A. {4} B. {0,1,9,16} C. {0,9,16} D. {1,9,16} 参考答案：
2020高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2
2.3 数学归纳法 1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1） 错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时 结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正 整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二 步的作用是错误!递推的依据． 3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严 格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明 错误!与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明 的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成 一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步 的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．
对数学归纳法本质的理解 数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质． (1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象? （2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度） （3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下） （4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？ (5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和
2019-2020年高二数学归纳法及其应用 新课标
2019-2020年高二数学归纳法及其应用 新课标 （一）知识归纳： 数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是： ①验证n 取第一个值n 0时结论正确； ②假设时结论正确，证明当时结论也正确. 如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对的一切正整数都正确. 实际上，中学所学的这种数学归纳法称第一数学归纳法. （二）学习要点： 1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程； ②成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条 件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧. 2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等 式问题”等，要积累这几种题型的证题经验. 3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效. 【例1】用数学归纳法证明下述等式问题： （Ⅰ）)1)(1(4 1)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明] . 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立； . 假设时等式成立，即 )1)(1(4 1)()2(2)1(12222222+-= -⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当时， 左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k )] 12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(4 1)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(4 1)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即时等式成立， 根据，等式对都正确. （Ⅱ）1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C . [证明]. 当时，左边右边，等式成立； . 假设时等式成立，即 1321232-⋅=++++k kC C C C k k k k k ， ∴当时，左边=) ()1(2101112111k k k k k k k k C C C k kC C C +=++++++++++
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分4第4讲数学归纳法刷好题练能力文
第4讲 数学归纳法 1．求证：12 ＋22 ＋…＋n 2 ＝ n （n ＋1）（2n ＋1） 6 (n ∈N * )． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1·（1＋1）（2＋1） 6＝1，左边＝右边，等式 成立； (2)假设n ＝k (k ∈N * ，且k ≥1)时，等式成立， 即12 ＋22 ＋…＋k 2 ＝ k （k ＋1）（2k ＋1） 6 ， 则当n ＝k ＋1时，12 ＋22 ＋…＋k 2 ＋(k ＋1)2 ＝k （k ＋1）（2k ＋1） 6 ＋(k ＋1)2 ＝ （k ＋1）[（k ＋1）＋1][2（k ＋1）＋1] 6 ， 所以当n ＝k ＋1时，等式仍然成立． 由(1)(2)可知，对于∀n ∈N * 等式恒成立． 2．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N * )． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12 ＝1，右边＝13 ×1×(4－1)＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2 －1)． 则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2 －1)＋4k 2 ＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2 ＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2 －4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2 －1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2 －1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)，(2)可知，对一切n ∈N * ，等式都成立．
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷(含答案) (6)
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷6 一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1.λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2.直线y=kx+m与双曲线（a＞0，b＞0）的交点个数最多为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（） A. 一定单调递增 B. 一定没有单调减区间 C. 可能没有单调增区间 D. 一定没有单调增区间 4.若数列{a n}中，对任意n∈N*，都有（k为常数），则称{a n}为等差比数 列．下列对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0； ②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列； ④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5.不等式＞3的解集是______ ． 6.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为 了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工______人． 7.已知（n∈N*），则=______ 8.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210， 则此数列的项数为______ ． 9.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是______．
10.若2sinα•cosα-cos2α=0，则cotα=______ 11.已知变量x、y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______． 12.已知点O为△ABC的外心，且，则= ______ ． 13.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想 的数字把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，…9}，若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为______．14.在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，AB：AD：AC=3：k：1，则实数k的 取值范围为______． 15.已知函数f（x）=x-sin x是R上的单调增函数，则关于x的方程 的实根为______ 16.已知数列a1，a2，…，a n是1，2，…，n（n≥2，n∈N*）满足下列性质T的一个排 列，性质T：排列a1，a2，…，a n有且仅有一个a i＞a i+1（i∈{1，2，…，n-1}），则满足性质T的所有数列a1，a2，…，a n的个数f（n）=______ 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行， 已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O距离地面的高度为 1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最 低点P0处． （1）试写出蚂蚁距离地面的高度h（米）关于时刻t（分 钟）的函数关系式h（t）； （2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？ 18.如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB 互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点． （1）求圆锥体的体积； （2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数 表示）．
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷(一)(3月份)
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷（一）（3月份） 一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合A ={x|y =0 √2|x|−x },B ={x|x+2 x−1≤0,x ∈Z}，则A ∩B =______． 2. 在“一带一路”(英文：TheBel tan dRoad ，缩写B&R)知识问答竞赛中，“江苏”代 表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为______． 3. 复数z 满足z =1+√3i ，i 为虚数单位，z −为复数z 的共轭复数，则复数z − 4+2z 的模为______． 4. 随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为______． 5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的a 的值是______． 6. 曲线3x 2−y 2=3与y =x 2−2x −8的四个交点所在圆的方程是______． 7. 已知α∈(0,π2),cos(α+π3)=13，则cos(2α+π 6)=______． 8. 在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若EF =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______． 9. 设椭圆 x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0))的左焦点为F ， 过椭圆上一点A 作椭圆的切线交y 轴于点Q 若∠QFO =π 4，∠QFA =π 6 ，则此椭圆的离心率为______． 10. 在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他 球相切，且它们都和正方体的三个面相切．则这个正方体的棱长为______． 11. 已知a >0，函数f(x)=|x 2+|x −a|−3|在区间[−1,1]上的最大值是2，则a =______． 12. 定义数列{a n }，先给出a 1=1，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是a 2=1，a 3=2，接下来再 复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继续(1,1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1…)，设S n 是a n 的前n 项和，则S 2020=______．
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8 y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈， 由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1 13i -的虚部是（ ） A. 310 - B. 110 - C. 110 D. 310 【答案】D 【解析】
【分析】 利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为11313 13(13)(13)1010 i z i i i i += ==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 11i i p ==∑，则下面四种 情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ==== 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 2 1 2.50.1 2 2.50.4 3 2.50.4 4 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 21 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 2 1 2.50.2 2 2.50.3 3 2.50.3 4 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 2 1 2.50.3 2 2.50.2 3 2.50.2 4 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B. 【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
2019-2020年高考数学 专题23 数列通项公式的求解策略黄金解题模板
2019-2020年高考数学 专题23 数列通项公式的求解策略黄金解题模板 【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一 数学归纳法 解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例1 若数列的前n 项和为，且方程有一个根为－1，n=1,2,3.. (1) 求 ；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明 试题解析：解：（1） （2）由2 (1)(1)0n n n n S a S a ----=知 代入 ………（）
【变式演练1】已知数列满足1122 8(1)8 (21)(23)9 n n n a a a n n ++=+ =++，，求数列的通项公式。
由此可知，当时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 【变式演练2】把数列{}（）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，进行摆放，即（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），（45，47），则第104个括号内各数之和为（） A．2072 B．2060 C．2048 D．2036 【答案】A 【解析】
2020年江苏省高考数学附加题专项7套含答案
专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 设矩阵A ＝⎣⎡ ⎦ ⎤m 00 n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A . 【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ (θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长； 【题目1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12 ，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率； (2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.
所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为 【题目2】 在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D r n x r ＋…＋D 2n －1n x 2n － 1＋D 2n n x 2n 的展开式中，把D 0n ，D 1n ，D 2n ，…，D 2n n 叫做三项式系数. (1)当n ＝2时，写出三项式系数D 02，D 12，D 22，D 32，D 42的值； (2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m － 1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数 . 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦ ⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程.
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1，f (x 0)>0， f ′(x 0)＝0，则00000 2 00201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛ > +> -+ = ⎝ ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0， 结合①可解得x 0>2，再由 f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2.