《微专题小练习》数学新高考 专练 33
专练33 高考大题专练(三) 数列的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，17]记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n
＋n ＝2a n ＋1. (1)证明：{a n }是等差数列；
(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．
2．[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{a n }的公差为d ，且d >1.令b n ＝n 2＋n a n
，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和．
(1)若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式；
(2)若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d .
3.[2021·新高考Ⅰ卷]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数．
(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；
(2)求{a n }的前20项和．
4．[2022·新高考Ⅰ卷]记S n 为数列{}a n 的前n 项和，已知a 1＝1，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n a n 是公差为13 的等差数列．
(1)求{}a n 的通项公式；
(2)证明：1a 1 ＋1a 2 ＋…＋1a n
<2. 5.[2023·全国甲卷(理)]记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝1，2S n ＝na n .
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n ＋12n }的前n 项和T n . 6．记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n
＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求{a n }的通项公式．
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{a n }为等差数列，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －6，n 为奇数2a n ，n 为偶数
.记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)证明：当n >5时，T n >S n .
8．设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3
.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n 2023年高考数学微专题专练30含解析文
专练30 等比数列及其前n 项和 命题范围：等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n 项和公式． [基础强化] 一、选择题 1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( ) A ．2B ．2C ．5D ．3 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 8 3．[2022·江西省赣州市期末]已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 6＝( ) A ．6 B ．9 C ．27 D ．81 4．[2022·江西省南昌市模拟]数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，则a 4＝( ) A ．8 B ．16 C ．12 D ．24 5．[2022·珠海模拟]在等比数列{a n }中，a 2 7 ＝a 9且a 8＞a 9，则使得a n －1a 1 >0的自然数n 的最大值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝ ( ) A ．16B ．8C ．4D ．2 7．[2022·江西省赣州市一模]等比数列{a n }满足a 8＋a 10＝1 2，a 11＋a 13＝1，则a 20＋a 22＝ ( ) A ．8 B ．4 C ．－4 D ．－8 8．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A ．10 B ．15
《微专题小练习》数学新高考 专练 33
专练33 高考大题专练(三) 数列的综合运用 1．[2022·全国甲卷(理)，17]记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n ＋n ＝2a n ＋1. (1)证明：{a n }是等差数列； (2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值． 2．[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{a n }的公差为d ，且d >1.令b n ＝n 2＋n a n ，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和． (1)若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式； (2)若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d . 3.[2021·新高考Ⅰ卷]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数． (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和． 4．[2022·新高考Ⅰ卷]记S n 为数列{}a n 的前n 项和，已知a 1＝1，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n a n 是公差为13 的等差数列． (1)求{}a n 的通项公式； (2)证明：1a 1 ＋1a 2 ＋…＋1a n <2. 5.[2023·全国甲卷(理)]记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝1，2S n ＝na n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋12n }的前n 项和T n . 6．记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n ＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{a n }为等差数列，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －6，n 为奇数2a n ，n 为偶数 .记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16. (1)求{a n }的通项公式； (2)证明：当n >5时，T n >S n . 8．设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3 .已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列． (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n 《微专题小练习》数学新高考 专练 42
专练42 两条直线的位置关系及距离公式 [基础强化] 一、选择题 1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．当0
2023高考数学一轮(微专题小练习)新教材选用最新试题专练50
专练50 二项式定理 [基础强化] 一、选择题 1.⎝ ⎛⎭⎫x 2＋2x 5 的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 2.⎝ ⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 3．[2020·全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．4 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S 为( ) A ．152 B ．154 C ．120 D ．240 6．在二项式⎝ ⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( ) A. 6 B ．9 C ．12 D ．18 7．[2020·全国卷Ⅰ]⎝⎛⎭ ⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( ) A ．(x －2)4 B ．(x －1)4 C ．x 4 D ．(x ＋1)4 9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( ) A ．a 0的值为2 B ．a 5的值为16 C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5 D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120 二、填空题
2023《微专题小练习》数学理科L-3专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 命题范围：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题． [基础强化] 一、选择题 1．在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3，0) B ．(1，3) C ．(0，3) D ．(0，0) 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋3≥0，0≤x ≤3 所表示的平面区域的面积等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．36 3．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个 4．已知点P (1，－2)，Q (a ，2)，若直线2x ＋y －4＝0与线段PQ 有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，1) 5．[2022·江西省临川第一中学模拟]若实数x ，y 满足⎩ ⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0y ≥|x －1| ，则z ＝2x ＋y 的值不可能为( ) A.2 B ．4 C ．9 D ．12 6．[2022·陕西省西安中学二模]若x ，y 满足约束条件⎩ ⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －3y －3≤0 ，且z ＝x ＋2y ，则( ) A ．z 有最小值也有最大值 B ．z 无最小值也无最大值 C ．z 有最小值无最大值 D ．z 有最大值无最小值 7．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0， 则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．10 D ．12 8．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．12
2023高考数学一轮(微专题小练习)新教材选用最新试题专练2
专练2 常用逻辑用语 [基础强化] 一、选择题 1．已知命题p ：∀x ≥1，2x －log 2x ≥1，则命题p 的否定为( ) A ．∀x ＜1，2x －log 2x ＜1 B ．∀x ≥1，2x －log 2x ＜1 C ．∃x 0＜1，2x 0－log 2x 0＜1 D ．∃x 0≥1，2x 0－log 2x 0＜1 2．[2021·全国乙卷]已知命题p ：∃x ∈R ，sin x ＜1；命题q ：∀x ∈R ，e |x |≥1，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧¬q D ．¬(p ∨q ) 3．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( ) A ．¬p 是q 的必要不充分条件 B ．¬q 是p 的必要不充分条件 C ．¬p 是¬q 的必要不充分条件 D ．¬q 是¬p 的必要不充分条件 4．设x ∈R ，则“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．设命题p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；q ：03，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若¬p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎣ ⎡⎦⎤－4，72 B ．(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎫－4，72 D ．(－∞，－4)∪⎝⎛⎭ ⎫72，＋∞ 8．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |”是“△ABC 为直角 三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
2023高考数学一轮(微专题小练习)新教材选用最新试题专练29
专练29 数列的概念 [基础强化] 一、选择题 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．－1，－2，－3，－4，… B ．－1，－12 ，－13 ，－14 ，… C ．－1，－2，－4，－8，… D ．1，2 ，3 ，4 ，…，10 2．已知a n ＝n －1 n ＋1 ，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列 D ．摆动数列 3．在数列1，2，7 ，10 ，13 ，…中，219 是这个数列的第( ) A ．16项 B ．24项 C ．26项 D ．28项 4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋3，a n 为奇数， 2a n ＋1，a n 为偶数， 则a 6＝( ) A ．16 B ．25 C ．28 D ．33 5．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn .若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3] 6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 2021＝( ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D ．13 7．设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．(－1)n 8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 9．(多选)下面四个说法中错误的是( ) A ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1k B ．数列的项数是无限的 C ．数列的通项公式的表达式是唯一的
2023《微专题小练习》数学理科L-3专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
专练2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定． [基础强化] 一、选择题 1．[2022·九江市高考模拟]已知命题p：∀x≥0，cos x≤e x，则¬p为() A．∀x≥0，cos x>e x B．∃x0<0，cos x0>e x0 C．∀x<0，cos x>e x D．∃x0≥0，cos x0>e x0 2．[2022·山西省高三一模(理)]已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，x－sin x>0；命题q：∀a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是() A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬(p∨q) 3．[2022·新疆高三检测] 已知命题p：∀x∈N，x2<2x；命题q：∃x∈R，sin x＋cos x>1，下列命题中为假命题的是() A．p∨q B．(¬p)∧q C．(¬p)∨(¬q) D．p∨(¬q) 4．[2022·江西省六校联考]下列结论错误的是() A．若“p∧q”为真命题，则p、q均为真命题 B．“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件 C．命题“若x＝4，则x2－2x－8＝0”的否命题是“若x≠4，则x2－2x－8≠0” D．命题“∀x≥0，都有3x≥1”的否定是“∃x<0，使得3x<1” 5．[2022·江西省高三一模]已知命题p：∃x0∈R，sin x0<1；命题q：当α，β∈R时，“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是() A．p∧q B．(¬p)∧q C．p∧(¬q) D．¬(p∨q) 6．[2022·广东省高三四校联考]已知命题p：∃x，y∈R，sin (x＋y)＝sin x＋sin y；命题q：∀x，y∈R，sin x·sin y≤1，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．¬p∧q C．p∧(¬q) D．¬(p∨q) 7．[2022·四川省质量监测(二)]下列结论错误的是() A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件 B．若m∈R，则方程x2＋x－m＝0一定有实根是假命题 C．在△ABC中，若“A>B”则“sin A>sin B” D．命题p：“∃x0∈R，x20－2x0＋4>0”，则¬p：“∀x∈R，x2－2x＋4<0” 8．[2022·四川省高三二诊]已知命题p：∃x0∈R，ln x0＝1.命题q：某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等．下列命题中的假命题是() A．p∧(¬q) B．p∨q C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q) 9．[2022·四川五中二模(理)]已知命题p：在△ABC中，若cos A＝cos B, 则A＝B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.下列四个命题是真命题的是() A．p∧(¬q) B．(¬p)∧(¬q) C．(¬p)∧(¬q) D．p∧q 二、填空题
2023高考数学一轮(微专题小练习)新教材选用最新试题专练34
专练34 空间几何体的结构特征、表面积和体积 [基础强化] 一、选择题 1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 2．[2022·江苏省学情调研]用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为( ) A ．正六边形 B ．五边形 C ．长方形 D ．三角形 3．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BB 1，AB 的中点，则三棱锥A 1－D 1MN 的体积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2 ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3 B ．4π3 C ．5π3 D ．2π 5．[2020·全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( ) A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 6．[2022·全国甲卷(文)，10]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙，若S 甲S 乙 ＝2，则V 甲V 乙 ＝( ) A ．5 B ．22 C ．10 D ．5104 7．[2022·河北省六校联考]已知A ，B 是球O 的表面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．124π B ．144π C ．156π D ．196π 8. [2022·云贵川桂四省联考]如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为( ) A ．(15 ＋4)π B ．(215 ＋4)π C ．(315 ＋4)π D ．(415 ＋4)π 9．[2022·新高考Ⅰ卷，4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m 时，相应水面的面积为140.0 km 2；水位为海拔157.5 m 时，相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时，增加的水量约为(7
2023年高考数学微专题专练23含解析文
专练23 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用 1．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2 (π2 ＋A )＋cos A ＝5 4 . (1)求A ； (2)若b －c ＝3 3 a ，证明：△ABC 是直角三角形． 2．[2022·全国乙卷(文)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ). (1)若A ＝2B ，求C ； (2)证明：2a 2 ＝b 2 ＋c 2 . 3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝ sin2B 1＋cos2B .
(1)若C ＝2π 3 ，求B ； (2)求a 2＋b 2 c 2的最小值． 4．[2022·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB 中，OA ＝OB ，延长BA 到C ，使得AC ＝3，∠AOC ＝π4，sin∠OAC ＝22 3 . (1)求OC ； (2)求sin∠BOC . 5．[2022·江西省重点中学联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 从条件①：b sin B ＋C 2＝a sin B ，条件②：b ＝a cos C ＋1 2 c ，条件③：b tan A ＝(2c －b )tan B 这三个
条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A ； (2)若AB →·AC → ＝3，求a 的最小值． 专练23 高考大题专练(二) 三角函数与 解三角形的综合运用 1．解析：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2 A －cos A ＋14＝0. 所以(cos A －12)2＝0，cos A ＝12.由于0 专练30 等差数列及其前n 项和 [基础强化] 一、选择题 1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．10 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝5 2，S 10＝15，则a 7＝( ) A ．12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12 4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7＝22，S 11＝143.若S n >195，则n 的最小值为( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A ．－3B ．－5 2 C ．－2 D ．－4 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2 ＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝( ) A ．13B ．49C ．35D ．63 8．[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 专练31 等比数列及其前n 项和 [基础强化] 一、选择题 1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( ) A ．2 B ．2 C ．5 D ．3 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝18 ，4a 2a 4＝4a 3－1，则a 2＝( ) A ．±14 B ．14 C ．±116 D ．116 3．等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 5．设{a n }是公比为q ＞1的等比数列，若a 2 010和a 2 011是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 012＋a 2 013＝( ) A ．18 B ．10 C ．25 D ．9 6．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89 ，则当T n 取得最大值时，n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 7．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝( ) A ．14 B ．12 C ．6 D. 3 8．在等比数列{a n }中，a 2＝2 ，a 3＝33 ，则a 11＋a 2 011a 17＋a 2 017 ＝( ) A ．29 B ．49 C ．23 D ．89 9．(多选)[2022·山东德州期中]已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则下列说法正确的是( ) A ．{a n }为单调递增数列 B ．S 6S 3 ＝9 C ．S 3，S 6，S 9成等比数列 D ．S n ＝2a n －a 1 二、填空题 10．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74 ，S 6＝634 ，则a 8＝________． 11．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 专练13 导数与函数的单调性 命题范围：利用导数研究函数的单调性． [基础强化] 一、选择题 1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A ．(1e ，e) B ．(0，1e ) C ．(－∞，1e ) D ．(1e ，＋∞) 2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示，则下面判断正确的是( ) A ．在区间(－2，1)上f (x )是增函数 B ．在(1，3)上f (x )是减函数 C ．在(4，5)上f (x )是增函数 D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 3．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则使得函数f (x －1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( ) A ．[0，1] B ．[3，5] C ．[2，3] D ．[2，4] 4．[2022·安徽省高三月考]设a ＝π－3，b ＝sin 6，c ＝sin 3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b >a >c B ．c >a >b C ．a >c >b D ．a >b >c 5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3 ，3 ] B ．(－3 ，3 ) C ．(－∞，－3 )∪(3 ，＋∞) D ．(－∞，－3 ) 6．已知函数f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，2) D ．(－∞，2] 7．若f (x )＝ln x x ，0f (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a ) 专练8 函数的奇偶性与周期性 [基础强化] 一、选择题 1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝－lg |x | D ．y ＝2x 2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．f (x )|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|g (x )是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－8)＝( ) A ．3 B ．13 C ．－13 D ．－3 4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭ ⎫－52 ＝( ) A ．－12 B ．－14 C ．14 D ．12 5．[2022·广西桂林测试]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝3x ，则( ) A ．f (－1)＝f (2) B ．f (－1)＝f (4) C ．f ⎝⎛⎭⎫－32 >f ⎝⎛⎭⎫53 D ．f ⎝⎛⎭ ⎫－32 ＝f (4) 6．函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (2 016)＋f (2 017)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 23)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c 专练43 圆的方程 [基础强化] 一、选择题 1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 3．已知点A 是直角△ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5 D ．(x ＋3)2＋y 2＝5 4．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(－∞，1) 5．点P (5a ＋1，12a )在(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．|a |<1 B ．a <113 C ．|a |<15 D ．|a |<113 6．直线y ＝kx －2k ＋1恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 7．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4，则圆M 的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 8．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 9．(多选)已知点A (－1，0)，B (1，0)，若圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1上存在点M 满足MA → ·MB → ＝3，则实数a 的值为( ) 热点(十三) 数学文化 1．[2020·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A. 15 B. 25 C.35 D. 110 2．[2020·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( ) A.415 B. 158 C.15 4 D ．120 3．(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来 研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f (x )＝x 4 |4x －1| 的图象 大致是( ) 4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( ) A.1415 B.115 C.29 D.79 5．(数列中的数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为( ) A ．23岁 B ．32岁 C ．35岁 D ．38岁 小题专练11 计数原理、概率与统计(A) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1..(考点:古典概型的应用,★)有编号分别为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球,每个盒子放入 一个小球,则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为(). A.1 3 B.5 6 C.2 3 D.8 27 2.(考点:随机数表的应用,★)福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,…,33的33个球组成,某彩民利用 下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为(). A.21 B.09 C.02 D.17 3(考点:二项分布的期望与方差,★)已知随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则n的值为(). A.10 B.8 C.16 D.12 4.(考点:组合和计数原理的应用,★★)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同 的取法共有(). A.60种 B.64种 C.65种 D.66种 5.(考点:二项式定理的应用,★★)设(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,若a3+a4=0,则a5=(). A.256 B.-128 C.64 D.-32 6.(考点:排列组合的应用,★★)某食品厂为了促销,制作了3种不同的精美卡片,每袋食品中随机装入一张卡 片,集齐3种卡片可获奖,现购买4袋该食品,能获奖的概率为(). A.4 27 B.8 27 C.4 9 D.8 9 7.(考点:条件概率的应用,★★)若全体Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P(B|A)的值为(). A.2 3 B.1 3 C.1 2 D.3 5 专题33：空间几何体 精讲温故知新 一．空间几何体的结构 1.多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体 一条平面曲线，包括直线，绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面。封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3.棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻两边的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱。 一般地，我们把侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱，也叫做平行六面体。 4.棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻两边的公共边叫做棱锥的侧棱，这侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。棱锥，用表示顶点和各面各顶点的字母来表示，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。 5.棱台 用一个平行于圆锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面，类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱和顶点。 6.圆柱 与矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面，叫做圆柱的 考向19 三角函数的图象和性质 【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛ ⎫=++> ⎪⎝ ⎭的最小正周期为T ．若 23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 中心对称，则2f π⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ．1 B ．32 C ．52 D ．3 【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个 零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫ ⎡⎪⎢⎣⎭ B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦ 1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有： （1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角； （3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函． 2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范 围． 若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由2023年新教材高考数学微专题专练30含解析
2023高考数学一轮(微专题小练习)新教材选用最新试题专练31
2023《微专题小练习》数学理科L-3专练13 导数与函数的单调性
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