初中数学思想与方法全梳理

初中数学思想与方法全梳理

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。

思想与方法并不是孤立独行的，二者之间互相联系，思想对应方法，方法返衬思想。

模块一：数学思想

题型一数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1、数形结合的内容

（1）绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。

（2）函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合体现了数形结合的特征与方法。

（3）方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

（4）几何探究：几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算

2、数形结合的类型

（1）以“数”化“形”：对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

（2）以“形”变“数”：解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式（一般利用坐标转化也可以通过引入参数解决）表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；②是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；③是正确确定参数的取值范围。

例题1： 已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：22(1)2(1)||a b a b ++---．

【解析】由数轴可得：101a b -<<<<，则10a +>，10b ->，0a b -<，

||a b -12(1)()a b a b =++-+-122a b a b =++-+-21a b =+-．

例题2： 在平行四边形ABCD 中，30A ∠=?，AD =4BD =，则平行四边形ABCD 的面积等于 ． 【解析】过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE ?中，30A ∠=?，AD =

1

2

DE AD ∴=

=6AE AD =，Rt BDE ?中，4BD =，2BE ∴= 如图1，8AB ∴=，

∴平行四边形ABCD 的面积8AB DE ==?=

如图2，4AB =，∴平行四边形ABCD 的面积4AB DE ==?=或

例题3： 如图，点1A ，2A 依次在0)y x =

>的图象上，点1B ，2B 依次在x 轴的正半轴上．若△11A OB ，△212A B B 均为等边三角形，则点2B 的坐标为 ．

【解析】作

11AC OB ⊥，垂足为C ，△11A OB 为等边三角形，1160AOB ∴∠=?，1

tan 60AC OC

∴?=

=

1

AC ∴=，设1A 的坐标为()m ，点1A 在0)y x =>的图象上，

39m m ∴=3m =，3OC ∴=，16OB ∴=，作212A D B B ⊥，垂足为D ．

设

1B D a =，则6OD a =+，2A D =，2(6)A a ∴+．微信公众号：数学三剑客

2(6)A a +在反比例函数的图象上，∴代入y =

，得(6)393a a +=， 化简得

2690a a +-=，解得：3a =-±0a >，3a ∴=-+

巩固1： 如图，在矩形OABC 中，3OA =，2OC =，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合），过点F 的

反比例函数(0)k

y k x

=>的图象与BC 边交于点E ．

（1）当F 为AB 的中点时，求该函数解析式；（2）当k 为何值时，EFA ?的面积最大，最大面积是多少？

【解析】（1）在矩形OABC 中，3OA =，2OC =，(3,2)B ∴，

F 为AB 的中点，(3,1)F ∴，

点F 在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，3k ∴=，∴该函数的解析式为3

(0)y x x

=>；

（2）由题意知E ，F 两点坐标分别为(2k E ，2)，(3,)3

k

F ，

1111(3)2232EFA S AF BE k k ?∴=

=?-211212k k =-21(699)12k k =--+-213

(3)124

k =--+， 在边AB 上，不与A ，B 重合，即023k <<，解得06k <<，∴当3k =时，S 有最大值．3

4

S =最大值．

巩固2： 如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，且60ADC ∠=?，

1

2

AB BC =

，连接OE ．下列结论：①AE CE >；②ABCD

S AB AC =?；③2ABE AOE S S ??=；④1

4

OE AD =

成立个数( ) A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】四边形ABCD 是平行四边形，60ABC ADC ∴∠=∠=?，120BAD ∠=?，

AE 平分BAD ∠，

60BAE EAD ∴∠=∠=?ABE ∴?是等边三角形，AE AB BE ∴==，60AEB ∠=?，

12

AB BC =

1

2

AE BE BC ∴==

，AE CE ∴=，故①错误 可得30EAC ACE ∠=∠=?90BAC ∴∠=?，ABCD

S AB AC ∴=?，故②正确

BE EC =，E ∴为BC 中点，ABE ACE S S ??∴=，AO CO =，11

22

AOE EOC AEC ABE S S S S ????∴===

2ABE AOE S S ??∴=；故③正确

四边形ABCD 是平行四边形，AC CO ∴=，AE CE =，EO AC ∴⊥，30ACE ∠=?，1

2

EO EC ∴= 12EC AB =

，11

44

OE BC AD ∴==，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C

巩固3： 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，点G 为OAB

?的重心，连接BG 并延长，交OA 于点C ，反比例函数(0)k

y k x =>的图象经过C ，G 两点．若AOB ?的面

积为6，则k 的值为( ) A.

94

B ．

125

C ．

52

D ．3

【解析】 过点C 作CN OB ⊥于N ，GM OB ⊥于M ，如图，点G 为OAB ?的重心，

2BG CG ∴=，//GM CN ，∴2

3

GM BM BG CN BN BC ===，微信公众号：数学三剑客 设2GM a =，则3CN a =，(

2k

G a

∴，2)a ，(3k C a ，3)a ，:2:3BM BN =，

33(

)232k k k BN MN a a a ∴==-=，5326k k k

OB ON BN a a a

∴=+=+=

， BC 为OAB ?的中线，116322OBC OAB S S ??∴==?=，即153326k a a ??=，12

5

k ∴=．故选：B ．

题型二 分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

1、分类讨论的步骤 （1） 明确分类对象 （2） 明确分类标准

（3） 逐类分类、分级得到阶段性结果 （4） 用该级标准进行检验筛选结果 （5） 归纳作出结论

2、分类讨论的对象

例题4： 关于x 的方程2(3)420k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是( )

A ．5≤k

B ．5k <且3k ≠

C ．5≤k 且3k ≠

D ．5≥k 且3k ≠

【解析】①当30k -=，即3k =，方程化为42x -=，解得1

2

x =-；

②当30k -≠时，△()()023442

≥?---=k ，解得5≤k 且3k ≠，

综上所述，k 的范围为5≤k ．故选：A ．

例题5： 如图，在直角ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，8BC =，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若

要使APQ ?是等腰三角形且BPQ ?是直角三角形，则AQ = ．

【解析】① 如图1中，当AQ PQ =，90QPB ∠=?时，设AQ PQ x ==，

//PQ AC ，

BPQ BCA ∴??∽，∴

BQ PQ BA AC =，∴10106x x -=，15

4

x ∴=，154AQ ∴=．

② 如图2中，当AQ PQ =，90PQB ∠=?时，设AQ PQ y ==． BQP BCA ??∽，∴

PQ BQ AC BC =

，∴1068y y -=，30

7

y ∴=． 综上所述，满足条件的AQ 的值为

154或307

．

例题6： 如图，ABC ?中，90ACB ∠=?，30A ∠=?，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，

垂足为P ，交边AC （或边)CB 于点Q ，设AP x =，APQ ?的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】①当点Q 在AC 上时，30A ∠=?，AP x =，tan30PQ x x ∴=?=

，

2

1122y AP PQ x x x ∴=??=?=；

②当点Q 在BC 上时，如下图所示：

AP x =，16AB =，30A ∠=?，16BP x ∴=-，60B ∠=?，tan 60)PQ BP x ∴=?=-．

2113(16)22S APQ AP PQ x x ∴?=

=-=+， ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选：D ．

巩固4： 若关于x 的方程2210kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是( )

A ．1k >-

B ．1k <且0k ≠

C ．1-≥k 且0k ≠

D ．1-≥k

【解析】当该方程是一元二次方程时，由题意可知：△044≥+=k ，1-≥∴k ，0k ≠，1-≥∴k 且0k ≠，

当该方程时一元一次方程时，0k =，满足题意，故选：D ．

巩固5： 若关于x 的一元二次方程2(1)220m x x -+-=没有实数根，则实数m 的取值范围是( )

A ．12

m <

B ．12

m >

C ．1

2

m >

且1m ≠ D ．1m ≠ 【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220m x x -+-=没有实数根，

∴△224(1)(2)0m =--?-<，且10m -≠，解得1

2

m <

，故选：A ．

巩固6： 已知关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a b x b +----=，这个方程根的情况是( )

A ．有两个相等的实根

B ．有两个不相等的实根

C ．有可能无实根

D ．有两个实根，可能相等，也可能不相等

【解析】根据题意得20a +≠，△2(2)4(2)(1)a b a b =--?+--224488a a b b =++++22(2)4(1)a b =+++，

2(2)0a +>，24(1)0b +，∴△0>，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：B ．

巩固7： 如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(10,0)A 、

(0,4)C ，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP ?是腰长为5的等腰三角形时，求P 的坐标．

【解析】（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时5OP PD =≠

（2）OD 是等腰三角形的一条腰时

①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点 在直角OPC ?中，2222543CP OP OC =-=-=，则P 的坐标是(3,4) ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点

过D 作DM BC ⊥于点M ，在直角PDM ?中，3PM == 当P 在M 的左边时，532CP =-=，则P 的坐标是(2,4)

当P 在M 的右侧时，538CP =+=，则P 的坐标是(8,4)．故P 为：(3,4)或(2,4)或(8,4)

巩固8： 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A

出发，沿路径A D C E →→→运动，则APE ?的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，

2CD AB ∴==，3BC AD ==，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，2

323

CE ∴=?=，

①点P 在AD 上时，APE ?的面积1

2(03)2

y x x x ==，

②点P 在CD 上时，APE ADP CEP AECD S S S S ???=--梯形，

111

(23)23(3)2(32)222x x =+?-??--??+-， 39

5522x x =-+-+，

1922x =-+，19

(35)22y x x ∴=-+<，

③点P 在CE 上时，1

(322)272APE S x x ?=?++-?=-+，

7(57)y x x ∴=-+<，故选：A ．

巩固9

： 如图，抛物线c

bx x y ++=

232经过点)0,3(B ，)2,0(-C ，直线l ：3

2

32--=x y 交y 轴于点E ，且与抛物线交于D A 、两点，P 为抛物线上一动点（不与D A 、重合）。 （1）求抛物线的解析式。

（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作x PM //轴交l 于点M ，y PN /轴交l 于点N ，求PN PM +的 最大值。

（3）设F 为直线l 上的点，以F P C E ,,,为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求F 坐标；若不 能，请说明理由。

题型三 函数与方程思想

函数方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程、方程组或者函数关系，或利用方程函数的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。函数方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例题7： 矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形折叠，使得点B 落在线段CD 的点F 处，则线段BE 的长

为 ．

【解析】四边形ABCD 是矩形，90B D ∴∠=∠=?，

将矩形折叠，使得点B 落在线段CD 的点F 处，

5AF AB ∴==，4AD BC ==，EF BE =，在Rt ADF ?中，由勾股定理，得3DF =． 在矩形ABCD 中，5DC AB ==．2CF DC DF ∴=-=．设EC x =，则4EF x =-． 在Rt CEF ?中，2222(4)x x +=-．解得 1.5x =．4 1.5 2.5BE BC CE ∴=-=-=

例题8： 如图，已知直线2y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k

y x

=

交于E ，F 两点，若2AB EF =，则k 的值是( )

A ．1-

B ．1

C ．

12 D ．34

【解析】作FH x ⊥轴，EC y ⊥轴，FH 与EC 交于D ，如图，

A 点坐标为(2,0)，

B 点坐标为(0,2)，OA OB =，AOB ∴?为等腰直角三角形，

222AB OA ∴==，1

22

EF AB ∴==，DEF ∴?为等腰直角三角形， 2

12

FD DE EF ∴==

=，设F 点横坐标为t ，代入2y x =-+，则纵坐标是2t -+， 则F 的坐标是：(,2)t t -+，E 点坐标为(1,1)t t +-+，

(2)(1)(1)t t t t ∴-+=+-+，解得1t =

，E ∴点坐标为3(，1)，313

k ∴=?=．选D

巩固10： 如图，已知ABC ?中，10AB =，8AC =，6BC =，AB 的垂直平分线分别交AC ，AB 于D ，E ，

连接BD ，则CD 的长为( )

A ．1

B ．

54

C ．

74

D ．

254

【解析】ABC ?中，10AB =，8AC =，6BC =，222AB AC BC ∴=+，ABC ∴?是直角三角形，

AB 的垂直平分线分别交AC ，AB 于D ，E ，AD DB ∴=，

设CD 为x ，8AD DB x ==-，在Rt CDB ?中，222CD BC DB +=，即2226(8)x x +=-， 解得：74x =

，即7

4

CD =，故选：C ．

巩固11：

ABCD 中，点E 在BC 边上，DF AE ⊥于F ，若1EF CE ==，3AB =，则线段AF 长为( )

A ．

B ．4

C D ．

【解析】连接DE ，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90BCD ∠=?，ADE DEC ∴∠=∠，

DF AE ⊥，90DFE ∴∠=?，FE CE =，DE DE =，Rt DFE Rt DCE(HL)∴???， DF DC ∴=，FED DEC ∠=∠，FED ADE ∴∠=∠，AE AD ∴=，BE BC EC AE EC ∴=-=-，

在Rt ABE ?中，设AE 为x ，由勾股定理可得：222AB BE AE +=，即2223(1)x x +-=，解得：5x =， 所以5AE =，514AF AE EF ∴=-=-=，故选：B ．

巩固12： 如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点E 是AD 上一点，把BAE ?沿BE 向矩形内部折叠，

当点A 的对应点1A 恰落在ADC ∠的平分线上时，1DA = ．

【解析】过1A 作MH AD ⊥交AD 于M ，交BC 于H ，作1A N CD ⊥于N ，如图所示：

由折叠的性质得：15A B AB ==，点1A 恰落在ADC ∠的平分线上，1145ADA CDA ∴∠=∠=?， ∴四边形1DMA N 是正方形，11A M A ∴=N ，设11A M A =N x =，则15A H x =-，6BH x =-，

在Rt △1A BH 中，由勾股定理得：222(5)(6)5x x -+-=，解得：2x =，或9x =（舍去），

1DA ∴==

巩固13：

如图，有一个ABC Rt ?，o BAC 90=∠，o ABC 30=∠，1=AB ，将它放在直角坐标系中，使斜

边BC 在轴上，直角顶点A 在反比例函数x

y 3

=

的图像上，求点C 的坐标

【解析】如图，过点作

轴于点， 在

中，

，

，

，点的纵坐标为 点在反比例函数的图像上，

，

，

即点横坐标为

，点横坐标也为

，在中，

，微信公众号：数学三剑客

，

设

，则

，由勾股定理得：

，解得或

（舍去）

，

在轴上，

的坐标为

．

题型四 换元引参思想

换元引参思想是我们在解决很多几何问题和函数问题时惯用的思路，参数可以作为中间量进行过渡，也可以以参数为未知变量，研究其最值及其它性质，是数学思想中重要的一脉；转化与整体思想是数学中研究复杂代数或者几何问题时常用的方法，整体转化思想往往与换元引参思想密不可分，但是初中阶段对思想方法的考察要求不是很高，只需有所简单了解，所以在此我们不做过多深入讲解，掌握思想方法的表现形式即可。

例题9： 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，如果4AE =，3EF =，5AF =，那么正

方形ABCD 的面积等于 ．

【解析】设正方形的边长为x ，BE 的长为a ．

4AE =，3EF =，5AF =

222AE EF AF ∴+=，90AEF ∴∠=?，90AEB BAE AEB CEF ∠+∠=∠+∠=?

BAE CEF ∴∠=∠B C ∠=∠ABE ECF ∴??∽∴

AB AE CE EF =，即4

3

x x a =-解得4x a =①

在Rt ABE ?中，222AB BE AE +=2224x a ∴+=②

将①代入②，可得：a =

正方形ABCD 的面积为：22256

1617

x a ==．

例题10：

在ABC ?中，AB 边上的中线3CD =，6AB =，8BC AC +=，则ABC ?的面积为 ．

【解析】如图，在ABC ?中，CD 是AB 边上的中线，3CD =，6AB =，3AD DB ∴==，

CD AD DB ∴==，12∴∠=∠，34∠=∠，1234180∠+∠+∠+∠=?，1390∴∠+∠=?， ABC ∴?是直角三角形，22236AC BC AB ∴+==，又

8AC BC +=，

22264AC AC BC BC ∴++=，22264()643628AC BC AC BC ∴=-+=-=，

又12ABC S AC BC ?=

，128

722

ABC S ?∴=?=．

巩固14： 如图，ABC ?是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E 、F 分别是AB 、AC 中点．

（1）求证：四边形AEDF 是菱形；

（2）如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S ．

【解析】（1）

AD BC ⊥，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，Rt ABD ∴?中，1

2

DE AB AE ==， Rt ACD ?中，1

2

DF AC AF =

=，又AB AC =，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，

AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，∴四边形AEDF 是菱形；

（2）如图，菱形AEDF 的周长为12，3AE ∴=，设EF x =，AD y =，则7x y +=，

22249x xy y ∴++=，①AD EF ⊥于O ，Rt AOE ∴?中，222AO EO AE +=，

22211()()322y x ∴+=，即22

36x y +=，②把②代入①，可得213xy =，132xy ∴=， ∴菱形AEDF 的面积113

24

S xy =

=

巩固15： 如图，已知AB 为O 的直径，8AB =，点C 和点D 是O 上关于直线AB 对称的两个点，连接

OC 、AC ，且90BOC ∠

交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且GAF GCE ∠=∠． （1）求证：直线CG 为O 的切线；

（2）若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB CH =， ① CBH OBC ??∽；② 求OH HC +的最大值．

【解析】（1）由题意可知：CAB GAF ∠=∠，

AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=?OA OC =，

CAB OCA ∴∠=∠，90OCA OCB ∴∠+∠=?，GAF GCE ∠=∠，

90GCE OCB OCA OCB ∴∠+∠=∠+∠=?，OC 是O 的半径，∴直线CG 是O 的切线

（2）①CB CH =，CBH CHB ∴∠=∠，OB OC =CBH OCB ∴∠=∠，CBH OBC ∴??∽

②由CBH OBC ??∽可知：BC HB

OC BC =

8AB =，2

4BC HB OC HB ∴==，2

4

BC HB ∴=， 2

44

BC OH OB HB ∴=-=-

CB CH =，2

44

BC OH HC BC ∴+=-+，

当90BOC ∠=?，此时42BC =90BOC ∠

令BC x =21

(2)54

OH HC x ∴+=--+当2x =时OH HC ∴+可取得最大值，最大值为5

模块二：数学方法 题型五 等面积法

等面积法是我们解决几何问题时常用的方法，利用面积的关系可以使计算过程事半功倍。 1、等面积法 （1）面积和差型

该类型通过面积之间的和差关系构建恒等式。（微信公众号：数学三剑客） （2）面积算式型

该类型通过对同一图形面积的不同计算方法（以三角形为例，换底和高）构建恒等式。 2、等面积法类型

（1）正常的三角形中：涉及多个高线问题的，可以利用等面积法 （2）菱形中涉及对角线求值，利用：对角线乘积一半高底2

1

=

?列式子求解 （3）其它几何中（选填压轴几何）中，涉面积的结合利用三角形全等进行面积转化

（4）动点问题中，如果动点关系恒定不变的是线线垂直，这个时候可以考虑应用等面积方法求解问题

例题11：

已知：如图，在ABC Rt ?中，090=∠C ，030=∠A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，

3=BC 求ABD ?的面积．

【解法一】在

中，

，，

，

又平分

，，

在中，

，，，由勾股定理得

即

，解得

，

，又

【解法二】

，，

．

【解法三】3=-=???BDC ABC ABD S S S

例题12： 已知：如图，矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 是线段AD

上任意一点，且PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F ，则PE PF +等于( )

A ．

6013

B ．

5013 C ．185

D ．

12

5

【解析】连接PO ，矩形ABCD 的两边5AB =，12BC =，

60ABCD S AB BC ∴=?=矩形，OA OC =，OB OD =，AC BD =，13AC ，

1154AOD ABCD S S ?∴==矩形，113

22

OA OD AC ===，

111113

()()1522222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF ???∴=+=+=+=??+=，

60

13

PE PF ∴+=

，故选：A ．

例题13：

在正方形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，1AB =，连接CE ，作DF CE ⊥于点F ，令CE x =，

DF y =，y 关于x 的函数关系图象大致是( )

A ．

B ．

C ． ．

【解法一】正方形ABCD 中，1AB =，1BC CD ∴==，90ABC ∠=?，//AB CD ，BEC FCD ∴∠=∠，

DF CE ⊥，90CFD EBC ∴∠=∠=?，BCE FDC ∴??∽，∴

CE BC

DC FD

=

，即11x y =， ∴()

211

<<=

x x

y ．由上可知可得出y 与x 的函数图象是一支在第一象限的双曲线．故选：B ． 【解法二】连接DE ，设m BE =，则m AE -=1，由题意：

EC AED ABCD DEC S S S S ???--=,所以：

()m m xy ??--??-=1211121121，x

y 1=

巩固16：

如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于H ，则DH 等于( )

A ．

245

B ．

125

C ．5

D ．4

【解析】四边形ABCD 是菱形，AO OC ∴=，BO OD =，AC BD ⊥，8AC =，6DB =，

4AO ∴=，3OB =，90AOB ∠=?

，由勾股定理得：5AB ==，

12ABCD S AC BD AB DH =??=?菱形，∴18652DH ??=?，24

5

DH ∴=

，选A

巩固17：

如图，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE

的延长线于点F ．若4AC =，6AB =，则四边形ADCF 的面积为( )

A

． B ．24

C ．

6 D ．12

【解析】

//AF BC ，AFB DBF ∴∠=∠，在AEF ?和DEB ?中，AFE DBE

AEF DEB AE DE ∠=∠??

∠=∠??=?

，()AEF DEB AAS ∴???

AF BD ∴=，//AF BC ，AFC ∴?的面积ABD =?的面积，

ADCF 面积ADC =?面积AFC +?面积ADC =?面积ABD +?面积ABC =?面积1

462=??12=，选D

巩固18：

如图，在菱形ABCD 中，

23

AC =，2BD =，DH AB ⊥于点H ，则BH 的长为( )

A ．1

B C ．

23

D

【解析】在菱形ABCD 中，AC =2BD =，12AO CO AC ∴==

1

12

BO DO BD ===， 2AB ∴=，122

DH AC BD ∴?=?，1

2

22DH ?∴=

=，1BH ∴=，选A

巩固19： 如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处．

（1）求证：ABE AGF ???；

（2）连接AC ，若平行四边形ABCD 的面积为8，

2

3

EC BC =，求AC EF 的值．

【解析】（1）证明：在ABCD 中，AB CD =，B D ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，

ABCD 纸片沿EF 折叠，点C 与点A 重合，点D 落在点G 处，

AG CD ∴=，EAG BCD ∠=∠，D G ∠=∠，AB AG ∴=，BAD EAG ∠=∠，B G ∠=∠，

BAD BAE EAF ∠=∠+∠，EAG GAF EAF ∠=∠+∠，BAE GAF ∴∠=∠，

在ABE ?和AGF ?中，B G AB AG BAE GAF ∠=∠??

=??∠=∠?

，()ABE AGF ASA ∴???；

（2）连接CF ，ABE AGF ???，AE AF ∴=，根据翻折的性质EC AE =，EC AE AF ∴==， 又

//AF EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，根据翻折后点A 、C 重合，AC EF ∴⊥，

AECF ∴是菱形，2AC EF ∴=?菱形AECF 的面积，

ABCD 的面积8=，

23EC BC =，AEC ∴?的面积1288233=??=，∴菱形AECF 的面积等于16

3

， 2AC EF ∴=?菱形AECF 的面积32

3

=

．

巩固20： O 为ABC ?的外接圆，D 为OC 与AB 的交点，E 为线段OC 延长线上一点，

且EAC ABC ∠=∠． （1）求证：直线AE 是O 的切线．

（2）若D 为AB 的中点，6CD =，16AB =， ①求O 的半径；②求ABC ?的内心到点O 的距离．

【解析】（1）证明：连接AO ，并延长AO 交O 于点F ，连接CF

AF 是直径90ACF ∴∠=?90F FAC ∴∠+∠=?，F ABC ∠=∠，ABC EAC ∠=∠

EAC F ∴∠=∠90EAC FAC ∴∠+∠=?90EAF ∴∠=?，且AO 是半径∴直线AE 是O 的切线．

（2）① 如图，连接AO ，

D 为AB 的中点，OD 过圆心，OD AB ∴⊥，1

82

AD BD AB ===，222AO AD DO =+，

2228(6)AO AO ∴=+-，253AO ∴=

，O ∴的半径为253

； ② 如图，作CAB ∠的平分线交CD 于点H ，连接BH ，过点H 作HM AC ⊥，HN BC ⊥，

OD AB ⊥，AD BD =AC BC ∴=，且AD BD =CD ∴平分ACB ∠，且AH 平分CAB ∠ ∴点H 是ABC ?的内心，且HM AC ⊥，HN BC ⊥，HD AB ⊥MH NH DH ∴==

在Rt ACD ?中，10AC BC ==， ABC ACH ABH BCH S S S S ????=++，∴

11111661016102222MH DH NH ??=??+??+??，83

DH ∴=， ()OH CO CH CO CD DH =-=--，258

(6)5OH ∴=

--==．