导数易错点剖析
导数易错点剖析
导数是高中数学限选知识中一个重要知识块，应用广泛，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区．
一、错误理解导数定义
例1. 已知函数，求
错解：因为
剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数
函数在某一点处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x
必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是，等。
二、没有准确理解为极值的充要条件
例2. 函数在处有极值10，求a、b的值。
错解：，由题意知，且
即，且,解之得或
剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，为极值的充要条件是
且附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：
当时
在附近两侧的符号相反，
当时，
在附近两侧的符号相同，所以舍去。
∴（时，的图象见下面左图，时，的图象见下面右图。）
三、函数的单调区间不完整
例3. 求函数的单调增区间。
错解：由题意得,
又因为函数的定义域是
所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，）。
剖析：错解错在对函数在处是否连续没有研究，显然函数在处是连续的，所以函数的单调递增区间是。（函数的图象见下图）对于
（或）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。
四、没搞清函数单调的充要条件
例4. 已知函数在内单调递减，求实数a的取值范
围。
错解：，由函数在内单调递减知在内恒成立,即在内恒成立,因此
剖析：错误的主要原因是由于对函数在D上单调递增（或递减）的充要条件是（或）且在D任一子区间上不恒为零没有理解。
而当时在恒成立，所以不符合题意，舍去。
五、求函数的最值时没有考虑函数的不可导点。
例5. 求在上的最大值和最小值。
错解：由题意得
令得
∴当和3时，函数的最大值是
当时，函数的最小值是1
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该
加上：在定义域内不可导的点为：
∴当和3时，函数的最大值是
当或2时，函数的最小值是0
函数的图象如图
六、求函数的极值时没有考虑函数的不可导点
例6. 求在上的极值。
错解：由题意得
令，得
当时，在附近两侧的符号相反，左正右负
∴，是函数的极大值点。
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：
经计算，在附近两侧的符号相反，左负右正
在附近两侧的符号相反，左负右正
和是函数的两个极小值点∴函数的极大值为
极小值为
（函数的图象见上图）
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
导数中的易错题
第20练 导数中的易错题 一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3 的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2 －ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3 －3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1 2009年高考数学专题复习函数、导数部分错题精选 一、选择题： 1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){} 2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2 2、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4] 3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象 2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log 2++=x y D. ()11log 2-+=x y 5、已知函数()()x x f a -=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()() 2 1log x x g a -=的单调 减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ ） A. ??? ??23,2ππ B. ()ππ2, C. ?? ? ??25,23ππ D. ()ππ3,2 导数易错题 1、已知]2,2[,(62)(23-+-=在为常数） m m x x x f 上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 －37 2、若函数a x x x f --=3)(3的最小值为恒成立，则上时，当m n n x f m x -≤≤∈)(]3,0[ 20 3、方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x （改为方程实根的个数为0109623=-+-x x x ） 1个 4、若函数的取值范围为有三个单调区间，则b bx x y +-=33 4 b >0 5、设点P 是曲线3 233+-=x x y 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为 ),[),0[322πππ? 6、已知)0()1(2)(//2f xf x x f ，则+=等于 －4 7、若函数m m m x x x f 则上的最小值为在区间,2]2,1[3)(223-+-=的值为 ； 22- 8、若直线ax x x y x y +-==233是曲线的切线，则 =a ；1或 413 9、函数),3(431 )(23+∞--=在ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围为 ； 23≤ a 10、设曲线11 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = -2 11、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是(,1]-∞- 12、已知函数32 ()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ??? ， 内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增 当2 3a >，()0f x '=求得两根为3a x -±= 函数与导数 经典题与易错题 一、选择题与填空题 1．（山东大学教授自编题）设定义在（0,1）上的四个函数： 1234()2,()ln ,()21,()sin 2x f x f x x f x x f x x π===-=，其中满足性质： “12(0,1),[0,1]x x λ∈对区间中任意的和任意都有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-恒成立” 的有 132234(A)(),()(B)()(C)(),()(D)()f x f x f x f x f x f x 错点分析：不会使用特殊值法，不会判断函数的凹凸性。 2.设() f x = 则 f (－12)＋f (－11)+ f (－10)++ f (0)++ f (11)+ f (12)+ f (13)的值为（ ） A B . C D 错点分析：想不到使用倒序相加法求和 3.若函数y =)1(log 2 +-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( ) A.0 导数经典易错题解析 导数经典易错题解析 1.（2010安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足 2()2(2)88 f x f x x x =--+-，则曲线 () y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A.21y x =- B.y x = C.32y x =- D.23 y x =-+答案 A 解析 由2 ()2(2)88 f x f x x x =--+-得几何 2(2)2()(2)8(2)8 f x f x x x -=--+--， 即2 2()(2)44 f x f x x x --=+-，∴2 ()f x x =∴/ ()2f x x =，∴切 线方程12(1)y x -=-，即210x y --=选A 2（2010江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 y x =和2 15 94 y ax x =+ -都相切，则a 等于 ( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．7 4- 或25 -64 D ．74 -或7 答案 A 解析 设过(1,0)的直线与3 y x =相切于点30 (,)x x ， 所以切线方程为 3 2 3()y x x x x -=- 即2 3 032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则0 x =或0 32 x =- ， 当0 x =时，由0y =与2 15 94y ax x =+ -相切可得25 64a =-， 当0 32 x =- 时，由2727 44 y x =- 与2 15 94 y ax x =+ -相切可得 1 a =-，所以选A . 3（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 （ ） 答案 D 4（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有 ()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ． ()0()0f x g x ''<>， D ． ()0()0f x g x ''<<， 答案 B .5（2007年海南理10）曲线12 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积 为 （ ） A ． 29e 2 Ｂ．2 4e Ｃ．2 2e Ｄ．2 e 答案 D 6.（2007年江苏9）已知二次函数 2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为 （ ） 专题05 导数及其应用 1．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3 －12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4B ．－2C ．4D ．2 答案 D 解析 ∵f (x )＝x 3 －12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2. 2．(2016·课标全国乙)若函数f (x )＝x －1 3sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围 是( ) A ．[－1,1] B.? ?????－1，13 C.???? ??－13，13 D.? ?????－1，－13 答案 C 解析 方法一 (特殊值法)：不妨取a ＝－1， 则f (x )＝x －1 3 sin 2x －sin x ， f ′(x )＝1－2 3cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23 <0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ， B ，D.故选C. 方法二 (综合法)：∵函数f (x )＝x －1 3sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增， ∴f ′(x )＝1－2 3cos 2x ＋a cos x ＝1－23 (2cos 2 x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －5 3在(－∞，＋∞)恒成立． 当cos x ＝0时，恒有0≥－5 3 ，得a ∈R ； 当0 导数经典易错题集锦 一、填空题 1、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线)0(1:31a ax y C 与曲线25 :222y x C 的一个公共点。 若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是__________(白皮P140) 2、设)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x 时，0)()()()(x g x f x g x f 且0)3(g ，则不等式0) ()(x g x f 的解集是______________ (白皮P140) 3、已知二次函数c bx ax x f 2)(的导函数)(x f 满足0)0(f ，若对任意实数x ，有0)(x f ， 则)0() 1(f f 的最小值为__________(白皮P144) 4、已知定义在R 上的函数).3()(2ax x x f 若函数]2,0[),()((x x f x f x g 在0x 处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______________(白皮P146) 5、（13湖北）已知函数f(x)=x(ln x ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________.（白皮P147）6、已知函数2() cos f x x x ，,22x ，则满足0()()3f x f 的0x 的取值范围为．周周练二十一（A ） 7、已知函数 2()x f x e x x ，若对于任意12,[1,1]x x ，12|()()|f x f x k 恒成立，则k 的取值范围为．周周练二十一（A ） 二、解答题 1、设函数2)1() (ax e x x f x （1）若21 a ，求)(x f 的单调区间（2）若当0x 时，0)(x f ，求a 的取值范围(白皮P142) 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 导数中的易错题 一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于 A ， B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OA B 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．14或a <1 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2) D ．(3，2) 7．如果函数f (x )＝13x 3 －x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1) －f (x 2)|≤a 2恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－ 63，63 ] 1.函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 2．设 ，则使成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式的解集是( ) A. (－3,0)∪(3，＋∞) B. (－3,0)∪(0,3) C. (－∞，－3)∪(3，＋∞) D. (－∞，－3)∪(0,3) 4．设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足0a ? f′(x)dx=0的实数a=____. 5．已知函数f(x)=sinx-cosx,且()()2f x f x '=,其中()()f x f x '是的导函数，则 221s i n c o s s i n 2 x x x +-=（ ）A. 195- B. 195 C. 113 D. 113- 6.已知函数 ，则__________. 7. ＝____. 8．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________． 9．已知过点A (1,m )恰能作曲线f (x )=x 3-3x 的两条切线,则m 的值是_____. 10．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则 A. x 1＞－1 B. x 2＜0 C. x 2＞0 D. x 3＞2 11.方程的实根个数是（ ）A.3 B.2 C.1 D.0 12.)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)2(=f ,当0>x 时，有 恒成立，则不等式的解集是（ ） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 2()()0xf x f x x '-<2 ()0x f x > 导数学习常见易错点辨析 导数作为一种工具，在研究函数的变化率，解决函数的单调性、极值等方面的作用是极为等方便。很多学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，致使在应用时常常出错。 一、对相关概念理解不清 1.导数值与导数 “函数f（x）在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”是一个函数，求函数在某点处的导数时一般是先求出函数的导函数，在计算这点的导函数值。 2.极值与最值 （1）“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性。 （2）从个数上看，一个函数在闭区间内最值一定存在且最值是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大。 （3）从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。 二、曲线的切点位置 例1.过曲线y=x3+2x上一点（1，3）的切线方程是_______. 错解：由y′=3x2+2，故y′1x=1=5，所以所求切线方程为y-3=5 （x-1），即5x-y-2=0。 正解：设切线在曲线上的切点为（x0，+2x0），y′1x=x0=3x02+2，切线方程为y--2x0=（3+2）（x+x0），由题意该切线过点（1，3），有3--2x0=（3+2）（1-x0），即（x0-1）2（2x0+1）=0，所以x0=1或x0=-，于是得切线方程为5x-y-2=0或11x-4y+1=0。 评析：利用导数研究曲线的切线时，要注意过a点的切线和a 点处的切线是不同的概念，前者要求切线过a点即可，可能会有多个结果，而后者要求a点为切点，通常只有一个结果。事实上，过某点的切线中，该点不一定是切点；在某点处的切线中，该点则是切点。 三、忽视原函数的定义域 例2.求函数y=的单调区间。 错解：y′=（）′=，令y′>0，则>0，所以x1.故函数y=的单调增区间是（-∞，1］，单调减区间是（1，+∞）。 正解：要使函数有意义，则2x-x2>0，0≤x≤2。所以函数的定义域为［0，2］ y′=（）′=，令y′>0，则>0，所以x1.故函数y=的单调增区间是［0，1］，单调减区间是（1，2］。 评析：利用导数求函数的单调区间时，一定要优先考虑原函数的定义域。 四、满足f′（x0）=0的x0不一定是极值点 例3.函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b 导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2 ()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3f x x π =+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π =- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231 x x y x -=+ (6)221 1()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为22 3s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在 时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若23ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x += -在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。 导数题型总结(解析版) 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值、解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最 值入手：等价于解法二：分离变量法：∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时恒成立变更主元法 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）-22 例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围、（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当 x=3a时，极大值=b、（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数、（9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值 二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解 导数及应用 一、高考预测 从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度． 由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模． 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点． 二、知识导学 要点1：利用导数研究曲线的切线 1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在 点 00(,()) P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。 2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线() y f x =在点 00(,()) P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标 00(,()) P x f x 和切线斜率的条件下，求 得切线方程为 000()() y y f x x x '-=-。注：①当曲线()y f x =在点00(,()) P x f x 处的切线平 行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 0x x =；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 要点2：利用导数研究导数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数 的定义域；（2）求导数)(x f '；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数()y f x =的定义域内解（或证明）不等式)(x f '＞0或)(x f '＜0。②若已知()y f x =的单调性，则转化为不等式)(x f '≥0或)(x f '≤0在单调区间上恒成立问题求解。 要点3：利用导数研究函数的极值与最值 1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3 )(x x f =的导数 23)(x x f ='，在点0=x 处有0)0(='f ，即点0=x 是3 )(x x f =的驻点，但从)(x f 在 ()+∞∞-,上为增函数可知，点0=x 不是 )(x f 的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常 常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在 培优导数专题 1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）= .cos 2sin x x + （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分） 已知.)2()(,02 x e ax x x f a -=≥函数 （Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. 3、已知函数2 1()ln (1)(0).2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠且 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点． 如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2 f -<-。 （1）试求函数()f x 的单调区间； （2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1 ( 4=n n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-； （3）设1 n n b a =- ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）, （1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3331 1 ......31211)1(n k f n k ++++∑ = 都成立； 6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x ∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间； （2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2 1 *+∈+>?N n e n F F F n n函数及导数易错题精选
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