初中数学竞赛专题6：因式分解

专题6：因式分解

第1讲 因式分解

赛题练习

一、选择题

1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+?+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数

D ．不是完全平方数，但是偶数

2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）

3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．整数

4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()

222222a a a a +--+ B.()()

222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--

D.()()

222222a a a a ++-+

5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006

B.2005

C.2004

D.2003

6.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2

B.4

C.9

D.10

7.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <

B.M N >

C.M N =

D.不能确定

8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -

D.21x +

E.21x +

9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数

B.负数

C.零

D.整数

10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8

C.15

D.21

二、填空题

11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．

12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．

14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则

()()2

222a

b xy ab x y +++=________．

15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．

16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()2

2210x y x y +--+=，则()

999

x y +=__________.

18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.

19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()2

2

1ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则

()()2

222a

b xy ab x y +++=___________________.

23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.

24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题

26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．

27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？

28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；

()()()()()()()()()()

4

44444

444476415642364316439643

641164196427643564++++++++++．

29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．

30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．

31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2

2

11100.010.01101001000????

++++- ? ?????

．

32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．

33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．

34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：

()()()()()()()()()()

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

1032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．

35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+?+?+?+?+．问：有多少个正整数是N 的因数？

36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．

37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．

38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.

39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()2

44422()2a b a b a ab b +++=++.

40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.

41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2

221x y xy x y xy +-+-+-.

42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()

42424310x x x x +-+++.

43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005

200720072008-?-+-.

44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.

45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.

46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .

47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)

(142)(362)(582)(7102)(200320062)

?+?+?+?+???+?+?+?+?+?

??+

48.计算：

（1）（第15届希望杯竞赛题）222003400420032002400820032004

2003300520032003200520053005

-?+?-?-?-?+?；

（2）（第九届华杯赛竞赛题）

()()()()()()()()()()

4

44444

4

4

4

4

7

6415642364316439643

641164196427643564++++++++++

49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2

222(1)x x x x ++++；

（4）（昆明市竞赛题）()()()2

4c a b c a b ----；

（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.

50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.

问题解决

例1.分解因式：()()()3

3

3

2332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()

22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.

例3.阅读理解：

观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-

原式()

()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+

原式()

()()()2

22222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.

第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，

把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.

例4.分解因式：326116x x x +++.

例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.

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1.分解因式：

（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：

（1）3222a ab a b +-=______；

（2）()()2

1211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：

（1）323412x x x +--=______； （2）()

()

2

223238x x

x x +-+-=______.

4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.

5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --

B.()2

2x x y --

C.()

2244x xy y x --

D.(

)

2244x xy y x --++

6．()()()(

)()()

6565

6

5323322134x x x x x x x x

x +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.

A.()

()653421x x x -+ B.()

()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+

D.()

()653423x x x --+

7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+

D.()()13x y x y ++--

8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个

B.4个

C.6个

D.8个

9．先阅读以下材料，然后解答问题.

分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可

以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.

10.分解因式：

（1）22463a b a b -+-；

（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()

221212x x x x ++++-； （5）()

2

2223122331x x x x -+-+-； （6）()

()()213512x x x -+++.

思维方法天地

11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()3

3

3

22x y x y -----=______.

13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均

为整数，则a b c ++=______.

14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.

A.()()222222a a a a +--+

B.()()222222a a a a +---

C.()()2

2

2222a

a a a ++-- D.()()2

2

2222a

a a a ++-+

16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006

B.2005

C.2004

D.2003

17．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-

B.2-

C.6-

D.6

18．已知a ，b ，c 是ABC ?的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定

19．分解因式：

（1）224443x x y y --+-；

（2）()()()2

221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.

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20.已知在ABC ?中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.

21.下金蛋的鸡

法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，

z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英

国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！

不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，

3221257+=，4

22165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n

+（即()22

1n

+）都是素

数.

瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5

221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他

的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得

()524

44

2111ab a a b +=++-，可见5

221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一

个，用含a ，b 的式子表示），即5

221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.

第2讲 因式分解的应用

赛题练习

1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）

A.0

B.1

C.1-

D.2004

2.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-

B.12-

C.6

D.4

3.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0

B.1-

C.1

D.3

4.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-

B.1-或7-

C.1

D.1或7

5.（中学生智能通讯赛试题）设()()3223

20042003200420052003200220012002a -?+=?--，()()3223

20052004200520062004200320022003b -?+=

?--，

则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >

B.a b =

C.a b <

D.不能确定

6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224

a a

-的值为（ ） A.3-

B.1

C.3

D.5

7.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2

22

1

11483444

1004A ??

=?+++

?---??

，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18

B.20

C.24

D.25

8.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0

B.1

C.3

D.无穷多

9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+?+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数

D.不是完全平方数，但是偶数

10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1

B.0

C.1-

D.2-

11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正

整数对(),x y 的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.

13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则

()()2

222a

b xy ab x y +++=___________.

14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.

15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.

17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.

18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.

19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.

①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.

20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++?，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.

22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.

24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：

22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，

则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.

26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.

27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536?????+是一个完全平方数.

（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.

28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；

（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；

（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444??????????

+++++ ?????????

??????????

??????????+++++ ?????????

??????????

29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .

30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：

已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.

问题解决

例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3

例3.计算：

（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005

-?+?-?-?-?+?；

（2）()()()()()()()()()()

4

44444

4

4

4

4

7641564236431643964

3

6411

64196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.

例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.

例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.

（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10

B.9

C.7

D.5

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1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.

2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，

边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,

x y x y ?

-=-???+=?那么22

x y -的值为______.

4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个

叙述：

（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；

（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.

5.若实数x ，y ，z 满足()()()2

40x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=

D.20z x y +-=

6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140

B.70

C.55

D.24

7．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确

的结果是（ ）. A.5814

B.5841

C.8415

D.8451

8．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或7

9．计算：

（1）3232

2004220042002200420042005

-?-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444??????????+++++ ?????????

??????????

??????????+++++ ?????????

?

?????????.

10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()2

24222x x x -+=--；

②选取二次项和常数项配方：(

()

2

2424x x x x -+=+

，或

(

(3

2

424x x x x -+=-+；

③选取一次项和常数项配方：2

2242x x x -+=-.

根据上述材料，解决下面的问题.

（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；

（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.

思维方法天地

11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()

2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.

14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+?+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数

D.不是完全平方数，但是偶数

16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅

有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770

B.7775

C.7776

D.7779

17．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3

B.4

C.5

D.6

18．黑板上写有1，

12，…，1100

共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012

B.101

C.100

D.99

19．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.

20.计算：

()()()()()()()()()()

4

2424242424

2

4

2

4

2

4

2

4

2

221441661888101013315

517

719

9111

111++++++++++++++++++++.

应用探究乐园

21.当我们看到下面这个数学算式3333

3713371350

3724613724

++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333

a b a b

c d c d

++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：

333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107

103

103++=

++，…，你能发现以上等式的规律吗？

22.按下面规则扩充新数：

已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则

又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.