高中数学必修五解三角形知识点归纳

解三角形

一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C +=

cos()cos ,A B C +=-

tan()tan ,A B C +=-

(2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C

+++===

(3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：

2sin sin sin a b c

R C

===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径）

正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②化边为角：sin 2a

R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=；

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C ++===A +B +A B ．

两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理：

222

2cos a b c bc =+-A

222

2cos b a c ac =+-B

222

2cos c a b ab C =+-．

注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：

222

cos 2b c a bc

+-A =

222

cos 2a c b

ac

+-B =

2

2

2

cos 2a b c

C ab

+-=

． ①若2

22

a

b c

+=，则90

C =； ②若2

2

2a b c +>，则90

C

<；

③若2

22

a b c +<，则90C >．

余弦定理主要解决的问题：

（1）.已知两边和夹角求其余的量。

（2）.已知三边求其余的量。

注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

四、三角形面积公式：

等差数列

一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 二．符号表示:1n n a a d +-=（n>=1）

三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法： (1)

),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- （可用来证明）

(2)

211-++=n n n a a a (2≥n )（可用来证明） (3)b kn a n +=(k n ,为常数)

(4)12n n s a a a =+++是一个关于n 的2次式且无常数项 四.等差中项

a ，A ，

b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中

项．若2a c

b +=，则称b 为a 与

c 的等差中项．

五.通项公式:

()11n a a n d =+-(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)

通项公式的推广：

()n m a a n m d =+-； n m

a a d n m -=

-．

六.等差数列的前n 项和的公式：

①()12

n n n a a S +=(注意利用性质特别是下标为奇数) ②()112

n n n S na d -=+

(是一个关于n 的2次式且

无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质:

(1)若m n p q +=+则

m n p q a a a a +=+； (2)若2n p q =

+则2n p q a a a =+．

(3) (4)

且公差为原公差的

成等差数列,}S {n n

(5)①若项数为(

)

*

2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，

且S S nd -=偶奇，1n

n S a S a +=奇偶

．

②若项数为()*

21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且

n S S a -=奇偶

，1

S n

S n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 成等差数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --

（6）若等差数列{ an} {bn}的前n 项和为

,n n

S T 则

八．等差数列前n 项和的最值

(1)利用二次函数的思想:n d

a n d S n )2(212-+=

(2)找到通项的正负分界线 ①若 则 有最大值，当n=k 时取到的 最大值k 满足 ②若 则

有最大值，当n=k 时取到的最大

值k 满足

⎩⎨⎧<>0

01d a n s

⎩⎨⎧≤≥+0

1

k k a a ⎩⎨

⎧><001d a ⎩⎨

⎧≥≤+0

1k k a a n s

1

212--=n n n n T S b a

等比数列

一．定义、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

二．符号表示：1

n n

a q a +=

注：①等比数列中不会出现值为0的项；

②奇数项同号，偶数项同号 （３）合比性质的运用

三．数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n （可用来证明）

②112

-+⋅=n n n a a a (2≥n )（可用来证明）

③

n

n cq a =(q c ,为非零常数).（指数式） ④从前n 项和的形式（只用来判断）

四.等比中项:

在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2

G ab =，

则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ⇒2

G ab

=）

五.等比数列的通项公式：1

1n n a a q

-=．

通项公式的变形： (1) n m

n m a a q

-=；

(2)

n m

n m a q

a -=

．(注意合比性质的利用)

六．前n 项和的公式：

①()()()11111111n n n na q S a q a a q

q q

q =⎧⎪

=-⎨-=≠⎪

--⎩． ②

12n n s a a a =+++=A+B*q n ,则A+B=0

七．等比数列性质: (1)若m n p q +=

+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；

(2)若2n p q =+ 则

2

n

p q a a a =⋅． (3)

成等比数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --

通项公式的求法: (1).归纳猜想

(2).对任意的数列{n

a }的前n 项和n

S 与通项n

a 的关

系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n

检验第②式满不满足第①式，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式 (3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法:

3、迭乘法:

4、构造法:

5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式

6.如果是分式时可用取倒数 (4)同时有和与通项有两种方向 一种:

当n 大于等于2,再写一式,两式相减,可以消去前n 项和 二种:消去通项

1()n n a a f n +-=1

()n n

a f n a +=1n n a qa p

+=+

数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{ n

a }是各项不

为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。(分式且分母能分解成一次式的乘积)

3.错位相减法:适用于{}n

n b a 其中{ n

a }是等差数

列，{}n

b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.

5.常用结论

（1）: 1+2+3+...+n = 2)

1(+n n （2） 1+3+5+...+(2n-1) =2

n

（3）2

3

3

3

)1(2121⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+++n n n （４）)12)(1(61

3212

2

2

2

++=++++n n n n ;

（5)11

1)1(1+-=+n n n n

不等式

一、不等式的主要性质： （1）对称性：

a

b b a <⇔>

（2）传递性：c a c b b a >⇒>>, （3）加法法则：c b c a b a +>+⇒>；

（4）同向不等式加法法则：d b c a d c b a +>+⇒>>, （5）乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0, （6）同向不等式乘法法则：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 （7）乘方法则：)

1*(0>∈>⇒>>n N n b a

b a n n

且

（8）开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n

n

且

（9）倒数法则：b a ab b a 1

10,<⇒>> 二、一元二次不等式0

2

>++c bx ax 和)

0(02

≠<++a c bx ax

及

其解法 0>∆

0=∆

0<∆

二次函

数

c

bx ax y ++=2

（0>a ）的图象 )

)((212x x x x a c bx ax y --=++=

)

)((212x x x x a c bx ax y --=++=

c

bx ax y ++=2

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无

实根

()的根

00

2>=++a c bx ax

)

(,2121x x x x <

a

b x x 221-

==

的解集)0(02>>++a c bx ax {}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬

⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}

21

x x x

x << ∅ ∅

三．含有参数的二次不等式的解法: (1) 二次项系数(正负零) (2) 根

一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。 二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论(3)画图写解集 四、线性规划

1.在平面直角坐标系中，直线0x y C A +B +=同侧的点代入后符号相同，异侧的点相反

2.由A 的符号来确定：先把x 的系数A 化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则0x y C A +B +>所表示的区域为直线:0x y C A +B +=的右边部分。 ②若是“<”号，则0x y C A +B +<所表示的区域为直线 0x y C A +B +=的左边部分。

注意：

)0(0<>++或C By Ax 不包括边界；

)0(0≤≥++C By Ax 包括边界

3.求解线性线性规划问题的步骤 (1)画出可行域(注意实虚)

(2)将目标函数化为直线的斜截式

(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若为负则上小下大

4.非线性问题:

(1)看到比式想斜率 （2）看到平方之和想距离

四、均值不等式

1、设a 、b 是两个正数，则2a b

+称为正数a 、b 的

算术平均数(等差中项)，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．(等比中项)

2、基本不等式（也称均值不等式）： 如果a,b 是正数，那么

).

""(22号时取当且仅当即==≥+≥+b a ab b

a a

b b a 注意：

使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：（a 、b 为正数），即

b

a a

b b a b a 112

2

222+≥

≥+≥+（当a = b 时取等）

4、常用的基本不等式：

①()22

2,a b ab a b R +≥∈；②()22,2

a b ab a b R +≤∈； ③()2

0,02a b ab a b +⎛⎫

≤>> ⎪⎝⎭

；④()2

2

2,22a b a b a b R ++⎛⎫

≥∈ ⎪⎝⎭

．

5、极值定理：设x 、y 都为正数，则有： ⑴若x y s +

=（和为定值），则当x y =时，

积xy 取得最大值2

4s ．

⑵若

xy p =（积为定值），则当x y =时，

和x y +取得最小值2p ． 五、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ；

代数意义：⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=0

a 0 00 ||a a a a a 2、

则不等式：

如果,0>a

(1) a x a x a x -<><=>>或||

；

(2)a x a x a

x -≤≥<=>≥或||

(3) a

x a a

x <<-<=><|| ；

(4) a x a a

x ≤≤-<=>≤||

注意:上式中的x 可换成f(x)

3、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对

值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 、其他常见不等式形式总结：

式不等式的解法：移项通分,化分为整

0)()(0)

()

(>⇔>x g x f x g x f ；

⎩⎨⎧≠≥⇔≥0

)(0)()(0)()

(x g x g x f x g x f ②指数不等式：

)()()1()()(x g x f a a a x g x f >⇔>>

)()()10()()(x g x f a a a x g x f <⇔<<>

③对数不等式：

⎪⎩

⎪

⎨⎧>>>⇔>>)()(0

)(0

)()1)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a

⎪⎩

⎪

⎨⎧<>>⇔<<>)()(0

)(0)()10)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ④高次不等式：数轴穿线法口诀: “从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于取下边，大于取上边”