多元函数积分学39918

第十章 重 积 分

第一节 二重积分的概念与性质

习题A

一．填空与选择

1．比较()2

1D

I x y d σ=+??，()3

2D

I x y d σ=+??大小

(1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上

(2) 若D 由22

(2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上

2．设??=I D

d y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D

上该积分的估计值为 ．

3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，2

1

=

+y x ，1=+y x 围成，若 ()7

1ln D

I x y dxdy =+??????，()7

2D

I x y dxdy =+??，()7

3sin D

I x y dxdy =+?

????? 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ．

（A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<．

二． 设),(y x f 在闭区域2

2

22:1x y

D a b +≤上连续，求证：00

(,)lim

(0,0)D

a b f x y d f ab

σ

π++

→→=??

习题B 判断

??≤+≤+1

22

)ln(y x r dxdy y x

的符号.

第二节 二重积分的计算法

（一）利用直角坐标计算二重积分

习题A

一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10

=??

y y

dx y x f dy

2

．交换积分次序222220

2

(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=??

?

?

若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________2

2

2

=??-x

y dy e dx

，1

0sin y

x dy dx x

?___________=． 4．交换二次积分??10

x

x

2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )．

(A)

??

10

y

y 2

dy f(x,y)dx (B)

??

1

y y

2dy f(x,y)dx

(C) ??10

x x

2dy f(x,y)dx (D) ??1

y y

2

dx f(x,y)dy

二．化二重积分(,)D

I f x y dxdy =??为累次积分（按两种不同的积分次序），其中

积分区域D 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x =>围成．并计算2

2,D

x dxdy y ??

三．计算下列二重积分

1． cos()D

x x y dxdy +??，其中D 是顶点分别为()0,0，(),0π和(),ππ的三

角形闭区域．

2． 2,2.D

ydxdy D y x y x ==-??计算其中是由抛物线及直线所围成的区域

3．??+D

y x dxdy e ，其中D 是由||||1x y +≤所确定的闭区域．

四．计算????+y

y

x

y y

x

y dx e dy dx e dy 12

12

1214

1．

五．求三个坐标平面与平面1x =，1y =，236x y z ++=围成的立体Ω的体积． 六．计算,)1(dxdy xy I D

??+= 其中.44:22≤+y x D

七．计算,||2??-D

dxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x

习题B 一．设D 是xOy 平面上以()11，．()11，-．()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()??+D

dxdy y x xy sin cos 等于（ ）

． （A ）??1

sin cos 2D ydxdy x ； （B ）??1

2D xydxdy ；

（C ）()??+1

sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）0．

二．若函数),(y x f 在矩形区域1010≤≤≤≤y x D ，：上连续，且

()1,),(2

-=???

?

????y x f dxdy y x f xy D ，则=),(y x f ________________． 三．计算二重积分：2

y D

e d σ??其中D 是第一象限中由直线y x =

和曲线y =所

围成的闭区域．

四．利用二重积分证明：

若)(x f 在],[b a 上可积，则有??-≤??

? ??b

a b a dx x f a b dx x f )()()(22

五．求??++D

d y x yf x ，σ)](1[22其中D 由x y =及1,1=-=y x 所围成，且f 连续．

（二）利用极坐标计算二重积分 习题A 一．填空

1．__________)()()

(0

40

2

122

1

2?

???==+-ρθπ

d d dy y x dx x

x

2．?

?

?

?=)()

(

)

(

)

(

1

)(),(2ρθd d dy y x f dx x

3．把积分??D

dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是由曲线22x a y -=，2x ax y -=及x y -=所围成的闭区域()0>a ； ________________________________________________________ 二．利用极坐标计算：

1．D

??，其中D 是圆环形闭区域：22224ππ≤+≤y x ；

2．dxdy x y

D

??arctan ，其中D 是由122=+y x ，422=+y x 及0=x ，x y =所围成

的闭区域的第一象限部分．

3．,D

其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域．

4． 求二重积分??D

dxdy x ，其中x y x D ≤+22:

三．计算??

++D

dxdy y x y x 2

222)

sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆

环域. 习题B

一．求??++D

dxdy y x 2)1(,其中D 为422≤+y x ．

二．求??+D

dxdy b

y a x ,)(

2

其中D 为222a y x ≤+． 三．计算二重积分()??+D

dxdy y x ，其中x y x D 222≤+：．

第三节 三重积分

习题A

一．填空与选择

1．化(,,)I f x y z dxdydz Ω

=???为三次积分，其中积分区域Ω分别是：

(1) 由双曲抛物面z xy =及平面01=-+y x ，0=z 所围成的闭区域： ____________________________ (2) 由曲面22222x z y x z -=+=，所围成的闭区域：_______________ 2．已知)(z f 为连续函数，空间闭区域Ω由z y x ≤+22及21≤≤z 所确定 则???Ω

dv z f )(＝（ ）

（A ）?21

2)(dz z f z π （B ）?21

2)(2dz z f z π （C ）?21

)(2dz z f π （D ）?2

1

)(dz z zf π

3．设22()I f x y dxdydz Ω

=+???，其中Ω是曲面z =和z =围成

的空间区域．

（1）将三重积分I 化为球坐标系下的三次积分（不作计算）_______________

（2）将三重积分I 化为柱坐标系下的三次积分_______________

二．计算3

(1)dxdydz

I x y z Ω

=+++???，其中Ω是由平面0x =，0y =，0z =，x y +1=+z 所围成的空间域．

三．计算

???

Ω

dxdydz z ，其中Ω是由锥面z =与平面)0,0(>>=h R h z 所围成的闭区域．

四．计算xzdxdydz Ω

???，其中Ω由平面0=z ，1=y ，y z =以及抛物柱面2

y x =所围成的闭区域．

五．利用柱面坐标计算下列三重积分．

1．求dV y x ???+Ω

22,其中Ω是由平面曲线???=-=042

x y

z 绕z 轴旋转而成的抛物面

与xoy 面所围成的空间闭区域．

2．计算三重积分()???Ω

++dv z y x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及4=z 所围成

的空间区域．

六．利用球坐标计算三重积分． 1．???

Ω

++dxdydz z y x 222，其中Ω是由球面2222x y z ++=所围成的闭区域．

2．,???Ω

dxdydz z 其中Ω由不等式2222)(a a z y x ≤-++，)0(222>≤+a z y x 所

确定． 习题B

一．选用适当的坐标系计算下列三重积分．

1．???Ω

dxdydz xyz ，其中Ω是由226y x z --=，22y x z +=所围成闭区域．

2．

dxdydz z y x z ???

Ω

++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，

)(322y x z +≥所确定．

3．???Ω

dxdydz z 2其中Ω是2222x y z R ++≤ ，)

0(22

22>≤++R Rz z y x 的公

共部分．

4．计算三重积分

()???

Ω

+d x d y d z z x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及

221y x z --=所围成的空间区域．

二．dxdydz y x z ???Ω

+22，其中Ω由曲面y =，0z =，)0(>=a a

z ，

0=y 所围成的闭区域．

三．曲面22z z x y ==+所围成立体的体积．

四．计算dxdydz z y x ???Ω

++2)(, 其中Ω是由抛物面22y x z +=和球面2

222=++z y x 所围成的空间闭区域.

第四节 重积分的应用

习题A

一．占有区域为D 平面薄片对于直线0:=++c by ax L 的转动惯量的公式为

_________________．

二．求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积．

三．求平面1x y z

a b c

++=被三坐标面所割出的有限部分的面积．

四．求由θcos 2=r 与θcos 16=r 所围均匀薄片的形心．

五．求密度为222),,(z y x z y x ++=ρ．球心在原点半径为3的上半球体的质心及对于任一直径边的转动惯量．

测 试 题

一 选择与填空（每题4分，共40分）

1．????+=+=D

D

dxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(22≤-+-y x D ：

的大小 关系为:（ ）

(A) 21I I = (B) 21I I > (C) 21I I < (D) 无法判断

2．dv z y x f r r ???+→Ω

π),,(1

lim 30=（ ），2222)()()(:r c z b y a x ≤-+-+-为其中Ω，且),,(z y x f 在Ω上连续．

(A) ),,(c b a f (B) 3),,(4c b a f π (C) 3)

,,(4c b a f (D) ),,(c b a f π

3．区域??

?≤≤≤≤???≤≤≤≤+=24

2,21,2121y x x D x y x x D D D D ：：,按Y 型区域应为（ ） (A) ???≤≤≤≤2

2

1y x y y (B) ???≤≤≤≤y x y y 21 (C) ???≤≤≤≤221x y x x (D) ???≤≤≤≤x y x x 21 4．已知,1,0,0:,1:1≤+≥≥≤+y x y x D y x D ??+=D

d y x I ，σ)(

??+=1

)(D d y x J σ，则（ ）

(A) J I = (B) J I 2= (C) J I 3= (D) J I 4=

5．已知Ω为z z y x 2222≤++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(22=+???

dv z y x Ω

(B) 0)(2

2=+???

dv z x y Ω

(C)

0)(2

2=+???

dv y x z Ω

(D) 0)(2

=+???

dv z y x Ω

6．设),(y x f 连续,且??+=D

dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02===x x y y 所围

成,则)(),(=y x f

(A) xy (B) xy 2 (C) 1+xy (D) 8

1

+xy

7．?

?--2222

1

),(x x x

dy y x f dx 在Y 型区域下的二次积分为_______________． 8．将?

?+x x

dy y x f dx 32220

)(转换为极坐标形式下的二次积分______________．

9．223[1()]___,1,1D

x yf x y d D y x x y σ++===-=??其中由,所围成，且f 连续． 10．_____________)(220

2220=+?

?-x ax a

dy y x dx ．

三．完成下列各题（1—4题7分，5—8题8分，共60分）

1．求??++D

dxdy y y x )(22,其中D 为422≤+y x 与0222≥++x y x 的公共部分．

2．计算二重积分{

}??-D

y x d e σ2

2,max ,其中??

?≤≤≤≤1010y x D ： ． 3． 求由θsin 2=r 与θsin 4=r 所围均匀薄片的形心．

4 ．求dv y ???Ω

2，其中Ω为由曲面y z y x 2222=++及y z x =+22所围成的空间

闭区域．

5．求由曲面z z y x =++2222)(所围立体的体积． 6．已知)(t f 为可导函数,且4)0(,0)0(/==f f ,求极限

dv z y x f t t ???+++→Ωπ)(1

lim 22240,其中Ω： 2222t z y x ≤++ 7．计算二重积分??++≤++D

y x y x D d y x 1:)(22，其中σ

8．计算二重积分[]

,122??++D

d y x xy σ 2:22≤+y x D 其中,[]x 表示x 的整数部分，

且.0,0≥≥y x

考 研 真 题

1．（00数一）设有一半径为R 的球体，0P 是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0k >），求球体重心位置． 2．（02数一）计算2

2max(,)

x

y D

e dxdy ??，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．

3．（03数一）设函数()f x 连续且恒大于零，

2

2222()()

2

2

2

()

()()(),()()()t D t t

t

D t f x

y z dv

f x y d F t G t f x y d f x dx

σ

σ

Ω-+++=

=

+?????

??

?

其中2222222(){(,,)},(){(,)}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤，

(1) 讨论()F t 在区间(0,)+∞内的单调性；

(2) 证明当0t >时，2

()()F t G t π

>．

4．（04数一）设()f x 为连续函数，dx x f dy t F t

y

t )()(1

??=，则(2)F '等于（ ）

(A) 2(2)f ；(B) (2)f ； (C) (2)f -； (D) 0．

5．（04数二）设函数()f u 连续，区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，则()D

f xy dxdy ??等

于（ ）

(A) 1

1()dx f xy dy -?；

(B) 2

2()dy f xy dx ?；

(C) 2sin 2

(sin cos )d f r dr π

θ

θθθ??

； (D) 2sin 20

(sin cos )d f r rdr πθ

θθθ??

．

6．（05

数一）设22{(,)0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，22[1]x y ++表示不超过

221x y ++的最大整数，计算二重积分22[1]D

xy x y dxdy ++??．

7．（05数二）设区域22{(,)4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=+

+??

dxdy y f x f y f b x f a D

)

()()()(（ ）

(A) ab π；(B)

2ab π； (C) ()a b π+； (D) 2

a b

π+． 8．（05数二）计算二重积分221D

x y d σ+-??，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．

9．（06数一二）设(,)f x y 为连续函数，则1

4

(sin ,cos )d f r r rdr π

θθθ??等于（ ）

(A) 0

(,)x f x y dy ；

(B) 0

0(,)f x y dy ；

(C) 0

(,)y

f x y dx ；

(D) 0

(,)f x y dx ．

10．（06数一二）设区域22{(,)1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分

22

11D

xy

I dxdy x y

+=++??

． 11．（07数二）设二元函数

2,

1(,)12

x x y f x y x y ?+≤?

=<+≤，

计算二重积分(,)D

f x y d σ??，其中}2:),{(≤+=y x y x D ． 12.（08数二）设函数)(u f 连续，dxdy (),(D

2222??

++=y

x y x f v u F ）

，其中D 由园122=+y x ，）（12

22>=+u u y x ，x 轴及直线v x y tan =所围成的第一象限部分，

则

=??u

F

（ ）

（A ）)(2u vf （B ）

)(2u f u v （C ）)(u vf （D ）)(u f u

v

13.（08数二）求二重积分{}dxdy 1,max D

??xy ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D ． 第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

习题A

一．填空与选择

1．设椭圆L ：13

42

2=+y x 的周长为l ，则?=+L ds y x 2)23(（ ）．

(A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12

2．设L 为下半圆周21x y --=，则_______)(222=+?ds y x L

n ．

3．____________=?ds x L

,其中L 为x y =与2x y =所围区域的整个边界曲线．

二．计算ds x L

?2,其中L 为圆周：422=+y x ．

三．计算

,)(22ds y x L

?

+其中L 为曲线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=

)20(π≤≤t ． 习题B

一．已知曲线L 的极坐标方程为(0)2

r π

θθ=≤≤

，L 上任意一点处的线密度为

()ρθ=

二．计算（1）,2

ds z L ?（2）ds y x L

?+)(,其中L 为圆周：???=++=++0

4

222z y x z y x ．

第二节 对坐标的曲线积分

习题A 一．计算?

+--+L y

x dy

y x dx y x 22)()(，其中L 为222a y x =+（按逆时针方向绕行）． 二．计算2

2

sin cos y x L

e xdx e ydy +?，式中L 是从点(0,0)O 经点(0,1)A 到点(1,1)B 的

折线段．

三．计算dy y x dx y x L

)()(2222-++?

，其中L 为曲线x y --=11上由点0=x 到

点2=x 的部分．

四．计算Γ-+++?Γ

,)1(dz y x ydy xdx 为点)4,3,2(A 至点)1,1,1(B 的空间有向线段.

五．求质点在力j xy i x F

-=2的作用下沿着曲线L t y t x sin ,cos ==从点)0,1(A 移动到点)1,0(B 时所作的功. 习题B

一．计算dy x dx y a L

+-?

)2(，其中L 为摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上对

应t 从0到π2的一段弧．

二．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ,使沿该曲线从点O 到点A 的积分dy y x dx y L

)2()1(3+++?的值最小．

三．计算?Γ

+-ydz dy dx ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里的A ，B ，C 依次

为点()0,0,1，()0,1,0及()1,0,0

第三节 格林公式及其应用

习题A

一．填空与选择

1．设L 为36942

2

=+y x ，则→

→

→-+-=j x x i y xy F )4()22(2

按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________ 2．___________=-?L

ydx xdy ，其中100:22=+y x L 的顺时针方向．

3．已知存在),(y x u 使dy y xy y x dx y xy x du )33()35(222324+-+-+=,则),(y x u ________________= 4．设曲线积分?+L

dy x yf dx xy )(2与路径无关，)(x f 具有连续导数，且0)0(=f ，

则______)(=x f

5．设dy y

x b

y x dx y x y ax 2

222

++--++为某一函数),(y x u 的全微分，则_____),(=b a 6．设G 为一单连通开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导，命题

?=+L

Qdy Pdx a 0:，其中L 为G 内任一条分段光滑闭曲线，命题:b 在G 内

P Q y x

??=??处处成立 ，命题:c Qdy Pdx +为某一二元函数的全微分．则命题c b a ,,满足（ ）

（A ）c b a ?? （B ）c b a ?? （C ）c b a ?? （D ）c b a ??

7

可微，则应满足的微分方程是

_____________________．

二、设L 是由12

==y x y 及所围成的区域D 的正向边界

求?+++L

24233)()dy y x x dx y x xy （．

三．求??-+-AO

x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中ABO 为由点)0,(a A 到点)

0,0(O 的上半圆周ax y x =+22．

四、计算dy y x dx xy x L

)()2(422+++?,其中L 是2

sin

x

y π=上从点()0,0到点)

1,1(的一段弧．

五、证明：dy y x x y dx x y y x )sin cos 2()sin cos 2(22-+-为某一个二元函数),(y x u 的全微分，并求出一个这样的函数),(y x u ． 六、确定λ的值,使曲线积分

dy y y x dx xy x B A

)56()4(42134-++-?

λ与路径无关，并

求当点A 、B 分别为)0,0(、)2,1(时曲线积分的值． 习题B 一、计算?

-+-=

L

x x dy y y e dx y e I )(sin )cos 1(,其中L 为从()0,0O 到()0,πA 的正

弦曲线x y sin = ．

二． 计算,sin 3)3(32

dy y y x dx xe y x L x

???

? ??-++? 其中L 为沿摆线???-=-=t y t

t x cos 1sin 从O (0, 0)到)2,(πA 的一段

三．设曲线积分?+L

dy x y dx xy )(2?与路径无关, 其中?具有连续的导数, 且,

0)0(=?计算.)()

1,1()0,0(2?+dy x y dx xy ? 五．计算曲线积分,22?

+-L y

x ydx

xdy （1）L 是圆周1)1()1(22=-+-y x 的正向； （2）L 是曲线1=+y x 的正向．

六．设满足积分

0)()]([ln /L

/

=+-?dy x f dx x

y x f x ，其中

在二阶连续导数，0)1()1(='=f f 半平面

七．已知dx x y dy y x x L )(2

3

]2)([22??+-?在全平面上与路径无关，其中)(x ?具有

一阶连续导数，并且L 是起点为()0,0，终点()1,1为的有向曲线时，该曲线积分

值等于4

1

，试求函数)(x ?.

九． 设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有,),(2),(2)

,1()

0,0()

1,()

0,0(?

?+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx 求).,(y x Q

第四节 对面积的曲面积分

习题A

一．计算4(2)3z x y dS ∑

++

??，其中∑为平面14

32=++z

y x 在第一卦限的部分．

二．计算dS y x ??∑

+)(22，其中∑是锥面z 及平面1=z 所围成的区域的

整个边界曲面．

三．计算,)(??∑

++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部

分.

四．计算下列积分，其中∑为球面2222a z y x =++． 1．dS z ??∑

2

2．dS z y x ??∑

++2)(

习题B

一．计算??∑

++dS z y x z

22

24，其中∑是椭球面22222=++z y x 的上半部分． 二．设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).

第五节 对坐标的曲面积分

习题A

一．取曲面∑：2222a z y x =++的内侧，将曲面积分zdxdy ydzdx dydz x ++??∑

转

化成对面积的曲面积分____________________,其值为__________ 二．计算

??

∑

++dy dx z dx dz y dz dy x 222，其中∑为222y x a z --=的上侧．

三．计算yzdzdx dydz xy xzdxdy ++??∑

，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，

y x ++1=z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．

四．计算222x dy dz y dz dx z dx dy ∑

++??，其中∑是过()0,0,1A ，()0,1,0B ，

()1,0,0C 三点的平面位于第一卦限的部分，取上侧． 习题B

一．利用两类曲面积分的关系计算

??∑

++3r zdxdy

ydzdx xdydz ，其中222z y x r ++=，∑为上半球面222y x R z --=下侧．

二．当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分??∑

dxdy z y x f ),,(与二重积分有什

么关系?

第六节 高斯公式 通量与散度

习题A

一．填空与选择

1．设∑由分片光滑的所围成闭曲面的外侧，则∑所围的体积V ＝（ ）

（A ）??∑++xdxdy zdzdx ydydz 31 （B ）??∑++zdxdy ydzdx xdydz 31

（C ）??∑++ydxdy xdzdx zdydz 31 （D ）??∑++ydxdy zdzdx xdydz 31

2．已知∑为向量场中一张有向闭曲面的内侧，则???∑

=Ω

???　_____dv ．

3．向量场j xy x i y y x )()(A 2

33

2

-++=→

的散度为___________

二．计算??∑

-dx dz zx y )(2，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，

a z =所围成的立体的表面的外侧．

三．计算??∑

+dy dx yz dz dy xz 24，其中∑是球面2

222a z y x =++外侧的上半部

分)0(>a ．

四．设有向量场k z j y i x A 333++=及闭曲面∑ ：2

222a z y x =++，求从

内穿出∑的通量．

五．计算??∑

++dy dx xy dx dz z x )(22，其中∑为曲面224x z y +=-在平面xoz 右

侧部分的外侧．

六．设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，又设Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V ，证明：

??=++-∑

V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222

．

习题B

一．计算曲面积分()()

??∑

-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面

122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．

二．求??∑

++zdxdy ydzdx xdydz 之值，式中∑为介于平面1=z 与5=z 之间的那一

部分圆柱面

122=+y x 的外侧． 三．利用高斯公式计算,)()()(222??+

-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x 其中+S 为球

2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.

四．求向量场k z j y i x r

++=的流量

(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

习题A 一．填空

1．向量场→

→

→

+++=k z x j ye i xy A z )1ln(22在点)0,1,1(P 的散度与旋度

_____=→

A div ，rot ________________=A

2．div grad =++-)2,2,1(222)(z y x __________________

二．计算曲线积分?Γ

++dz x dy z dx y 222，其中Γ为球面1222=++z y x 与柱面

x y x =+22 ()0≥z 的交线，从x 轴的正向看去为逆时针方向．

三设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ，div(grad u )，rot(grad u )． 习题B

计算2

2

2

()()()AB

I x yz dx y zx dy z xy dz ?=-+-+-?，其中?

AB 为螺线φc os =x ，

y =φsin ，φ=z 上从点()0,0,1到点()π2,0,1的弧段．

测 试 题

一 ．选择填空（每题3分,共15分）

1． 已知曲面∑的方程为2222a z y x =++，则dS z y x ??∑

++)(222＝（ ）

(A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 4

6a π 2． 已知2

)

()(y x j

y i ay x A +++=

→

→

→

为某一二元函数的梯度，则=a （ ） (A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

3． 已知4:,4:,222222222=++≤++++=z y x z y x z y x r ∑Ω,

??

?=++=++0

4

:222z y x z y x Γ,且)(r f 连续，那么下列等式错误的是（ ）， （A ）()(2)f r dV f dV Ω

Ω

=??????

（B ）dS f dS r f ????∑

∑

=)2()(

（C ）ds f ds r f ??Γ

Γ

=)2()(

（D ）??

∑

++3

r

zdxdy ydzdx xdydz ＝??∑++zdxdy ydzdx xdydz 81

4．已知∑为z z y x 2222=++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(2

2=+??∑

dS z y x (B) 0)(2

2=+??∑

dS z x y (C)

0)(22

=+??∑

dS y x

z (D)

0)(2

=+??∑

dS z

y x

5．设曲线L 是任意不经过0=y 的区域D 内的曲线，为使曲线积分

()()

?+-+L

a

a dy y x y x dx y x y x 222222与路径无关，则=a （ ）． （A ）2

1

-； （B ）31-； （C ）25； （D ）23．

二 ．填空（每题3分,共15分）

1．_____2

=?-dy e

L

x ,其中L 为305322=+y x 的逆时针方向．

2．div grad =++)(ln 222z y x __________________

3．设L 为椭圆42

2

=+y ax ，则→

→→-++=j y x i y x F )7()43(按L 的顺时针方向运动

一周所作的功为π6,则______=a

4．设E 为位于原点处的点电荷所产生的静电场，∑为介于1=z 到2=z 之间的圆锥面222y x z +=的下侧，那么，穿过∑的电通量为______________． 5．已知),,(z y x f u =具有二阶连续偏导，那么grad rot (_______)=u 三 ．完成下列各题（每题6分,共30分）

1．22

,:1,1L xdx ydy

L x y x y +≤≤+?边界的逆时针方向； 2． 求半径为R 均匀球壳（)1=ρ对于球心的转动惯量．

3．求??+++++∑

dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,(3[]),,(2[]),,([，其中∑为

3=-+z y x 在第Ⅴ卦限的下侧．

4．计算积分?

+L

ds y x 22，x y x L 2:22=+．

5．计算dy y x y xy dx y x y x e L x 2

22

2222cos 2

+-++-?-，其中L

为圆周222a y x =+的顺时针方

向．

四．完成下列各题（每题10分,共40分） 1．已知)('x Φ连续，且()()010=Φ=Φ，计算

?

?

-Φ=

AMB

x e y I )([+dx y ] dy e y x ]1)('[-Φ

其中?

AMB 是以线段AB 为直径的上半圆周，)0,0(A ，)1,1(B ． 2．计算22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy

∑

-+-??

，式中∑是由xoy 平面上的曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转面，又曲面法向量与x 轴正向的夹角大于

2

π． 3．计算

??

∑

+++++dy dx ay z dx dz ax y dz dy z a x )()()(232323，其中∑为上半球面

222y x a z --=的上侧．

4．求证：53108)3(a dS a z y x π≥+++??∑

)0(>a ，其中∑为球面

022222222=+---++a az ay ax z y x ．

考 研 真 题

1．（00数一）曲面2222321x y z ++=在点(1,-2,2)的法线方程为 ． 2．（00数一）设2222:23(0)S x y z a z ++=≥，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）

(A) 1

4S

S xdS xdS =????；(B) 1

4S

S ydS xdS =????；

(C) 1

4S

S zdS xdS =????； (D) 1

4S

S xyzdS xyzdS =????．

3．（00数一）计算曲线积分,42

2?

+-L y x ydx

xdy 其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的

圆周(1)R >取逆时针方向．

4．（00

数一）设r =(1,2,2)()div gradr -= ． 5．（01数一）设对于半空间0x >内任意光滑有向封闭曲面S ，都有

0)()(2=--??∑

zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x ，

其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0

lim ()1x f x +

→=，求()f x ． 6．（01数一）计算

?-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I )3()2()(222222，

其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向． 7．（01数一）设有一高度为()(h t t 为时间）的雪堆，在融化过程中，其侧面满足方程

222()

()()

x y z h t h t +=-

(设长度单位为cm ，时间单位为小时)，已知体积的减少速度与侧面面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？ 8．（02数一）设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续的一阶导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记

?-++=L dy xy f y y

x

dx xy f y y I ]1)([)](1[1222

(1) 证明曲线积分I 与路径L 无关； (2) 当ab cd =时，求I 的值． 9．（05数一）已知平面区域{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的边界，试证：

(1) ??-=---L

x y L

x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin ；

(2)

?≥--L

x y

dx ye dy xe

2sin sin 2π．

10．（04数一）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限的部分，则曲线积分

2L

xdy ydx -?

的值为 ．

11．（04数一）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dxdz z dxdy ∑

=++-??，其中∑是曲面2

2

1(0)z x y z =--≥的上侧．

12．（05数一）设Ω是由锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界外侧，则xdydz ydxdz zdxdy ∑

++=?? ．

13．（05数一）设函数()y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲

线L 上，曲线积分?++L y x xydy

dx y 2

222)(?的值恒为同一常数．

(1) 证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有

?=++L y x x y d y

dx y 022)(22?；

(2) 求函数()y ?的表达式．

14．（06数一）设∑是锥面z =(01)z ≤≤的下侧，则

23(1)xdydz ydxdz z dxdy ∑

++-=?? ．

15．（06数一）设在上半平面{(,)0}D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续的偏导数，且对于任意的0t >都有2(,)(,)f tx xy t f x y -=．证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有

,0),(),(?=-L

dy y x xf dx y x yf ．

16．（07数一）设曲面:1x y z ∑++=，则??∑

=+__________)(dS y x ．

17．（07数一）设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的

是（ ）

(A) (,)f x y dx Γ

?； (B) (,)f x y dy Γ

?；

(C) (,)f x y ds Γ

?； (D) (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ

''+?

18．（07数一）计算曲面积分

23I xzdydz zydxdz xydxdy ∑

=++??，

其中∑为取面2

2

1(01)4

y z x z =--≤≤的上侧．

19．（08数一）设曲面∑是2

24y x z --=的上侧，则

____2

=++??∑

dxdy x xdzdx xydydz 20（08数一）.计算,)1(22sin 2?-+L

ydy x xdx 其中L 为x y sin =上从点)0,0(到点