2020届云南省曲靖一中高三二模(理科)数学试题(含解析)

2020年高考（理科）数学二模试卷

一、选择题

1.已知集合(){}

lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ??

=≤≤????

，则A B =I （ ） A. {

}

2x x >- B. {}22x x -<<

C. {}

22x x -≤<

D. {}

2x x <

2.若复数

221a i

i

++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.定义运算()()a a b a b b a b ≤?⊕=?

>?

，则函数()12x

f x =⊕的图象是（ ）． A .

B.

C.

D.

4.抛物线方程为2

4y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）

A. 210x y --=

B. 210x y +-=

C. 210x y -+=

D. 210x y ---=

5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.

2550100

,,777

B.

252550,,1477

C.

100200400

,,777

D.

50100200

,,777

6.若P 是q ?的充分不必要条件，则?p 是q 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

8.已知,x y 满足001x y x y x -??+?

??

…

……，则32y x --的取值范围为（ ） A. 3,42??

????

B. (1,2]

C. (,0][2,)-∞+∞U

D. (,1)[2,)-∞?+∞

9.已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A. 6

B. 3

C.

93222

D.

93222

+10.已知双曲线22

22:1(0,0)x y a b a b

Γ-=>>的右焦点为F ，

过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）

A.

17

B.

32

C.

53

D.

10 11.已知()2

2

log 217y x

x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足

21

32m a b a b

+=++时，则74a b +的最小值为（ ）

A.

94

B. 5

C.

522

4

+ D. 9

12.已知函数||

()()x f x x R =

∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A. (

21),e B. (20,

)e C. (11,1)e

+

D. 21,

1()e

+ 二、填空题（共4小题）

13.5

22x x ?

?+ ??

?的展开式中4x 项的系数为_______．

14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ?u u u v u u u v

的值为_____.

15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______.

16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.已知函数231

()cos ,()222

x f x x x R =

+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域； （2）ABC

V 角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且3c =

()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.

18.如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC =====⊥

（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值.

19.2018年反映社会现实的

电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10

13

15

18 21 销量y （万盒） 1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：

0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，3

5

，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为

45，12，2

3

．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．

附：（1）相关系数1

2

2

22

11n

i i

i n n

i i i i x y nx y

r x nx y ny ===-=

????-- ???????

∑∑∑

（2）8

1

347i i

i x y

==∑，8

2

1

1308i

i x ==∑，8

21

93i i y ==∑178542.25≈

20.设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2

2

e =，右准线为l ，,M N 是l 上

的两个动点，1

20FM F N ?=u u u u r u u u u r

． （Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r

，求,a b 的值；

（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，1

2FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r

共线．

21.设函数(

)2

()11x

f x e

e

kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线

2(2)0e x y +-=平行.

（1）求k 的值；

（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立

.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.已知直线l

的

参数方程：12x t

y t =??

=+?

（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=

（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .

（2）若2c M >，求证：22c c ab a c c ab -<<+-

2020年高考（理科）数学二模试卷

一、选择题

1.已知集合(){}

lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ??

=≤≤????

，则A B =I （ ） A. {}

2x x >- B. {}22x x -<<

C. {}

22x x -≤<

D. {}

2x x <

【答案】C 【解析】 【分析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}

2A x x =<,{}

22B x x =-≤≤, ∴{}

22A B x x ?=-≤<, 故选：C.

【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2.若复数

221a i

i

++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数

221a i

i

++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)

1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=??-≠?，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．

故选：B ．

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．

3.定义运算()()a a b a b b a b ≤?⊕=?

>?

，则函数()12x

f x =⊕的图象是（ ）．

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】

【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0

122,0x

x

x f x x >?=⊕=?

≤?

， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.

4.抛物线方程为2

4y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-=

C. 210x y -+=

D. 210x y ---=

【答案】A 【解析】 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到

12124

22

y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程.

【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，

又211

222

44y x y x ?=?=?，两式相减得：()22

12124y y x x -=-， ∴()

()()1212124y y y y x x +-=-，

∴

12124

22

y y x x -==-， ∴直线AB

的

斜率为2，又∴过点(1,1)，

∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A .

【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．

5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.

2550100

,,777

B.

252550,,1477

C.

100200400

,,777

D.

50100200

,,777

【答案】D 【解析】 【分析】

设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.

【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比

1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)

250q +=,故1250501227a =

=++,21

10027

a a ==,2

3120027a a ==. 故选:D .

【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6.若P 是q ?的充分不必要条件，则?p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【详解】

试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．

由p 是q ?的充分不必要条件知“若p 则q ?”为真，“若q ?则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ?”为真，“若p ?则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题

7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】B 【解析】 考点：程序框图．

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是

第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．

8.已知,x y满足

1

x y

x y

x

-

?

?

+

?

?

?

…

…

…

，则

3

2

y

x

-

-

的取值范围为（）

A.

3

,4

2

??

??

??

B. (1,2]

C. (,0][2,)

-∞+∞

U D. (,1)[2,)

-∞?+∞【答案】C

【解析】

【分析】

设

3

2

y

k

x

-

=

-

，则k的几何意义为点(,)

x y到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.

【详解】解：设

3

2

y

k

x

-

=

-

，则k的几何意义为点(,)

P x y到点(2,3)

D的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图可知当过点D的直线平行于x轴时，此时

3

2

y

k

x

-

==

-

成立；

3

2

y

k

x

-

=

-

取所有负值都成立；

当过点A时，

3

2

y

k

x

-

=

-

取正值中的最小值，

1

(1,1)

x

A

x y

=

?

?

?

-=

?

，此时

313

2

212

y

k

x

--

===

--

；

故

3

2

y

x

-

-

的取值范围为(,0][2,)

-∞+∞

U；

故选：C.

【点睛】本题考查简单线性规划

的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．

9.已知点(3,0),(0,3)

A B

-，若点P在曲线2

1

y x

=--上运动，则PAB

△面积的最小值为（）

A. 6

B. 3

C.

93

2

22

- D.

93

2

22

+

【答案】B

【解析】

【分析】

求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(1,0)

-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】解：曲线2

1

y x

=--表示以原点O为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线AB的方程为30

x y

-+=，

可得||32

AB=，由圆与直线的位置关系知P在(1,0)

-时，P到直线AB距离最短，即为

2

2

=，

则PAB

△的面积的最小值为

1

3223

2

??=.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．

10.已知双曲线22

22:1(0,0)x y a b a b

Γ-=>>的右焦点为F ，

过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）

A.

17

3

B.

32

C.

53

D.

102

【答案】D 【解析】 【分析】

设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，

'Rt CBF ?和'Rt FBF ?中，利用勾股定理计算得到答案.

【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，

AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，

'Rt CBF ?中：222''CF CB BF =+，即()()()222

3242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ?中：2

2

2

''FF BF BF =+，即()

()2

2

2

23c a a =+，故2252

c a =，故10

e =. 故选：D .

【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

11.已知()2

2

log 217y x

x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足

21

32m a b a b

+=++时，则74a b +的最小值为（ ）

A.

94

B. 5

C.

54

+ D. 9

【答案】A 【解析】 【分析】 利用()2

2

log 217y x

x =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.

【详解】解：∵()

()2

2

22log 217log 116y x x x ??=-+=-+??

的值域为[

),m +∞, ∴4m =, ∴

41

4622a b a b

+=++,

∴()()14

1746224622a b a b a b a b a b ??+=

++++?? ???++??

()()4216219

554426244

a b a b a b a b +??+=

++≥?+=??++??, 当且仅当

()4262262a b a b a b a b

++=

++时取等号, ∴74a b +的最小值为9

4

. 故选：A.

【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.

12.已知函数())f x x R =

∈，若关于x 方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m

的取值范围为（ ）

A. 1)

B. (

C. (11,1)e

+

D. 1() 【答案】D 【解析】 【分析】

讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()x

x f x e =

，故'()2x f x xe =

，函数在10,2??

???上单调递增，在1,2??+∞????

上单调递减，且1222e f e

??

=

?

??； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()x

x f x e

-=

，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ??<-<= ???

，故()21,1e m +∈. 故选：D .

【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题（共4小题）

13.5

22x x ?

?+ ??

?的展开式中4x 项的系数为_______．

【答案】40 【解析】 【分析】

根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．

【详解】根据二项定理展开式的通项式得()

52

1035522r

r

r

r r r

C x C x

x --??= ???

所以1034r -= ，解得2r =

所以系数22

5240C ?=

【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．

14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ?u u u v u u u v

的值为_____

.

【答案】-3 【解析】 【分析】

根据ABCD 是平行四边形可得出22

AC BD AD AB ?=-u u u r u u u r u u u r u u u r

，然后代入AB ＝2，

AD ＝1即可求出AC BD ?u u u r u u u r

的

值．

【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，

∴()()

AC BD AB AD BA BC ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()()AB AD AD AB =+?-u u u r u u u r u u u r u u u r

22AD AB =-u u u r u u u r

＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3．

【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______. 【答案】29π 【解析】 【分析】

先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积. 【详解】解：AB BC ⊥Q ,3AB =，4BC =

222AC AB BC ∴=+, 5AC ∴=，

设球O 1的半径为r ，由题得11

345)3422

r r r ++=??（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.

所以球2O

的表面积为2429ππ?=. 故答案为：29π

【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ??-?

为奇数

为偶数

【解析】 【分析】

由题意可得112(2)n n a a n +--=…

，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ?=?-?

为奇数

为偶数.

【详解】解：∵12n n a n a +=-，

∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…

，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，

当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，

∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ?=?-?

为奇数

为偶数，

故答案为：,1,n n n n ??

-?为奇数

为偶数

.

【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…

，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.已知函数21

()cos ,()222

x f x x x R =

+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；

（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.

【答案】（1）1,12??

-????

.（2）32

【解析】 【分析】

（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.

（2）由题意利用余弦定理?三角形的面积公式?基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值.

【详解】解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+?

?=

+-=+-=+ ??

?， 当[0,]x π∈时，7,666x π

ππ??+

∈????

，1sin ,162x π?

???+∈- ???????.

（2）ABC V 中，c =

，()1sin 6f C C π?

?==+ ??

?∴3c π=.

由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-?=+-…，当且仅当a b =时，取等号， 即ab 的最大值为3.

再根据11sin 223

ABC S h ab π=

=?V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为3

2.

【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．

18.如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC CA CB AC BC ===

==⊥

（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210

【解析】 【分析】

（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==u r u u u r

为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为2,2,1)n =r

，计算夹角得到答案.

【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PA

PB PO AB ∴⊥Q ＝，22AB ==，

3PB AP ==Q 2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，

PO ∴⊥平面ABC ，PO ?平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .

（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),2),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==u r u u u r

为平面PAB 的一个法向量.

设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =r

.

则0,0PA n AC n ?=?=u u u r r u u u r r ，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC ==-u u u r u u u r

，

120,10.n m ?-=?∴?-+=??2,

.

n m l ?=?∴??=?，不妨取2l =，则2,2,1)n =r . cos ,||||m n m n m n ???=u r r

u r r u r r 22222202120110010221

?+?+?==++?++. C PA B --Q 为锐二面角，∴二面角C PA B --10

【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒） 1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：

0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，3

5

，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为

45，12，2

3

．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．

附：（1）相关系数1

2222

11n

i i

i n n

i i i i x y nx y

r x nx y ny ===-=

????-- ???????

∑∑∑

（2）

8

1

347i i

i x y

==∑，821

1308i i x ==∑，8

21

93i i y ==∑

【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）6

5

【解析】 【分析】

（1）根据题目提供的数据求出,x y r u r

，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；

（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ?

? ???

:,，利用二项分布的期望公式求解即可.

【

详解】解：（1）由题意可知2361021131518

118

x +++++++=

=r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538

y +++++++==u r ，

由公式0.98r =

=≈，

0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；

（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为

1142255A P =?=，2412525A P =?=，3322

535

A P =?=，

由题意，235

X B ?? ???

:, ，

()26

355

E X ∴=?=.

【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题. 20.

设椭圆()22221,0x y

a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2

e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两

个动点，1

20FM F N ?=u u u u r u u u u r ． （Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u r

,a b 的值；