有关白噪声序列的研究进展

白噪声的研究进展

摘要：本文首先介绍各种噪声(背景噪声、白噪声、白噪声序列以及高斯白噪声)的基本概念及它们之间的相互关系；其次是概括叙述各种噪声在各个学科及其各领域中的应用；最后介绍它们的具体应用。

关键字：白噪声；白噪声序列；高斯白噪声；加性高斯白噪声

1.基本知识

1.1 背景噪声

人对声音的感知是通过听觉系统对声音的频率、强度、空间、时间等信息进行分析来实现的。自然声环境中，几乎所有的声音都随着时间而变化，尤其是传递信息的声音（如语言和音乐等），其多数信息都包含在岁时间变化的部分，而不是固定不变的部分。听觉系统对声音时间信息的精细处理包括对声音时间的分辨和对声音时间的整合能力，这对理解语言和其他复杂声刺激是至关重要的。对声音时间信息处理能力的降低可能会引起语言能力和阅读能力的降低。对声音时间信息的分辨能力是指听觉系统能够探测随时间而变化的声刺激的能力；对时间的整合是指听觉系统能够整合随时间变化的声信息以促进对声刺激的探测和感知。已有的研究表明，间隔探测是分析听觉系统对时间间隔分辨能力的重要手段，通过测定对两个声音间的时间间隔的分辨阈值来衡量听觉系统的时间分辨率。已有的关于对时间间隔探测的研究主要集中在单耳或双耳封闭声场条件下进行，其中关于在双耳条件下对时间分辨的研究很少，在自由声场下研究持续噪声背景对时间间隔的探测能力的影响未见报道。在日常生活中，人们基本在自由声场中感知声音，而背景噪声常伴随于人们要分辨的声音信号中，并对人感知声音信号产生一定影响。我们认为：背景噪声影响人对声音信号判断或感知的原因之一可能是噪声影响了人对声音时间信息的分辨。为检验该推测，需要研究在自由声场下测定人对声音时间间隔探测的阈值，以及研究在不同强度的背景噪声对人分辨纯音间隔和噪声间隔的影响。

1.2 白噪声

白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声（每高一个八度，频率就升高一倍，因此高频率的能量也显著增强）。

白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程）

相关函数：2()()W R τσδτ=

谱密度：2()W S ωσ=，ω-∞<<+∞

近似白噪声过程

谱密度：200,||()0,||W S σωωωωω?≤=?>?

(0ω为给定的远大于过程的截止频)

相关函数：2000sin ()W R σωωττπωτ

= 讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为高斯白噪声。

n 维白噪声：一个n 维随机过程()W t 满足：

{()}0{(),()}{()()}()

E W t Cov W t W t E W t E t Q ττδτ=??+=+=? 其中Q 为正定常数矩阵，则称()W t 为n 维白噪声过程。

1.2.1白噪声序列

随机变量()x t (1,2,3)t =，如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，即对于所有s t ≠，随机变量()x t 和()x s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差均为常数，则称其为白噪声过程。白噪声过程的样本实际成为白噪声序列，简称白噪声。之所以称为白噪声，是因为它和白光的特性类似，白光的光谱在各个平率上有相同的强度，白噪声的谱密度在各个频率上的值相同。

白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列{W(k)}满足：

相关函数：2(

)W l R l σδ=， 0,1,2,l =±±

则称为白噪声序列。

谱密度：2()()jwl W W l S R l e ωσ∞-=-∞=

=∑

1.3 高斯白噪声

如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。

所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。这是考查一个信号的两个不同方面的问题。高斯白噪声的概念."白"指功率谱恒定;高斯指幅度取各种值时的概率()p x 是高斯函数.

高斯白噪声是指信号中包含从负无穷到正无穷之间的所有频率分量，且各频率分量在信号中的权值相同。白光包含各个频率成分的光，白噪声这个名称是由此由此而来的。它在任意时刻的幅度是随机的，但在整体上满足高斯分布函数。

1.3.1 AWGN （加性高斯白噪声）

加性高斯白噪声(AWGN )从统计上而言是随机无线噪声，其特点是其通信信道上的信号分布在很宽的频带范围内。

加性高斯白噪声在通信领域中指的是一种各频谱分量服从均匀分布（即白噪声），且幅度服从高斯分布的噪声信号。因其可加性、幅度服从高斯分布且为白噪声的一种而得名。该噪声信号为一种便于分析的理想噪声信号，实际的噪声信号往往只在某一频段内可以用高斯白噪声的特性来进行近似处理。由于AWGN 信号易于分析、近似，因此在信号处理领域，对信号处理系统（如滤波器、低噪音高频放大器、无线信号传输等）的噪声性能的简单分析(如：信噪比分析)中，一般可假设系统所产生的噪音或受到的噪音信号干扰在某频段或限制条件之下是高斯白噪声。

加性高斯白噪声只是白噪声的一种，另有泊松白噪声等

1.3.2 泊松白噪声

泊松白噪声是有效应用于工程中的随机脉冲列模型

()

1()()N t k k k t Y t t ξδ==-∑

式中()N t 是泊松计数过程，表示在时间区间[0,]t 内到达的脉冲数；{,1}k Y k ≥是相互独立且同分布的实值随机变量；k Y 是脉冲的随机分布阈值，独立于脉冲到达时间k t 。

泊松白噪声()t ξ的相关函数

()12211[(),(),,()][]()

()r r r r R t t t E Y t t t t ξξξλδδ=--

1,2,,r =∞ 式中[]E ?表示数学期望，0λ>代表泊松计数过程()N t 的平均到达率。考虑λ趋于无穷的极限情形，与此同时，泊松白噪声的强度[]r E Y λ保持不变，则二阶以上的累计量趋于零，泊松白噪声()t ξ趋于高斯白噪声

2.白噪声的相关应用

2.1 白噪声在各个领域的应用

白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声(如人的交谈)，使用持续的低强度噪声作为背景声音。一些紧急车辆的警报器也使用白噪声，因为白噪声能够穿过如城市中交通噪声这样的背景噪声并且不会引起反射，所以更加容易引起人们的注意。

在电子音乐中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是在音频合成中，经常用来重现类似于铙钹这样在频域有很高噪声成分的打击乐器。

白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从PA 系统发出一个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。

白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。

白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用。

白噪声也可以用于审讯前使人迷惑，并且可能用于感觉剥夺技术的一部分，上市销售的白噪声机器产品有私密性增强器、睡眠辅助器以及掩饰耳鸣。

2.2 表示定理与成形滤波器

2.2.1 表示定理

设平稳噪声序列{()}e k 的谱密度()W S ω是ω的实函数，或是cos ω的有理函数，那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列，则环节的输出是谱密度为()W S ω的平稳噪声序列{()}e k 。

2.2.2 成形滤波器

表示定理中所涉及的线性环节称为成型滤波器。

白噪声()k ω→线性环节(成型滤波器)→有色噪声()c k

可以证明：如果{()}e k 的谱密度()W S ω是cos ω的有理函数，那么一定存在一个 成型滤波器，它的脉冲传递函数为：

11111111()()()1s s t t n n n n c z c z D z H z C z d z d z -------+++==+++

且1()C z -、1()D z -的根都在z 平面的单位圆中

2.3 高斯白噪声的应用

高斯白噪声序列在科学研究与工程领域有着广泛的应用。例如，在电气工程领域中，有关信号处理算法的研究均涉及到高斯白噪声序列的应用；在通用的计算机系统中均配置了用以产生均匀分布和高斯分布随机序列的软件，例如在BASIC ,FORTRAN ,C ,b V 和Vc ++等程序设计语言软件包、以及功能强大的MATLAB 软件包中均配置了用以产生均匀分布与高斯分布随机序列的内建函数。事实上，应用这些软件产生随机数序列，其随机性和分布特性与所调用的函数名相差甚远。

研究了噪声引发的神经元相干共振现象，基于神经元二维映射模型，用高斯白噪声模拟生物神经元系统中的环境噪声，通过数字仿真研究了噪声对神经元动力学特性的影响。研究发现，噪声可以提高静态神经元的可兴奋性，诱导其产生动作电位，当噪声达到某一适中强度时，动作电位的有序性可以达到最佳，产生相干共振形象。研究了系统参数的选取对神经元共振特性的影响，发现控制参数越接近分岔点，相干共振性越好。结果表明：合适强度的噪声可以促进神经元的信息传递。

从神经元二维映射模型出发,用高斯白噪声模拟了神经元的噪声环境,进而研究了高斯白噪声对参数空间相图的影响.研究发现,噪声可以提高系统的可兴奋性.通过数值模拟研究了噪声引起的相干共振现象.结果表明,只有当系统参数选取在静息区域且接近连续点火和静息状态分界线时才可以得到相干共振现象. 3 具体的实例

离散频谱序列为服从2(0,)N N σ分布的平稳高斯白噪声序列

设{()|(0,1,2,,1)}x n n N =-为一均值为0，方差为2σ的平稳高斯白噪声序

列，则该序列亦可表示成序列{|(0,1,2,,1)}n x n N σ=-。其中0x 、1x 、2x 、、

1N x -为独立同分布的实随机变量，且均服从标准正态分布(0,1)N 。由离散频谱的定义得

210()()N j kn N n X k x n e

σ--==∑=210N j kn N n n x e σσ--=∑ (0,1,2,,-1)k N =

由有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量知：对?[0,1,2,,-1]k N ∈，()X k 为正态随机变量，其均值和方差分别为

10[()][]N n n E X k E x σ-==?∑2j kn N e

σ-=0

______[()][()()]D X k E X k X k ==2211200[]N N j kn j kn N N n m n m E x e x e σσσ

----==?∑∑ = 211

()200[]N N j k n m N n m n m E x x e σσ----==?∑∑=2

N σ 故对?[0,1,2,,-1]k N ∈，随机变量()X k 服从2(0,)N N σ的高斯分布。 对?12,[0,1,2,,-1]k k N ∈，且12k k ≠时，1()X k 、2()X k 的互相关系数为 ______12[()()]E X k X k =2211200

[]N N j kn j kn N N n

m n m E x e x e σσσ----==?∑∑ =211()200[]N N j k n m N n m n m E x x

e σσ----==?∑∑=1221()20N j k k n N n e σσ---=∑=0

故1()X k 、2()X k 互不相关。不相关即统计独立。由此知，平稳高斯白噪声序列的离散频谱序列{()|(0,1,2,,-1)}X k k N =为平稳高斯白噪声序列。

平稳高斯白噪声序列谱的统计特性的一个直接应用，就是加性平稳高斯白噪声中正弦型信号的检测及噪声功率估计问题。设待分析信号为

()()()s t x t n t =+

其中()x t 是振幅a 、角频率0Ω、初相角θ均为未知常数的一单频信号，()n t 为服从2(0,)N σ的平稳高斯白噪声。序列{()|(0,1,2,,1)}n x nT n N =-的离散频谱

()X k 与a 、0Ω、θ、采样点数N 及采样周期n T 有下面关系（以下讨论均指正频

率分量）

0012()202sin()2()22sin()2

s s N j k T j N s k T N N a X k e e k T N σθσσ---Ω-Ω?≈???-Ω (0,1,2,,-1)k N = 其功率谱峰点02()s k T N σ'≈Ω所对应的值为 2

2()(/2)X k aN '≈

由均值为零，方差为2σ，长度为N 的平稳高斯白噪声序列的功率谱幅度服从参数为21/N σ的指数分布知：其功率谱幅度以99.9%概率小于6.92N σ?。所以，当对观测序列{()|(0,1,2,,1)}s s nT n N =-作谱分析时，可以认为：若功率谱中某频率点处的谱幅度大于6.92N σ?，则标志着该点附近有待提取的单频信号分量存在。由此就得到一种检测准则和一种估计噪声功率2σ的方法。由于噪声功率谱幅度均值与N 成正比，而单音信号功率谱峰值与2N 成正比，故增大数据长度能提高检测概率。这也是一个很有用的结论。

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