第六章格林函数

格林函数()

§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u ? 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u ? （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v ? （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u ? 亦即

.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=?? ? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 ?（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 δ 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程 ).() ,(00r r r r v ????-=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v ? ?δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0点，?v 具有δ 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 ε 的小球K ε（图12-1），∑ε 的边界面为∑ε 。对于剩下的体积，格林公式成立，

格林函数法求解场的问题

格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： Heat Eq.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： ()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??? ????+=??????? 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ 代表自由电荷密度。

格林函数()

§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具 有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u 亦即

.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件， ≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0 ） 表示位于r 0 点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0 ）应满足方程 ).() ,(00r r r r v -=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0 点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0 的小体 积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为 。对于剩下的体积，

数学物理方程-第五章格林函数法

第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???

格林函数以及拉普拉斯方程

格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。 用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。 “瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为

格林函数--偏微分方程解的积分表示

第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠. 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ?+=--，若λ是对应齐次方程 的本征值，即2?λ??=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 1）齐次边值条件：()|0.G G n αβ∑?+=? 2） |0r G →∞=有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r 2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式

6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法：21 (').|'| G r r G r r δ?=--?= -。 2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变化法：LT ，FT 。 5) 形式解：算子运算。 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， Possion Equation: 224(),(,')4('), |0.|0.1 (,'),()(,')(')' |'| u r G r r r r u G G r r u r G r r r dr r r πρπδρ∑∑???=-?=--?? ?==???==-? 基本解---无界空间Green 函数的叠加。 例2，Helmholtz Equation ： 22()4(),()(,')4('), |0.|0. ()(,')(')'(see below for the solution,(,'):;('):). u r G r r r r u G u r G r r r dr G r r Field r Source λπρλπδρρ∑∑???+=-?+=--?? ?==???=? 例3， 波动方程， 22222 222(,),|0,|0,|0. (,;',')(')('),|0,|0,|0. t t t t t t a u r t t u u u a G r t r t r r t t t G G G ρδδ∑∑???-?= ???? ===?? ??-?=-- ???? === 在含时Green 函数(,;',')G r t r t 中，为方便计， 我们将它简记为(,').G r r

格林函数法

§3.4 格林函数法 利用一个点电荷的边值问题的解，可以解决同类边值问题：对于给定空间区域V 内的电荷分布ρ和V 的边界S 上（第一类边值问题）各点的电势S ?，或者（第二类边值问题）各点的电场法向分量S n ???。 静电场的电势函数满足泊松（Simeon Denis Poisson, 1781-1840）方程 20 ρ ?ε?=? 其中()r ρG 为电荷密度。位于r ′G 处的单位点电荷的密度分布函数为()r r δ′?G G ，它所产生的静电势(,)G r r ′G G 满足类似的微分方程 2 ()(,)r r G r r δε′?′?=?G G G G ， (3.15) 和相应的边条件。以此Green 函数取代格林公式(0.12)中的函数()r ψG ，可得积分方程 0()(,)()(,)()(,)(),V S r G r r r G r r r dV G r r r dS n n ??ρε?′′????′′′′′′=+???′′??? ?∫∫∫∫∫G G G G G G G G G G w (3.16) 第一类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电势为零的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第一类Green 函数，记为1(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第一类边值问题的解，即 0(,)()(,)()().V S G r r r G r r r dV r dS n ?ρε?′?′′′′′=?′?∫∫∫∫∫G G G G G G G w (3.17) 第二类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电场法线分量为常数01 S ε的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第二类Green 函数，记为2(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第二类边值问题的解，即 0()1()(,)()(,)().V S S r r G r r r dV G r r dS r dS n S ??ρε?′?′′′′′′′=++′?∫∫∫∫∫∫∫G G G G G G G G w w (3.18) 【无界空间的格林函数】（P58） 【半无限空间的格林函数】（P59） 【球外空间的格林函数】（P60） 【球内空间的格林函数】（补充题）

§10 格林函数法求解稳定场问题

第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： ()2 22 2 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场 u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρ ε?=-=- 表示静电场 u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：

() ' ' ' 04V r dV r r ρ φπε=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：

格林函数

格林函数 这是一篇关于格林函数经典解法的文章。从现代的讨论中寻求根本的解法。在数学中，格林函数是一种用来解有边界条件的非齐次微分方程式的函数。 在多体理论中，这一术语也被应用于物理中，特别在量子场论，电动力学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。 格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第一个提出这个概念的人。 在线性偏微分方程的现代研究中，格林函数主要用于研究基本解。 内容 1、定义及用法 2、动机 3、非齐次边值问题的求解 3.1、研究框架 3.2、定理 4、寻求格林函数 4.1、特征矢量展开 5、拉普拉斯算子的格林函数 6、范例 7、其他举例 定义及用法 技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着一个在流形M 中作用的线性算子L ，为以下方程式的解： )(),(s x s x LG -=δ (1) 其中δ为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程： )()(x f x Lu = (2) 若L 的核是非平凡的，则格林函数不只一个。不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只需是一种数学分布即可，不一定要具有一般函数的特性。 格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高

的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。其方程如下： )(),(s x s x LG --=δ 这一定义并不显著改变格林函数的任何性质。如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成一个卷积算，即为： )(),(s x G s x G -= 在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。 动机 若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得： )()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此： ds s f s x LG x Lu )(),()(?= 由于算符 L 为线式，且只对变量x 作用，不对被积分的变量 s 作用），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得： ))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?= 而以下的式子也会成立： ds s f s x G x u )(),()(?= (3) 因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以用上述的方式得到)(x u 。换句话说，(2)式的解)(x u 可以由(3)式的积分得到。若可以找到满足(1)式的格林函数G ，就可以求出)(x u 。 并非所有的算符L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3)式的积分也很难求解，因此

格林函数(免费)

§2.4 格林函数法解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一 种常用的方法— —格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个 点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以 用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设 u （ r ）和 v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶 导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 u v dS 化成体积积分 u v dS (u v)dV u vdV u vdV . T T T （12-1-1） 这叫作第一格林公式 。同理，又有 v u dS v udV u vdV. T T （ 12-1-1）与（ 12-1-2）两式相减，得 (u v v u) dS (u v v u) dV , T 亦即 u v v u dS (u v v u)dV . n n T n 表示沿边界 的外法向求导数。（ 12-1-3）叫作 第二格林公式 。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 （12-1-2） （12-1-3）

第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 u u (M ), n （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。 ＝ 0， ≠0 为第一类边界条件， ≠0， ＝ 0 是第二类边界条件， 、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作 第一边值问题或狄里希利问题 ，与第二类边界条件构成的定解问题叫作 第二边值问题或诺依曼问题 ，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题 。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。 §5.3 中介 绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以 v （ r ， r 0）表示位 于 r 0 点的单位强度的正点源在 r 点产生的场，即 v （r ， r 0 ）应满足方程 v(r , r 0 ) (r r 0 ). （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。 以 v （ r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（ 12-1-6），相减，然后在区域 T 中求积分，得 (v u u v) dV z T vfdV u (r r 0 )dV . T T T （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化 K r 0 成面积分。但是，注意到在 r ＝r 0 点， v 具有 函数的奇异性，格林公式不 能用。解决的办法是先从区域 T 中挖 O y 去包含 r 0 的小体积，例如半径为 的小 球 K （图 12-1）， 的边界面为 。 x 图 12-1 对于剩下的体积，格林公式成立， (v u u v) dV v u u v dS v u u v dS. T K n n n n （12-1-8） 把（ 12-1-8）代入挖去 K 的（ 12-1-7），并注意 r ≠ r 0 ，故 （r －r 0 ）＝ 0，于是 v u u v dS v u u v dS vfdV . n n n n T K （12-1-9） 当 r r 0 1 ，方程（ 12-1-6）的解 v （ r ，r 0）—→ 位于点 r 0 而电量为－ 0 的点电 r r