优秀教案34-空间直角坐标系

4.3空间直角坐标系

4.3.1空间直角坐标系

教材分析

本节课内容是数学2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节．

课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想.

本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题.结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键.

课时分配

本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系．

教学目标

重点: 空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点.

难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应．

知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点.

能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应.

教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识.

自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置．

考试点：空间中点的确定及坐标表示.

易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取．

拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式．

教具准备多媒体课件和三角板、晶胞实物模型（有条件可准备）

课堂模式学案导学、分组讨论

一、引入新课

由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示．

,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示．类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐

x y z表示．

标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)

二、探究新知

（一）空间直角坐标系及相关概念

如图所示，''''OABC D A B C -是单位正方体.以O 为原点，分别以射线 'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy 平面yoz 、平面、zox 平面．

y

【师生活动】由空间直角坐标系的定义，结合正方体直观图的画法，总结在平面上画空间直角坐标系需要注意的问题：

1．空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴方向、单位长．

2．在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使135,90.xOy yOz ∠=?∠=?

3．在y 轴、z 轴上的长度都取原来的长度，而在x 轴上的长度取原来长度的一半，即x 轴上的单位长度在平面内表现出来时是y 轴、z 轴上的单位长度的一半．

【设计意图】加强学生对空间直角坐标系的认识，避免坐标轴上的单位长度选取不当造成的图形直观性差．

（二）右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方形，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

【引申拓展】右手直角坐标系的其它解释方法：先把大拇指指向z 轴正方向，把其余四指指向x 轴正方向，然后握成拳头，这时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x 轴正方向到y 轴正方向． 【设计意图】上面补充的右手直角坐标系的其它解释方法，与物理中的右手定则联系起来，动态的解释，使学生更容易理解什么是右手直角坐标系．

（三）空间中点的坐标以及空间中坐标表示的点

如图所示，设M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、

y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ，设点P 、Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M

就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上分别取坐标为实数x y 、和z 的点P 、Q 和R ，分别过P 、Q 和R 各作一个平面，分别垂直于x 轴、

y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M .这样，空间一点M 的坐标

可以用有序实数组（z y x ,,）来表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.

y

【师生活动】

1.师：任意给定空间中的一点M ，它的坐标是不是唯一确定的？ 生：是.

2.师：任意给定空间中的一个有序实数组（z y x ,,），它所表示的点是不是唯一确定的？

生：是.

【设计意图】通过这两个问题的设计，让学生认识到空间直角坐标系中的点与坐标的一一对应. 【设计说明】教师可以结合下面的空间中的结论，说明在空间直角坐标系中点与坐标的一一对应： 过空间任意一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

三、理解新知

１．对于空间直角坐标系，要在数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系）的基础上进行把握，体会由直线到平面，再由平面到空间的升维过程．

２．结合空间图形直观图的画法深刻理解空间直角坐标系中x 轴上单位长度的选取的合理性和必要性．

３．结合空间几何中的结论理解建立空间直角坐标系后，空间中的点与坐标的一一对应．

通过以上三点，可以让学生较好得掌握空间直角坐标系的相关概念以及空间中点的坐标，为后面的知识运用做好铺垫．

四、运用新知

例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,2OA OC OD '===.写出,,,D C A B '''四点的坐标. 解：点D '在z 轴上，且2OD '=，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D '的坐标

是()0,0,2.

点C 在y 轴上，且4,OC =它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是

()0,4,0.

同理，点A '的坐标是()3,0,2.

点B '在xoy 平面上的射影是B ,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同. 在

xoy 平面上，点B 的横坐标3x =，纵坐标4y =；点B '在z 轴上的射影是D '，它的竖坐标与点D '的竖

坐标相同，点D '的竖坐标2z =. 所以点B '的坐标是()3,4,2.

y

【设计意图】通过本例让学生体验空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，加深学生对空间直角坐标系的认识，也有利于培养学生的空间想象能力．

思考1：如图，长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,3OA OC OD '===，A C ''与B D ''相交于点P ．分别写出,,C B P '的坐标．

y

答案：()30,4,0,(3,4,3),(,2,3)2

C B P '．

【设计意图】本思考在例题的基础上增加了求长方体面对角线交点的坐标，除进一步加深学生对空间直角坐标系的认识和培养学生的空间想象能力外，还可以让学生初步体会空间中线段的中点的坐标与端点坐标之间的联系．

思考2：例1是由具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标，反过来，由点的坐标如何确定它在空间直角坐标系中的位置？

以点()3,4,2为例，如例一图形，在x 轴、y 轴和z 轴上依次找点()3,0,0,(0,4,0),(0,0,2)A C D ', 过这三点依次作x 轴、y 轴和z 轴的垂面，这三个平面唯一的交点即为点()3,4,2．

【设计意图】通过本问题的设计进一步明确空间直角坐标系中点的坐标的含义，进一步理解空间的点与坐标的一一对应．

例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为

1

2

的小正方体堆积成的正方体)，其中色点（浅色点）代表钠原子，黑点（深色点）代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O xyz -后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．

解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.

下层的原子全部在xoy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是

11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(,,0)

22

； 中层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1

2

，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是11111111(,0,),(1,,),(,1,),(0,,)22222222

；

上层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是11(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(,,1)22

．

思考：如图，棱长为a 的正方体OABC D A B C ''''-中，对角线OB '与BD '相交于点Q ．顶点O 为坐标原

点，,OA OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．试写出点Q 的坐标．

y

答案：(,

,)222

a a a

Q ． 【延伸拓展】空间中线段的中点坐标公式：在空间直角坐标系中，点1111(,,),P x y z 点2222(,,),P

x y z 则线段12PP 的中点M 的坐标为121212

(

,,)222

x x y y z z +++． 五、课堂小结

本节课的知识及思想方法：（提问学生归纳，老师适当点拨）

１．空间直角坐标系及相关概念．

２．空间直角坐标系中点的坐标及相关概念．

３．给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标． ４．由具体的点的坐标找出它在空间直角坐标系中的位置．

5．本节课用到的思想方法：数形结合思想、转化与化归的思想．（在空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的定义中，结合正方体和长方体的图形，可以很好地理解概念；可以把空间中点的横坐标、纵坐标和竖坐标分别转化为此点对应的x 轴、y 轴和z 轴上相应的点的坐标．）

教师总结: 要理解空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的概念，一方面要结合正方体和长方体等空间图形，另一方面要认识到空间直角坐标系是数轴和平面直角坐标系的延伸和发展；在具体图形中，要会求点的坐标，对于给定的点的坐标，要会找出它在空间直角坐标系中的位置．

[设计意图]让学生进一步巩固所学知识，并提高一个层次认识所学知识，与前面的学习目标呼应，再次明确学习目标．

六、布置作业

1．阅读教材P136—137，预习4.3.2空间两点间的距离公式． 2.书面作业

必做题：课本P136 练习1． P138 习题4.3 A 组 1,2．

选做题：对于各棱长都为1的三棱锥A BCD -,建立空间直角坐标系，写出,,,A B C D 四点的坐标．（建立坐标系的方法不唯一，属开放型问题，让学生体会恰当选择坐标系的重要性．） 3．课外思考 课本P138 习题4.3 A 组 3．（本题除涉及到空间中点的坐标，还涉及空间中点的距离，由于可以转化为教特殊的平面内的两点间的距离，故学生目前可以解决，并为下一小节的学习做铺垫．） [设计意图]预习作业是为了在本节内容学习的基础上，让学生趁热打铁预习空间两点间的距离公式．书面作业的必做题难度不大，主要是为了让学生巩固所学知识．选做题主要是让学生进一步巩固所学知识及初步体会坐标系选择的重要性．

七、教后反思

１．本节课定位准确，对内容和难度的把握都比较恰当．

２．能从发展的观点阐明空间直角坐标系的建立过程和方法．

３．本节课在例题的设计上比较合理，不仅紧扣重点知识，而且难度不大，便于学生动手．

４．本节课的薄弱之处在于对建立空间直角坐标系的必要性阐释不够，在由点的坐标找点的位置方面还应该再加强一些．

八、板书设计