高中数学竞赛知识点(2020年九月整理).doc

数学

均值不等式

被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

一般形式

设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。

可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即

。

特例

⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对实数a,b，有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有

在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

排序不等式

基本形式：

排序不等式的证明

要证

只需证

根据基本不等式

只需证

∴原结论正确

棣莫弗定理

设两个复数（用三角形式表示），则：

复数乘方公式：.

圆排列

定义

从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相

同。

计算公式

n个不同元素的m-圆排列个数N为：

特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。

费马小定理

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

组合恒等式

组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。

基本的组合恒等式

nC(k,n)=kC(k-1,n-1)

C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)

∑C(i,n)=2^n

∑[(-1)^i]*C(i,n)=0

C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）

C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)

C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)

韦达定理

逆定理

如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程

的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]

推广定理

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设（i=1、2、3、……n）是方程：

的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理：

实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。

无穷递降法

无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：

假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

孙子定理

又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数：方程组的通解

形式：

在模的意义下，方程组只有一个解：

同余

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:

1)a≡a(mod d)

2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4)a+b≡x+m （mod d）

其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)

5)a-b≡x-m (mod d)

其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)

6)a*b≡x*m (mod d )

其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)

7）a≡b（mod d）则a-b整除d

欧拉函数

φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。(注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

若n为质数则φ(n)=n-1。

格点

定义

数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。

性质

1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。

2、格点关于格点的对称点为格点。

3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，

则根据皮克公式有S=a+b/2-1。

4，格点正多边形只能是正方形。

5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。

三面角

定义

三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。

特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。

三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。

性质

1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。

2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。

三面角相关定理

设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。

1、三面角正弦定理：

sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。

2、三面角第一余弦定理：

cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。

3、三面角第二余弦定理：

cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。

直线方程

一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向

式，点向式。

点斜式

已知直线一点(x1,y1,)并且存在直线的斜率k，则直线可表示为：y-y1=k(x-x1)。适用范

围：斜率K存在的直线。

斜截式

已知与Y轴的交点（0，b），斜率为K，则直线可表示为：y=kx+b。适用范围：斜率

存在的直线。

两点式

两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1，Y1），（X2，Y2）时，将直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入点斜式时，得到两点式

(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。截距式

已知与坐标轴的交点（a，0），（0，b）时，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。

一般式

ax+by+c=0 (A、B不同时为0)。斜率：-A/B截距：-C/B。两直线平行时：

A1/A2=B1/B2≠C1/C2，则无解。两直线相交时：A1/A2≠B1/B2；两直线垂直时：A1A2+B1B2=0

A1/B1×A2/B2=-1，都只有一个交点。两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。

适用范围：所有直线均可适用。

法线式

过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度。x·cos α+y sin α-p=0。

法向式

知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则a（x-x0）+b（y-y0）=0，

法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。

点向式

知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)。

极坐标系

极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。

极坐标方程

于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。圆

方程为r(θ) = 1的圆。

在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2

该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。

直线

经过极点的射线由如下方程表示θ=φ

,其中φ为射线的倾斜角度，若k为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan k。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为

r(θ)=r0sec(θ-φ)

圆幂

点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d^2－r^2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．

当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

1．定义从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆相交为止的两段之积，称为点A于这圆周的幂．

2．圆幂定理已知⊙(O, r) ，通过一定点P，作⊙O的任一割线交圆于A, B，则PA，PB为P对于⊙O的幂，记为k，则

当P在圆外时，k=PO^2-r^2；

当P在圆内时，k= r^2-PO^2；

当P在圆上时，k=0.

图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，

所以。所以有：，即：。

图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得。

图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，易

图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO 为公共边，因此。所以PA=PC，所以。

综上可知，是普遍成立的。

根轴

定义

在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。

根轴方程

设两圆O1,O2的方程分别为：

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)

(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)

由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2

两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0

其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。

解的不同可能

(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)

如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。

如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N是共轭虚点。

尺规作图

相交,相切时根轴为两圆交点的连线.

内含时,作一适当的圆与两园相交,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理

再作一点,两点所在的直线即为根轴(等幂轴)

相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；

4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。

5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；

6，反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴。

容斥原理

也可表示为：设S为有限集,则

两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

抽屉原理

第一抽屉原理

原理1：把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

原理2 ：把多于mn(m乘以n)（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,

与题设不符，故不可能。

原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

第二抽屉原理

把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研究问题的极端情况。

极端原理

最小数原理、最大数原理

命题一有限个实数中，必有一个最小数（也必有一个最大数）。

命题二在有限个或无限个正整数中，必有一最小数。

命题二可用集合的语言表述为，

最小数原理：若是自然数集的任一非空子集(注：有限或无限均可)，则中必有

最小的数，即对属于的任何数，均有。

最短长度原理

最短长度原理1：任意给定平面上的两点，在所有连接这两点的曲线中，以直线段的长度为最短；（需注意此原理虽然是直观的，但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。）最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有曲线中，以垂线段的长度为最短。