初一数学竞赛知识点全集

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()

||0a a a a a a ???

=??-??当为正数当为0当为负数

二、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个 例4．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容.

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题

例1．若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

2

2

+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222

的值

.

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.

例4． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列

第三讲：与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x 的一元一次方程

2332

x k x k

--+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-13

11

D ．0

例2.（方程与代数式联系）

a 、

b 、

c 、

d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.

（1）则2

121

-的值为 ；（2）当185

)1(4

2=-x 时，x = .

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：

思考：b ax =是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程b ax =

例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。 例 8． 解方程

11x x a b

a b ab

--+-=

二、含绝对值的方程解法

例9． 解下列方程523x -= 例10． 解方程 215

13

x --= 第四讲：图形的初步认识

D C

B

A

基本要求：

1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ）

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②④

第五讲：线段和角

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？

问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

图形语言：M

几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1

2

AM BM AB ==

，22AM BM AB == 5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6．互为余角的两个角 （ ）

（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关

（C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关

第六讲：相交线与平行线

二、典型例题

1.下列说法正确的有( )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )

A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;

B.点C 到AB 的垂线段是线段AC

C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;

D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段

A B

1 E

F 2 C

P

D

F

E D C

B A 3.下列说法正确的有( )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）

A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°

B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°

C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°

D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°

13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ， 求证：∠=∠E F

第七讲：平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;

y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;

2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111y x P 、),(222y x P

1P 、2P 两点关于x 轴对称?21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称?21x x -=，且21y y =; 1P 、2P 两点关于原点轴对称?21x x -=，且21y y -=。

3、距离

（1）点A ),(y x 到轴的距离：点A 到x 轴的距离为|y |；点A 到y 轴的距离为|x |； （2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A )0,(A x 、

B )0,(B x ，则||B A x x AB -=；A ),0(A y 、B ),0(B y ，则||B A y y AB -=； 二、典型例题

1、已知点M 的坐标为（x ，y ），如果xy<0 , 则点M 的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限

(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限

2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）

A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）

A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（-2，1）

5．如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第象限，

点Q（x-1，1-y）在第象限。

7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

8．已知点P（x,x），则点P一定（）

A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方

9．已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且A B∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为____________________________________________________________________。

10．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（-2，2），（4，3），（1，7）

C．（-2，2），（3，4），（1，7） D．（2，-2），（3，3），（1，7）

．

13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），

（-6，-3），求三角形AOB的面积

．

第八讲：与三角形有关的线段

一、相关知识点

1．三角形的边

三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边

即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）

由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a

即有：三角形的两边之差小于第三边

2．高:由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3．中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线

4．角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线.

C

C 二、典型例题 （一）三边关系

1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a 的取值范围是( ) A.1

3：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线 求证：AD+BD>

1

2

（AB+AC ）

（二）三角形的高、中线与角平分线

问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？

（2）图中存在哪些相等角？ 注意基本图形：双垂直图形

5．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ， DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。

6．⊿ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O 。

（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。

（3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。

（4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。

（5）你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？

8．已知: BE, CE 分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB 的角平分线, 求: ∠E 与∠A 的关系

D C B

E A

第九讲：与三角形有关的角

一、相关定理

（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理：

三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

（三）多边形内角和定理：n 边形的内角和为（n-2）*180° 多边形外角和定理：多边形的外角和为360° 二、典型例题

1．如图,在△ABC 中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE 的度数.

3．已知：CE 是△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 于E

求证：∠BAC>∠B

第十讲：二元一次方程组

一、相关知识点

1、 二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。

2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠

3、 一元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。 4、 二元一次方程组的定义：

方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。

5、 二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）

Ａ．123x y =??+=?，． Ｂ．10x y x y +=??-=?，． Ｃ．10x y xy +=??=?，．Ｄ．21y x x y =??-=?，．

3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ ） A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3

4．解方程组()()

6310132100

2m n m n -+=???

+-=?? 8．解三元一次方程组

(1)(2)(3)

++=??

-=-??+=+?

x 2y z 8x y 1x 2z 2y 3

11．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） A ．??

?=-=241.19.0x y y x B ．???=-=249.01.1y x y x C ．???=-=241.19.0y x y x D ．???=-=24

9.01.1x y y

x

第十一讲：一元一次不等式

一、知识链接：

1．不等式的基本性质

性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若a>b 且c>0，则ac>bc 。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若a>b 且c<0，则ac

2．同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

3．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0.

4.一元一次不等式的标准形式 ：0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。 5．一元一次不等式组的解集确定

若a>b 。即“大大取大” “小小取小” “大小小大取中间” “大大小小取不了” 二、典型例题：

1．下列关系不正确的是（ ）

A ．若b a >，则a b <

B ．若b a >，c b >，则c a >

C ．若b a >，d c >，则d b c a +>+

D ．若b a >，d c >，则d b c a ->- 2．下列判断不正确的是（ ）

A ．若0>ab ，0

B ．若0>>b a ，则b

a 11< C ．若0>a ，0<

b ，则

0<-b

b a D ．若b a <，则b a 1

1> 3．若不等式ax ＞b 的解集是x ＞a

b

，则a 的范围是（ ）

A 、a ≥0

B 、a ≤0

C 、a ＞0

D 、a ＜0