2018届中考数学 专题复习二 代数式试题 浙教版

代数式

一. 教学目标： 1. 复习整式的有关概念，整式的运算

2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。

3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。

4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

二. 教学重点、难点：

因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。

三.知识要点：

知识点1 整式的概念

?

??升降幂排列系数项数多项式的次数多项式系数单项式的次数单项式整式—————— （1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；

（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；

多项式的次数是多项式中最高次项的次数；

（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号

（4）同类项概念的两个相同与两个无关：

两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；

两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；

（5）整式加减的实质是合并同类项；

（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。

知识点2 整式的运算 （如结构图）

教学准备

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：

（1）提公因式法

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

（2）运用公式法，即用

)b ab a )(b a (b a ,

)b a (b ab 2a ),

b a )(b a (b a 223322222+±=±±=+±-+=- 写出结果．

（3）十字相乘法

对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab ＝q ，a ＋b ＝p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足

a 1a 2＝a ，c 1c 2＝c ，a 1c 2＋a 2c 1＝

b 的a 1，a 2，

c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++

（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.

（5）求根公式法：如果),0(02≠=++a c bx ax 有两个根x 1，x 2，那么)x x )(x x (a c bx ax 212--=++。

知识点4 分式的概念

（1）分式的定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有字母，那么称B

A 为分式，单项式乘以单项式

()()n n n

mn

n m n m n m b a ab a a a a a ===?+ 提公因式法

公式法

其中A 称为分式的分子，B 为分式的分母。

对于任意一个分式，分母都不能为零。

（2）分式的约分

（3）分式的通分

知识点5 分式的性质

（1）)0(≠=m B A Bn Am （2）已知分式b

a ，分式的值为正：a 与

b 同号；分式的值为负：a 与b 异号；分式的值为零：a ＝0且b ≠0；分式有意义：b ≠0。

（3）零指数 )0(10≠=a a

（4）负整数指数 ).p ,0a (a 1a p

p 为正整数≠=- （5）整数幂的运算性质 n

n n m n n m n m n m n m n m b a )ab (,a )a (),

0a (a a a ,

a a a ==≠=÷=?-+

上述等式中的m 、n 可以是0或负整数．

知识点6 根式的有关概念

1. 平方根：若x 2＝a （a>0），则x 叫做a 的平方根，记为

a ±。 注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；

2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；

3. 立方根：若x 3＝a （a>0），则x 叫做a 的立方根，记为3a 。

4. 最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。

知识点7 二次根式的性质 ①)0(≥a a 是一个非负数； ②)0()(2≥=a a a ③??

???<-=>==)0a (a )0a (0)0a (a |a |)a (2 ④)0,0(>≥=b a b a b a ⑤)0,0(≥≥?=b a b a ab

知识点8 二次根式的运算

（1）二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．

（2）二次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

).0b ,0a (ab b a ≥≥=?

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．

（3）二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

例1. 如果单项式13-n m y

ax 与525y x m --的和①为0时，a 、m 、n 各为多少？ ②仍为一个单项式，a 、m 、n

各为多少？ 解：①?????=--==51n 3m 2m 5a ??

???===2n 1m 5a ②???=--=51n 3m 2m ???==2n 1m a 为有理数

例2. 因式分解：（1）2294my mx - （2）1)(2)(2

++++b a b a （3）－2x 2＋5xy ＋2y 2 解：①原式＝m （2x ＋3y ）（2x －3y ） ②原式2)1b a (++=

③令0y 2xy 5x 222=++- ∴4y 16y 25y 5x 2

2-+±-= ∴y 4

415x ±= 原式＝－2（x －

y 4415+）（x －y 4

415-） 例3. （1）已知))(123(2k a a a ++-的结果中不含2a 项，求k 的值； （2）k a a a ++-23的一个因式是1+a ，求k 的值；

解：（1）a 2的系数为：3k －2＝0 ∴k ＝

32 （2）当a ＝－1时（－1）3－（－1）2＋（－1）＋k ＝0 ∴k ＝3

例4. 利用简便方法计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的值，

你能确定积的个位数是几吗？

解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）

＝264－1 ∵264的个位数为6 ∴积的个位数字为5

例5. x 为何值时，下列分式的值为0?无意义？

（1）22

+-x x （2）22

322--+-x x x x

解：当①x ＝2 ②x ＝1 时为零 当③x ＝－2 ④x ＝2，x ＝－1时分式无意义

例6. 分式的约分与通分

1. 约分：1n 21n 21n 2n 2y x 4.1y x 8.0+--

2. 通分c b 5a 42，b a 10c 32，2

ac 2b 5- 解：①原式＝2y

7x 4 ②2223108c b a c a ,2223103C b a bc ,2223

1025c b a ab - 例7. 先化简后再求值：1x 11x 2x 3x 2x 1x 3x 222++++--÷--，其中12x += 原式＝)1)(1(3-+-x x x ×)3)(1()1(2-++x x x ＋1

1+x ＝11-x ＋11+x ＝122-x x 当x ＝2＋1时，原式＝1

例8. 若最简二次根式24312

12-+-a a 与是同类二次根式，求a 的值。 解：1＋a ＝4a 2－2＝0, a 1＝1 ， a 2＝－4

3 例题精讲

例9. 已知:a ＝3

21

+,求01222)1()211(12a a a a a a a a ++----+--值 解：∵a ＝3

21+ ∴a ＝2－3＜1 原式＝1)1()1(|1|2-----a a a a a ＋1 ＝)1(1--a a a －（a －1）＋1 ＝a 1-－a ＋1＋1＝a

1-－a ＋2 当a ＝321+时，a ＝2－3, 321+=a ∴原式＝－2－3－2＋3＋2＝－2

例10. 把根号外的因式移到根号内：

（1）a a 1； （2）1x 1)1x (---； （3）x 1x -； （4）2

x 1)x 2(-- 解：（1）原式＝a （2）原式＝x --1 （3）原式＝x -- （4）原式＝2--

x

例11. 观察下列各式及其验证过程 232232+=。验证：3221

22)12(2122)22(3222233+=-+-=-+-= 383383+=。验证：8331

33)13(3133)33(8383322233+=-+-=-+-== 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想415

4的变形结果并进行验证。 针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n≥2）表示的等式,并给出证明。

解：（1）15441

44)14(41544415415442233+=-+-=+-== （2）1

n n n 1n n )1n (n 1n n n n 1n n 1

n n n 22223232-+=-+-=-+-=-=-

一. 选择题

1. 下列运算正确的是（ ） A. 623632x x x =? B. m m a a a 1243=? C. 436)3(2a a a =-?- D. 5

322)2()(b b b =-?- 2. 把a 2－a －6分解因式，正确的是（ ）

A. a （a －1）－6

B. （a －2）（a ＋3）

C. （a ＋2）（a －3）

D. （a －1）（a ＋6）

3. 设（x ＋y ）（x ＋2＋y ）－15＝0,则x ＋y 的值是（ ）

A. －5或3

B. －3或5

C. 3

D. 5

4. 不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5的值（ ）

A. 大于或等于0

B. 0

C. 大于0

D. 小于0

5. 化简二次根式22a

a a +-的结果是（ ） A. 2--a B. 2---a C. 2-a D. 2--a

6. 下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7. 当1

课后练习

A. －1

B. 2x －1

C. 1

D. 3－2x

二. 填空题

8. 矩形的面积为6x 2＋13x ＋5（x ＞0），其中一边长为2x ＋1，则另一边为 。

9. 对于分式

2x y x +，如果x 、y 都扩大为原来的3倍，则分式的值 10. 若x 2＋kx －6有一个因式是（x －2），则k 的值是 ; 11. 2)2(-的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。 12. 32-的倒数是 ；32-的绝对值是 。8的有理化因式是 ，y x -的有理化因式是 。

三. 计算与解答题

13. 三角形某一边等于b a +2，第二边比第一边小（221+b ），而第三边比第一边大（22

1-b ），这个三角形周长为多少？

14. ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC 三边，利用因式分解说明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符号

15. 实数范围内因式分解

（1）ｘ2－2ｘ－4 （2）4ｘ2＋8ｘ－1 （3）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ

2

16. 已知 x 2－5xy ＋6y 2＝0 求x 2+3xy 2y 2 的值

17. 试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9 的最大值和最小值。

试题答案 一. 选择题。

1~5 CCADB 6~7DC

二. 填空题。

8. 3x ＋5

9. 是原来的

31 10. 1 11. 2±, 3,－4 12. 32--= 23- 2 y x -

三. 解答题

13. 2a ＋b －（221+b ）＝2a ＋22

1-b 2a ＋b ＋（2b 21-）＝2a ＋2b 23- （2a ＋b ）＋（2a ＋2

1b －2）＋（2a ＋2b 23-）＝6a ＋3b －4 14. 原式＝b 2－（a －c ）2＝（b ＋a －c ）（b －a ＋c ）＞0

15.（1）原式＝（x －1－5）（x －1＋5）

（3）原式＝2（x －y 222--）（x －y 2

22+-） 练习答案

（2）原式＝4（x －252+-）（x －2

52--） 16. 解：（x －2y ）（x －3y ）＝0

∴x ＝2y 或x ＝3y

当x ＝2y 时，52642322

222=+=+y

y y y xy x 当x ＝3y 时，92992322

222=+=+y

y y y xy x 17. 解：t ＝23)2(32+---x

∵ 0≤－3（x －2）2＋3≤3

∴t 最大值＝2，t 最小值＝32-