线性方程组练习题
第一章 练习题
一、选择题
1、向量组r ααα,,,21 线性相关，且秩为s ，则（ ）
A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s <
2、设A 为m ×n 矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）
A ．A 的列向量组线性相关
B ．A 的列向量组线性无关
C ．A 的行向量组线性相关
D ．A 的行向量组线性无关
3、设3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解为T T )3,1,1(,)2,0,1(-=β=α，且系数矩 阵A 的秩2)(=A r ,则对于任意常数21,,k k k ,方程组的通解可表为（ ）
A ．T 2T 1)3,1,1()2,0,1(-+k k
B ．T T )3,1,1()2,0,1(-+k
C ．T T )1,1,0()2,0,1(-+k
D ．T T )5,1,2()2,0,1(-+k 4、设矩阵)2,1(=A ，????
??=4321B ，???
? ??=654321C 则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CBA 5、r ααα,,,21 线性无关?（ ）
A.存在全为零的实数r k k k ,,,21 ，使得02211=α++α+αr r k k k .
B.存在不全为零的实数r k k k ,,,21 ，使得02211≠α++α+αr r k k k .
C.每个i α都不能用其他向量线性表示.
D.有线性无关的部分组.
6、设向量组321,,ααα线性无关，421,,ααα线性相关，则（ ）
A. 1α必可由432,,ααα线性表示
B.2α必不可由431,,ααα线性表示
C. 4α必可由321,,ααα线性表示
D.4α必不可由321,,ααα线性表示
7、设4321,,,αααα是三维实向量，则（ ）
A.4321,,,αααα一定线性无关
B.1α一定可由432,,ααα线性表出
C.4321,,,αααα一定线性相关
D.321,,ααα一定线性无关
8、设A 是4×6矩阵，2)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所含向量的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9、下列命题中错误的是（ ）
A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10、已知向量T T )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ）
A ．T )1,1,2,0(--
B ．T )1,1,0,2(--
C ．T )0,2,1,1(--
D ．T )1,5,6,2(--- 二、填空题
1、设,,a a b b a a b b -????== ? ?---????
A B 则=AB __________. 2、设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则矩阵A 的秩._____)(=A r
3、已知某个3元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵~
A 经初等行变换化为： ????? ??-----→121)1(00120321~
a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.
4、向量组T 3T 2T 1)5,1,1,2(,)1,3,1,1(,)2,1,0,1(+-=α=α=αa 线性相关，则.____=a
5、向量组T 3T 2T 1)2,5,1,1(,)1,,1,2(,)0,3,1,1(--=α-=α-=αa 的秩为2，则._
___=a 6、若T
)0,3,1(=β不能由T 3T 2T 1)2,2,1(,),3,2(,)1,2,1(-+=α=α=αa a 线性表示，则.____=a
7、任意3维向量 都可用T
3T 2T 1)2,1,(,)3,2,1(,)1,0,1(a =α-=α=α线性表示，则.____=a
8、齐次线性方程组??
?=+-=++0
320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________.
9、已知向量组T 3T 2T 1)5,0,0,6(,)1,1,0,2(,)4,3,2,1(=α-=α=α，则该向量组的秩为
_______，一个极大线性无关组是_______.
10、设矩阵1111111111
11k k A k k ??????=??????
，且()3r A =，则k =. 三、计算题 1、求齐次线性方程组?????=++=-+=++0005
43321521x x x x x x x x x 的解.
2、设向量T 4T 3T 2T 1)4,0,3,0(,)1,6,0,3(,)2,4,2,2(,)1,2,1,1(-=α-=α--=α-=α，
（1）求向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.
3、求非齐次线性方程组?????=--+=+--=--+08954433134321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
4、问a 为何值时，线性方程组?????=++=+=++632222432321
32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求
出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。
四、证明题
设321,,ααα线性无关，证明312113,2,α+αα+αα也线性无关.
线性方程组典型习题及解答
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组 系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法 一．选择题： 1．设A 是n m ?矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ?矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解 3．设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题： 设????? ??-+=21232121a a A ，???? ? ??=031b ，????? ??=321x x x x （1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题： 1． 求解非齐次线性方程组?? ? ??=--+=+-+=+-+122241 2w z y x w z y x w z y x 21 3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000 .2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--?????? ? ? ?-???→-???→- ? ? ? ? ? ?----?????? -?=?+==-????? -=∴==??????-===??? ? 或
线性方程组解题方法技巧与题型归纳
线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两个不同的解向量，则a 的取值如何？ 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ? -→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 1223441 1223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
有限元法复习题
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
线性方程组测试题
课程名称： 工程数学 考试章节： 线性方程组 考生姓名： 一、单选（每题3分，共30分） 1. 1、向量组 ， ， 线性相关，且秩为 ，则（ ） A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ） A ．T )1,1,2,0(-- B ．T )1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(-- D ．T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解，则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解 二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有 332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。 三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα，则求该向量 组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
线性方程组-练习
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
线性方程组练习题(免费下载)
《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
有限元习题3
第一章 1.有限单元法求得的解为：[ ]3 A.精确解 B.解析解 C.近似解 D.整数解 2.弹性力学问题的基本解法有：[ ] ABD A.按位移求解 B.按应力求解 C.按单元刚度求解 D. 混合求解 E.按整体刚度求解 23.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，按应力求解和[ ]3 A. 按单元刚度求解 B. 按整体刚度求解 C. 混合求解 D.按平衡方程求解 24.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，混合求解和[]4 A. 按平衡方程求解 B. 按单元刚度求解 C. 按整体刚度求解 D. 按应力求解 25.弹性力学问题的基本解法有：按应力求解，混合求解和[ ]2 A. 按整体刚度求解 B. 按位移求解 C. 按单元刚度求解 D. 按平衡方程求解 3.用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于：[ ]4 A.对弹性体离散化的复杂性 B.刚度矩阵求解的困难性 C.受力分析的复杂性 D.求解偏微分方程的复杂性 4.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的：[ ]BDE A.弯矩 B.应变 C.扭矩 D.应力 E.结点力 26.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，应力和[ ]3 A. 扭矩 B. 弯矩 C. 结点力 D.外力 27.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，结点力和[ ]4 A.弯矩 B. 外力 C. 扭矩 D. 应力 28. 用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应力，结点力和[ ]4， A. 外力 B. 扭矩 C. 弯矩 D. 应变 5.将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解[ ]。2 A.结点位移 B. 以结点位移为未知量的线性方程组 C.整体刚度矩阵 D.单元刚度矩阵 6.对于三角形三结点单元，其结点按照[]顺序进行排列。3 A.从左至右 B. 顺时针 C. 逆时针 D.以上均可 7.对于三角形三结点单元，每个结点位移在单元平面内有[ ]个分量 2 A.1 B.2 C.3 D.4 8.对于三角形三结点单元，共有[ ]个位移分量。4 A.3 B.4 C.5 D.6 9.形函数 N在结点i上的值等于[ ]。2 i A.0 B.1 C. -1 D.2 10.在单元中任意一点，三个形函数之和等于[ ]2 A.0 B.1 C.2 D.3 11.有了单元的位移模式，就可以应用[ ]求得单元的应变3 A.平衡微分方程 B.物理方程 C. 几何方程 D.积分方程 12.单元应力矩阵[S]与弹性矩阵[D]和单元应变矩阵[B]的关系是：[ ]C A. [S]= [D]+ [B] B. [S]= [D]—[B] C. [S]= [D] [B] D. [S]= [D]/ [B] 13.三角形三结点单元中，单元应力矩阵[S]是一个[ ]4 A.对称矩阵 B.零矩阵 C.非常数矩阵 D.常数矩阵 14.三角形三结点单元的应力分量为[ ]1 A.常量 B.变量 C.零 D.不确定
线性方程组练习题
线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一
解线性方程组
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 一、判断题 10’ 1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。 （ ） 2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1 -A ，故求得A 的逆矩阵。 （ ） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。 （ ） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。 （ ） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。 （ ） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。 （ ） 7 从矩阵n m A ?（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。 ( ) 8. 设B A ,均为n m ?矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。（ ） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。 （ ） 10.设A 为n m ?矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。 （ ） 二、 单项选择题30’ 1. 设A ? ??? ??=333231 232221 131211 a a a a a a a a a ，B =????? ??---=323332 31 12131221222322 11222a a a a a a a a a a a a , 1P ????? ??=100001010,2P ???? ? ??=100210001, 则B =（ ） (A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1 112--AP P 。 2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C 3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（ ） (A) ????? ??101001010 (B) ????? ??100101010 (C) ????? ??110001010 (D) ???? ? ??100001110 4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（ ） 第三章 线性方程组 习题 姓名 学号 一、 填空题 1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩为__________. 2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x a x x x b +++=??+++=? 有解的充要条件是__________. 3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________. 4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________. 5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________. 6. 齐次线性方程组111122121122221122000 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=? （*）只有零解的充要条件有 ______________________________________________________ _（至少写两个）. 二、 判断题 1. 如果当12n k k k === 时，11220n n k k k ααα+++= ，则向量组12,,,n ααα 线性相关. （ ） 2. 若12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α== 线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),i i i in i i im a a a b b b β= 1,2,,i s = 也线性相关. （ ） 3. 任意3n +个n 维向量必线性相关. ( ) 4. 若向量12,,,s ααα 和向量组12,,,t βββ 都线性无关，则向量组1212,,,,,,,s t αααβββ 线性无关.（ ） 5. 若向量12,,,s ααα 线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ） 6. 非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ ） 7. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（ ） 8. 设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关.（ ） 三、计算与证明 1. 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3),(4,3,1,3)αααα==--=-=--的秩和极大线性无关组，并用极大无关组表示其余向量 2．λ取何值时，线性方程组12312312 3322x x x x x x x x x λλλλ++=-??++=-??++=-?有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求通解. 习题3.1 1．用消元法解下列线性方程组 （1）2x x 3x 1 1 2 3 2x 2x 6 1 3 4x 2x 5x 7 1 2 3 (2) 2 x 1 4x 1 2x 1 6 x 1 x 2 2x 2 x 2 3x 2 3x 3 5x 3 4x 3 5x 3 1 4 1 11 (3) x 1 3x 1 2x 1 3x 2 x 2 x 2 x 3 5x 3 2x 3 x 4 3x 4 2x 4 6 6 8 （4） x 1 3x 1 5x 1 x 2 2x 2 x 2 4x 2 x 3 x 3 2x 3 3x 3 x x 5 3x 5 6x 5 3x x 4 5 1 4 x 4 2x 4 3 2 2．设线性方程组 x x tx 1 2 3 4 x tx x t 1 2 3 2 x x 2x 4 1 2 3 t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解？有解时,求其解. 3．设线性方程组 x x 2x 3x 1 1 2 3 4 x 3x 6x x 3 1 2 3 4 3x x ax 15x 3 1 2 3 4 x 5 x 10x 12x b 1 2 3 4 （1） a , b 为何值时方程组有唯一解？ （2）a,b 为何值时方程组无解？ （3）a,b 为何值时方程组有无穷多解？并求其一般解. 习题3.2 1．设 1 1,1,1, 2 ， 2 2, 1, 0, 1 ， 3 1, 2, 0, 2 ,求（1）1（2）2 1 3 2 5 3 2 3 2. 设n 维向量(1,0, ,0) , (0,1, ,0) , , (0,0, ,1), 1 2 n 求a a a . 1 1 2 2 n n 3. 设2, 2, 0,4,2 , 2,1, 3, 1,1 ，求向量, 使 2 4 . 4．设 1 2, 0,1 , 2 3,1, 1 满足2 3 1 4 2 ,求．3线性方程组典型习题解析
线性代数-第三单元测试
第三章 线性方程组习题
第三章习题与复习题(线性方程组)---高等代数